數學教學實踐中的理論思維

摘要：在日常數學教學工作中，囿于經驗思維的教師甚多。而要向更高層面的教育教學水平遞進，教師應當養成理論思維的意識，發展理論思維的功力。教師的理論思維有四種表現形態：不但重“果”還要重“因”，不但重“點”還要重“面”，不但重“術”還要重“學”，不但重“知”還要重“識”。正確認識這些理論思維形態，有利于教師自我理論思維與教學水平的提升。

關鍵詞：數學教學 教學實踐 理論思維 經驗思維

簡單地說，理論思維就是透過表面現象洞察事實本質的思維。一般而言，理論思維是與經驗思維相對的。經驗思維“主要依據人的感官所得來認識、把握事物或現象，秉承‘眼見為實的認識標準”;理論思維則是一種抽象的思維，抽象就是對事物的現象進行觀察，采用概括、歸納的方式找到事物本質屬性的思維方式。①在數學教學中，許多教師的教學思維往往囿于經驗思維，即依據自己的教學經驗或借鑒他人的教學經驗來設計和實施教學。應當肯定，自己積淀的經驗或汲取的他人經驗，確實是教師個人的一筆財富，完全可以用于教學實踐。針對具體的教學場景或教學內容，經驗的作用往往能充分顯現，“處方式”的教學策略的確能夠解決許多問題。然而，經驗之短在于“一事一議”“特事特辦”，從而限制了它的寬泛。在講完一堂課特別是自己滿意的一堂課之后，教師是否想過：這種教學處理非常奏效，它的道理何在？這樣的教學設計其理論基礎是什么？對這個教學內容，如果換一種做法，教學效果會不會更好？同樣的教學處理為什么換到另外的教學場景，教學效果會大打折扣？教師能夠想這些問題，本質上就是理論思維的顯現。

如果說經驗思維足以應付“教書”，那么理論思維才是促進“育人”的良方。經驗思維可以使教師成為一個優秀的教書匠人，但難以造就一個成熟的專家型教師。

理論思維有四種表現形態，正確認識和理解理論思維形態，有利于自我理論思維水平與教學水平的提升。

一、不但重“果”還要重“因”

理論思維的第一種形態：不但重“果”還要重“因”。也就是說，對于事物的認識.不但要知其然，還要知其所以然。

就教學設計而言，不但重“果”還要重“因”有兩層涵義。其一，教師在教學設計時要有理論意識。設計一個教學方案，完全可以憑借自己的經驗一揮而就，也可以參考他人的做法，在此基礎上改造出新。其實，這些做法都可能只呈現了教案作為一種“果”的樣態。試想一下，如果在寫教案的過程中，老是伴隨著一系列的自我提問，例如，這樣做似乎很好，但好的理由何在？追根溯源，它的教學理論依據是什么？就今天的內容而言，依據這個理論來設計方案是否合理？合理之處在哪里？不合理之處又在哪里？能換一種理論作為這堂課設計的理論基礎嗎？換成另一種理論作為基礎來設計這堂課，又可能會產生怎樣的效果？……這樣，伴隨著反思前行，恐怕寫教案就不會“行云流水”了。其二，教學設計要揭示知識的來龍去脈。一堂完整的課應當包括三個環節，即知識從何而來？知識是什么？知識從何而去？這是一條因果鏈。為什么教學過程要體現這條因果鏈？事實上，這條鏈反映了知識發生和發展的全過程，在一頭一尾的兩個環節，可以給學生提供開闊的思維空間，讓他們能明了知識的來源，猜測知識的去向，而不是固守因果鏈中“知識理解”這個中間環節。其實，如果教師能夠在教學設計時始終關注這條因果鏈，那么他就是在進行理論思維。

