高中數(shù)學(xué)課堂中基于核心素養(yǎng)下的數(shù)形結(jié)合的教學(xué)研究

唐定輝

摘要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)進(jìn)行了說(shuō)明和界定，其中包括直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等六個(gè)方面的內(nèi)容，這為高中課堂滲透數(shù)形結(jié)合思想帶來(lái)了新的契機(jī)。數(shù)形結(jié)合的解題思想在高中數(shù)學(xué)中有著至關(guān)重要的作用，本文主要闡述了數(shù)形結(jié)合思想的特征和教學(xué)原則，并通過(guò)實(shí)例來(lái)解釋說(shuō)明數(shù)形結(jié)合思想解題的優(yōu)勢(shì)，旨在啟發(fā)高中數(shù)學(xué)教師在課堂上借助信息技術(shù)和手段滲透數(shù)形結(jié)合的思想，有意識(shí)地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)形結(jié)合

一、高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合解題思想的特征

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)涵蓋了六個(gè)方面：1.數(shù)學(xué)抽象、2.邏輯推理、3.數(shù)學(xué)建模、4.直觀想象、5.數(shù)學(xué)運(yùn)算、6.數(shù)據(jù)分析。關(guān)于數(shù)形結(jié)合的解題思想，徐斌艷定義為“數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化”，由此可以看出，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是根據(jù)“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，幫助學(xué)生順利解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的。

1.直觀性

高中的數(shù)學(xué)課堂對(duì)教師的要求是基于核心素養(yǎng)的前提下，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升。數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題描述成直觀形象的幾何圖形，幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

2.精確性

高中數(shù)學(xué)的主要兩個(gè)研究對(duì)象為“數(shù)”和“形”，在現(xiàn)代課堂教學(xué)中，教師要高度重視信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)的結(jié)合，利用科學(xué)手段將題目的數(shù)學(xué)條件表現(xiàn)成幾何圖形，并能夠展示出其運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，從而達(dá)到精確解題的效果。

3.高效性

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解題的能力，將數(shù)學(xué)條件順利的轉(zhuǎn)化為幾何形狀，能夠很容易發(fā)現(xiàn)一些隱含的條件，從而大大提高解題的效率。

二、高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)原則

1.化繁為簡(jiǎn)原則

高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，很多問(wèn)題都可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度出發(fā)。但是在碰到一些復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，利用幾何圖形可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，同時(shí)也可以轉(zhuǎn)化學(xué)生思考問(wèn)題的思維方式。

2.化隱為顯原則

高中數(shù)學(xué)課程具有內(nèi)容多、時(shí)間緊、考點(diǎn)難等特點(diǎn)。有些知識(shí)點(diǎn)教師在講解過(guò)程中，配以幾何圖形加以說(shuō)明，會(huì)使學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目本身隱含的一些難以發(fā)現(xiàn)的條件和結(jié)論，從而使學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

3.等價(jià)原則

在利用數(shù)形結(jié)合思想解題的過(guò)程中，“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)和“形”的幾何性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)化應(yīng)該是等價(jià)的，也就是“數(shù)”和“形”所反映的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是一致的。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該避免作圖粗糙或者構(gòu)圖不完整而影響對(duì)題目條件的判斷。

三、基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂數(shù)形結(jié)合的例題分析

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，很多模塊都用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，比如：利用數(shù)軸和韋恩圖解決集合運(yùn)算;函數(shù)圖像能夠直觀的反映函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值和零點(diǎn)等性質(zhì);空間幾何體三視圖、點(diǎn)線面的關(guān)系;圓錐曲線與直線的位置關(guān)系;三角函數(shù)與正余弦定理;線性規(guī)劃;平面向量等等。從中可以看出，數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化：代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題。下面給出幾個(gè)數(shù)形結(jié)合問(wèn)題的具體題目分析：

1.函數(shù)與方程問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合

【例】已知函數(shù)。

（1）若有零點(diǎn)，求的取值范圍;

（2）確定有兩個(gè)相異的實(shí)根。

分析：（1）代數(shù)法—借助基本不等式求出函數(shù)的值域，再計(jì)算的取值范圍;

幾何法—作出函數(shù)與的圖像，看兩個(gè)圖像交點(diǎn)情況確定的范圍。

（2）代數(shù)法—直接求解方程的跟（高中階段不可能完成）? ? ?幾何法—作出與的圖像。

解析：（1）作出的大致圖像如圖①所示。

可知若使有零點(diǎn)，只需，故時(shí)，有零點(diǎn)。

（3）有兩個(gè)相異實(shí)根，即與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)椋云鋱D像的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下，最大值為，作圖如②所示，故當(dāng)，即時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)相異實(shí)根，所以的取值范圍是。

2.圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合

分析：本題看起來(lái)是一道非常復(fù)雜的題目，涉及到的知識(shí)點(diǎn)也很多，學(xué)生看到本題可能無(wú)從下手，但是如果我們能把該題所表現(xiàn)的圖形意義畫出來(lái)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多隱藏的條件，從而獲得正確答案。

四、結(jié)論與建議

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中把“如何思考”“如何研究”“如何應(yīng)用”作為教學(xué)的核心目標(biāo)。教師要以學(xué)生為主體，注意充分挖掘?qū)W生的主觀學(xué)習(xí)能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新能力，這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重大意義。