我們先來看“配方法解一元二次方程”的一個教學方案，它是按照教材中知識展開的方式設計的。具體如下：

（1）解答例題1：解方程（x+1）₂=4。

這是一個特殊的一元二次方程，左邊是一個完全平方式，因此只需要等式兩邊開方，即可得到答案。

（2）解答例題2：解方程x₂+6x+4=0。

教師首先提示學生運用化歸思想：

能將這個方程化為（x+h）₂=k的形式嗎？然后引導學生操作，將常數項移到方程的右邊，得x₂+6x=-4，在方程兩邊都加上一次項系數6的一半的平方，得x₂+6x+3₂=3₂-4。整理得到（x+3）₂=5。這樣就把方程化為了（x+h）₂=k形式，從而解決問題。

（3）教師舉例。

（4）學生練習。

這個設計，是典型的只展示“果”，即應當怎么做這件事。它并沒有交代為什么要“在方程兩邊都加上一次項系數6的一半的平方”，所以這樣做的理由并不知道，即不知其“因”。教師憑借經驗思維，認為用這樣的教法，學生完全能夠熟練地掌握配方的方法，解決一般的一元二次方程。這種經驗也確實可以被實踐驗證是有效的。

但是，如果再細細思考，就會看到這個教學設計存在一定的缺陷。第一，這個設計的教學理論依據是什么？顯然，教學設計的思想，是把知識作為客觀存在作為前提，把知識的學習解釋為是學習者對客觀知識的真實拷貝，因而，教學方法是直接傳遞知識，教學過程中完全沒有體現學生對知識的建構活動，更無探究可言。第二，從發展學生數學核心素養的角度看，這個教學設計能夠培養學生的什么素養？這里的學習例題再進行練習，學生完全是模仿練習，是按部就班，不是真正意義上的數學運算能力訓練。至于其他核心素養，基本沒有涉及。第三，過多地采用這樣的教學方式，會扭曲學生對數學的認識信念。學生不明其理，不知道知識從何而來，只是在機械地接受結果性知識，數學精神、數學文化、數學價值蕩然無存，直接影響到正確價值觀的塑造。

我們可對上面課例進行改造。首先，要解決揭示產生這個結果的原因問題。其實這件事情是不難的，由方程（x+3）₂=5逆向推回去，就可以看出為什么要配上一次項系數一半的平方。在此基礎上，再將這個問題做一般化處理，即由方程（x+h）₂=k展開，采用倒推方法找到配方的依據。其次，思考這一堂課能否體現數學文化的元素。事實上，這從數學史中就能找到很好的答案：它不僅解決了配方的依據問題，而且彰顯了數學的文化底色。公元9世紀時，阿拉伯數學家花拉子米考慮解答一元二次方程x₂+lOx-39=0，即x₂+lOx=39。他構造了一個圖（如圖1），把方程左邊的x₂+lOx看作是由一個邊長為x的正方形和邊長分別為5和x的兩個長方形組成的矩尺圖，它的面積（x₂+10x）恰好為39，只要在這個圖形中增加一個邊長為5的正方形，則這個圖形的面積為x₂+10x+5₂=39+5₂。而此圖恰好是邊長為（x+5）的正方形，面積為（x+5）₂。也就是說，只要配5₂，方程的左邊就成為一個完全平方數。對于一般情形x₂+6x+c=o，配上邊長為b/2的正方形即可。

只重“果”不重“因”的思維，難以走出無源之水的困境，進入長流不斷之江河。

二、不但重“點”還要重“面”

理論思維的第二種形態：不但重“點”還要重“面”。也就是說，既要關注個別事物，又要用寬闊的視野考量一類事物。

就教學設計而言，不但重“點”還要重“面”也有兩層含義。第一，教學目標的設計應是“面”而非“點”。從三維目標到核心素養，課程標準的目標指向始終是多維的，因而，任何單一的、極端的教學目標設計思路都缺少理論思維。教學目標要涉及知識的理解與掌握、關鍵能力的發展、必備品格與價值觀的形成、數學文化的熏陶，這就是所謂的“面”;而每節課都要有一個主要目標，就是所謂的“點”。理論思維就是需要教師面對特定的教學內容，在對數學知識有深刻理解、對教育理論融會貫通的基礎上，設計從教學單元到具體每堂課的以點帶面的教學目標體系，突出重點、觀照全面。第二，對教學設計的分析，除了從個案角度深入解讀之外，更應當從共性層面做出剖析。一個成功的教案，成功的原因是什么？除了本身設計的特殊性之外，是否具有某種可以解釋其他課例的共性基因？是否能將其理論因素抽取出來，形成一類課程設計的理論基礎？一組成功的案例，它們是否有內在聯系、相互貫穿的共同因素？能否由此提煉出一種理論模型？等等。

來看一道應用題：

某服裝廠原有4條成衣生產線和5條童裝生產線，工廠決定生產一批帳篷。若啟用1條成衣生產線和2條童裝生產線，一天可以生產帳篷105頂;若啟用2條成衣生產線和3條童裝生產線，一天可以生產帳篷178頂。問：每條成衣生產線和每條童裝生產線平均每天生產帳篷各多少頂？

這是一道純數學問題的應用題，從教學目標看，主要是訓練學生用數學知識解決應用問題，涉及的核心素養有數學建模。這類應用題在教材上很多，但是稍微分析一下可以看出，類似的應用問題，其情境的人工構造痕跡很重，缺乏一種真實感，使人感覺不到對情境的體驗。一個好的情境應該是真實的，有故事情節，有人文因素，有教育價值，當然不能“去數學化”。

能否將上面的應用題進行改造，使它的教育功能得以放大？其實，這種想法是完全可以實現的。下面是做出改造的題目：

“5·12”汶川大地震后，災區急需大量帳篷。某服裝廠原有4條成衣生產線和5條童裝生產線，工廠決定轉產，計劃用3天時間趕制1000頂帳篷支援災區。若啟用1條成衣生產線和2條童裝生產線，一天可以生產帳篷105頂;若啟用2條成衣生產線和3條童裝生產線，一天可以生產帳篷178頂。

（1）每條成衣生產線和每條童裝生產線平均每天生產帳篷各多少頂？

（2）工廠滿負荷全面生產，是否可以如期完成任務？如果不能完成任務，假如你是廠長，那么你會怎樣解決這個問題以體現你的社會責任感？

學生可能會提出如下一些方案：

“如果我是廠長，我會動員工人加班生產，給他們多加工資，好早日完工，支援災區人民。”

“如果我是廠長，我會想辦法改進技術，提高生產效率。”

“如果我是廠長，我會想辦法聯系其他廠家支援。”

添加了幾句話，情境完全不一樣，教學目標不再是“點”而是“面”：一方面，數學知識的應用價值真正體現出來，反映了數學在現實生活和生產中的應用，彰顯了數學的文化元素;另一方面，培養了學生的社會責任感，示范了培養學生必備品格和正確價值觀的具體做法，達到發展學生數學核心素養的目的。

只重“點”不重“面”的思維，難以跳出只見樹木的圍欄，登上綜覽森林之高地。

三、不但重“術”還要重“學”

理論思維的第三種形態：不但重“術”還要重“學”。這里的“術”指技術，“學”指學理，或者更寬泛地說，“術”指教學實踐層面的操作，“學”指教學理論層面的思辨。

教學理論來自教學實踐的總結和實驗基礎上的提升，這個過程包含了教學理論的理性思辨成分。教學理論既是一種事實性認識，又是一種價值性認識。就其性質說，它不完全是實證的知識體系，而是帶有主觀的、價值的思辨成分。①

教學理論具有概括性特征。教學理論是對散布在各個學科、各種教學內容中的不同教學方式共性的概括，從而形成具有一般意義的思想或模式。例如，教學原則是指教學中應當遵循的規則，諸如因材施教原則、循序漸進原則、理論聯系實際原則等，不是針對某個學科或某種教學內容而定的，它們適合于所有學科的教學，而且是從教育規律中概括出來的，在教學實踐中又被證實是有效的。顯然，教學原則體現了對教學規則的一種高度概括，具有普適性。教學理論的概括性，是一種理性的思考，說理的邏輯、研究的旨趣不在實踐層面的具體操作。論理，凸顯了理論的個性。

與教學理論的屬性不同，教學實踐關注的是教學實施中的具體操作過程，著眼點是做事的“術”而非為什么這樣做的“理”。如果說教學理論關心的是“面”，那么教學實踐關注的則多是“點”。事實上，廣大教師在實際教學情境中，習慣依據自己的經驗來制訂教學計劃和教學策略，并不是依照某種理論來做教學設計，各個學科的教師一般只會關注本學科的教學操作而不過問其他學科的教學操作。

很多中小學教師，總是視理論為高高在上、不接地氣。客觀地講，理論與實踐之間的確有“隔板”，“施術”與“論理”的正常關系應當是“怎么做”與“為什么應當這么做”的邏輯鏈。造成這種關系沒有理順的原因，主要來自三個方面。（l）實踐功用乏力。一是解釋、預測力不顯，二是指導、感召力不強。作為一門以研究教學原理、方法、策略、技術為旨趣的學科，人們以為它是能為具體課堂教學提供診斷并給出相應操作舉措的，但教學實踐者在研習教學論后卻總是備感其假、大、空、玄。（2）本土特質缺失。一是對本民族國家既有教學傳統不加了解地一味遺棄，二是對國外教學理論不加批判地盲目移植。（3）關于教學概念本身的分歧。在課程、教學內容、教學評價等各個方面，不僅舊有術語存在多種理解分歧，而且新進概念也因各自立基、視角不同而歧義百出。①

盡管教學理論與教學實踐之間有脫節現象，但教學理論的創建畢竟是歷代教育家共同追求的結果，是經驗升華和理論思考的結晶，一線教師不能視而不見或輕言放棄。更重要的是，理論意識和理論思維來自理論學習和理論反思，實踐需要理論介入，或者說在實踐的土地上本身就是理論思想的播撒。

下面來看一個函數奇偶性概念的教學方案：

（1）復習函數的概念。

（2）給出偶函數與奇函數的定義：函數y=f（x）的定義域為D，對于D中的任意x，若f（-x）=f（x），則稱該函數為偶函數;對于D中的任意x，若f（-x）=-f（x），則稱該函數為奇函數。

（3）給定一些實例，讓學生辨析，判斷函數的奇偶性。

（4）教師舉例。

（5）學生練習。

這是一個簡潔明快的教學方案，也是高中教師比較喜歡采用的方案，因為它能節約教學時間，學生可以有充裕的時間練習。但這種方案的短板也是明顯的，下面從學習理論角度對此做一分析。

教育心理學一般將概念教學分為概念形成和概念同化兩類。概念形成是教師為學生提供概念的一組正例，讓學生觀察、歸納、概括出這組例子的共同屬性，從而形成概念定義的過程;概念同化是教師給出概念的定義，然后用例子去強化，使學生理解概念的過程。②概念形成是從特殊到一般的學習方式;概念同化則是從一般到特殊的學習方式。顯然，兩種概念學習方式的功能是有差異的：概念形成偏重數學抽象、合情推理等素養的培養;概念同化偏重邏輯推理的培養。至于該用什么方式進行概念教學，則應當根據具體的概念來定，一般而言，應當多采用概念形成方式。為什么呢？因為對學生邏輯推理訓練的材料比比皆是，但對數學抽象的訓練材料則相對稀少，而數學抽象作為一個重要的數學核心素養，對于學生的能力發展舉足輕重，理所當然，概念學習中的概念形成方式就不能輕易放棄。這就是從學理層面的分析。“明理”方能更有效地“施術”，這也是理論思維的功能之一。

基于這種分析，對上述教學方案加以改造，采用概念形成方式來設計。具體如下：

（l）給出函數y=x₂和y=x₃的圖像，讓學生觀察這兩個圖像有什么特征、性質，兩個圖像在y軸的右邊有什么共同點。

（2）填充表1。

（3）引導學生概括出規律：

對于y=f（x）=x₂，有f（-2）=f（2），f（-1）=f（1），f（-0）=f（0）……;

對于y=f（x）=x₃，有f（-2）=-f（2），f（-l）=-f（1），f（-0）=-f（0）……：

對于函數y=f（x）=x_n，若n為奇數，則f（-x）=-f（x）;若n為偶數，則f（-x）=f（x）。

（4）給出奇函數與偶函數的定義。

（5）正例強化，讓學生舉出更多兩類函數的例子，說明研究這兩類函數的必要性。

（6）反例強化。如函數f（x）=3x，x∈（-1，l），f（x）是奇函數嗎？

（7）例題（略）。

這個教學設計有三個特征：其一，概念不是老師強加給學生的，而是學生通過觀察、概括、歸納自己建構的，體現了建構主義教學思想;其二，從特殊到一般地建立概念，是數學抽象過程，因而教學目標直接指向發展學生的數學核心素養;其三，從學理上闡明了教學效果的有效性。

教師應當正確地看待和理解教育理論，正如夏正江教授指出的：教師作為專業人員，不可能像普通人那樣，完全聽憑即興的、模糊的、內隱的“實踐感”去指引自己的行為。用內在的“慣習”和外在的“場域”結構去解釋教師的實踐行為，具有一定的合理性，但教師并不是內在慣習和外在場域的奴隸。激發教師成長的內在動力，增強教師自我教育的意識，培養教師終身學習的習慣，是打破不良慣習、重塑教育場域的重要途徑。在這方面，理論學習具有不可替代的作用。①

只重“術”不重“學”的思維，難以突破作坊工匠的意識，塑造工程思維之品格。

四、不但重“知”還要重“識”

理論思維的第四種形態：不但重“知”還要重“識”。“知”是指對事物的了解與知曉，“識”是指對事物的理解與見識。

“知”是信息，易于復制，是通過學習得來的;“識”是人的思想、見解，是通過體驗得來的。“知”是“識”的基礎，“識”是“知”的發展。所謂“見多識廣”，反映的就是兩者的關系：知道得越多，見識就越廣。

“識”與“行”有關。“識”不能完全依附于知識。一個人知道得多，說明他的知識廣博，但如果他脫離實踐，不將知識與實踐相結合，就可能造成經驗缺失，成為有學而無識，甚至是滿腹經綸的書呆子。杜威將其稱為“人的理性是一個外在旁觀者”，因為“人的理性喪失了主動的和有創造性的職能，人的理性的任務只是摹寫，只是從符號上再呈現，只是觀望一個既有的理性結構……，實際上，這只是把人的思想當作一個固定自足的模式在認識上再現而已。這種主張是傳統上把知行分隔開來的結果”。②杜威非常強調知與行的結合，認知離不開行動，經驗源于實踐。人們常說讀萬卷書、行萬里路，便是知與識、行與識的最佳結合。因此，知與行是“識”生長的兩個來源。

“識”還指見識、膽識，表現為獨到見解和開創能力。“知”是指對信息、資料、知識的了解，“識”是指對所知的東西進行分析、研究、批判、再創造，即產生精神的過程。我們把數學教學分為三個層次：基本型教學、智慧型教學、創新型教學。“創新型教學指教師在智慧型教學基礎上，把握教學的宏觀層面，遵循數學教育科學性與人文性并重的理念，正確處理數學教學中的基本矛盾，打破常規教學思路，設計新穎、獨特、有效的教學程序，并能將教學實踐與教學研究有機結合，把教學建立在教學研究的基礎之上。”①顯然，創新型教學依托的不只是教師的“知”，而更多地由“識”支撐。

理論思維正是強調要跨越從“知道怎么教學”到“怎樣創新教學”之間的鴻溝，實現從基本型教學到智慧型教學再到創新型教學的提升。這個過程必須以“知”為基礎、“識”為智慧來實現，即教師要有相對完備的數學知識結構，有完善的PCK（學科教學知識）。教師要有反思意識，養成反思習慣。反思包括對自己和他人的教學基本設計、教學實施過程、學生學習效果、課程資源開發等內容的反思。教師要有批判精神。批判是在反思基礎上有依據、有理由的批判，批判的目的在于改造或重構。教師要具備一定的教育科學研究能力。不建立在研究基礎之上的教學，很難成為創新型教學。

從更高的層面上看，一個優秀的教師完全可以將自己的教學實踐經驗升華為有一般意義的教學思想，自成一家之說。這是借助于理論思維，實現從單純的“知”向“識”過渡產生的蛻變。這樣的例子在中小學涌現出來很多。例如，李庾南老師提出“自學·議論·引導”教學模式，是她在對教學實踐的反思、教學經驗的總結基礎上提出的。李老師說：“1978年，我已從事教學工作21年。這20多年來盡管我起早貪黑、盡心盡職，教學效果卻并不盡理想。在教學之余，我常常回顧和反思，深感要在自己的教育觀念和教法上找原因。于是我加強了對所教班級學生后續發展情況的跟蹤了解，發現有些考分很高的學生走出校門后的發展情況并不甚理想，尤其缺乏自主性和創造性，而那些成績一般，善于合作、善于探究、能力較強的學生卻成為佼佼者。這種強烈的反差，促使我在反思中警醒，認識到之所以沒有獲得預期的效果，原因就在于過多地在‘教里兜圈子，而忽略了學生的‘學;在學生個體學習中兜圈子，而忽略了學生之間的交流和互助，致使學生未能得到主動、全面、充分的發展。我的教學必須破舊立新、繼往開來，走革新、實驗之路。”②于是，她從1978年開始，研究課題“自學·議論·引導教學法的創建和實驗”，經過30年的探索，最終形成一種成熟的教學模式。這是典型的理論思維加實踐創新的教學成果。又如，華應龍老師在對教學的潛心研究和實踐探索基礎上提出了“化錯教學”思想③，應當說是別開生面、獨樹一幟。

只重“知”不重“識”的思維，難以超越照本宣科的尷尬，達到開拓創新的境界。

（喻平，南京師范大學數學科學學院教授，博士生導師，南京師范大學課程與教學研究所所長。全國數學教育研究會副理事長，全國教育論專業委員會理事，江蘇省數學教育專業委員會副主任委員。主要從事數學課程與教學論、數學教育心理學的教學與科研工作。出版《教學認識信念研究》《數學教育基本問題研究》等專著6本，主編《中國數學教育研究30年》叢書4本，主編高校教材、中學教材5本，在國內外學術期刊上發表論文200多篇。）

①李潤洲.理論思維：助推研究生的知識創新[J].學位與研究生教育，2017（12）：50。

①喻平.數學教育基本問題研究[M].南京：南京師范大學出版社.2019：76。

①容中逵.教學論學科發展的尷尬境遇及其生存之道[J].課程·教材·教法.2012（7）：20-22。

②喻平.數學教育心理學[M].南寧：廣西教育出版社，2004：196-200。

① 夏正江.中小學教師究竟該不該學點教育理論？[J].教育研究與實驗.2019（5）：9。

②約翰·杜威.確定性的尋求：關于知行關系的研究[M].傅統先，譯.上海：上海人民出版社，2000：163。

① 喻平.數學教學的三種水平及其理論分析[J].課程·教材·教法，2012（1）：63。

②喻平.著名特級教師教學思想錄（中學數學卷）[M].南京：江蘇教育出版社.2012： 144。

③華應龍.課堂因差錯而精彩——數學課堂“差錯資源化”的思考與實踐[J].江蘇教育研究.2008（20）：4-7。