幾何直觀：助推學生的數(shù)學理解

韓葉

摘 ?要：幾何直觀，能讓抽象的數(shù)學問題形象化，讓復雜的數(shù)學問題簡約化，從而能有助于學生快速、精準地解決問題。在小學數(shù)學教學中，教師要充分運用幾何圖形，讓學生感知、操作、思考。通過幾何直觀，化解學生數(shù)學學習難點，提升學生數(shù)學學力，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：小學數(shù)學;幾何直觀;數(shù)學理解

幾何直觀是一種意識，也是一種能力，更是學生的一種思維方式。在學生數(shù)學學習中運用幾何直觀，其根本目的是為了促進學生的數(shù)學理解。幾何直觀，不僅能表征概念、數(shù)量關系，而且能有效地表征問題。通過幾何直觀，能讓抽象的數(shù)學問題形象化，讓復雜的數(shù)學問題簡約化，從而能有助于學生快速、精準地解決問題。在小學數(shù)學教學中，教師要充分運用幾何圖形，引導學生用圖想事、借圖促思、據(jù)圖說理。通過“幾何直觀”，能讓學生消除誤解，達成視界融合。當然，這個過程不是一蹴而就的，而是一個波動、反復、非線性、分水平的動態(tài)建構過程。

一、幾何直觀：在感知中促進學生直觀理解

數(shù)學家克萊因深刻地指出：“數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”發(fā)展學生的幾何直觀能力，首先就是要讓學生對數(shù)學學習對象進行直觀感知。有些數(shù)學學習對象，其信息往往比較隱含，學生難以察覺。為此，教師就要引導學生借助幾何直觀，將學習對象中的隱含信息、隱性信息敞亮、顯露出來，從而讓學生可視化。只有從幾何直觀的視角去引導學生深度觀察，才能讓學生理解學習對象蘊含的幾何意義，從而深刻地把握學習對象的本質。

阿提雅說過，“幾何直觀是領悟數(shù)學最有效的渠道”。教學“分數(shù)的初步認識（一）”（小學數(shù)學教材蘇教版第5冊），筆者充分借助幾何圖形如長方形、正方形、圓形等，引導學生涂色、對折，用不同的方式表示“”。在學生通過“涂一涂”“折一折”等方法操作后，筆者引導學生深度觀察：這些圖形的形狀相同嗎？大小相同嗎？為什么形狀、大小各不相同，但都能表示“”呢？如此，學生在幾何直觀中能舍棄觀察對象的非本質屬性，提煉出觀察對象的本質屬性，即“盡管這些圖形的形狀、大小各不相同，但都是將整個圖形平均分成2份，表示其中的1份”。通過深度觀察，學生感悟到，分數(shù)只與對象的平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關。在此基礎上，筆者反其道而行之，讓學生用自己喜歡的方式表示分數(shù)“”。于是，有學生將一個長方形平均分成四份，然后涂上顏色;有學生將一個圓形對折后再對折，然后涂色表示其中的一份，等等。通過對圖形的直觀感知，學生能認識到分數(shù)的“平均分”的數(shù)學本質。

“直觀與推理是‘圖形與幾何學習中的兩個重要方面”。在小學數(shù)學教學中，合理利用幾何直觀，能促進學生的直觀理解。憑借幾何直觀進行數(shù)學觀察，能讓學生認識到抽象概念的本質。正如法國著名數(shù)學家笛卡爾所說：“沒有圖形就沒有思考。”也正如另一位數(shù)學家斯蒂恩所說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”運用直觀引導學生觀察，不僅能讓學生認識數(shù)學知識的本質，而且有助于提升學生的幾何直觀能力。

二、幾何直觀：在操作中豐富學生直觀體驗

“幾何直觀”是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》新增加的三個核心詞之一。“幾何直觀”不僅是一種重要的數(shù)學思想方法，更是學生擁有的一種重要素養(yǎng)。所謂“幾何直觀”，是指“運用圖形描述和分析問題，從而讓學生具體、直觀地理解數(shù)學”。借助“幾何直觀”，不僅能生動地表征概念，而且能有效地揭示算理，清晰數(shù)量之間的關系，等等。瑞士著名教育心理學家皮亞杰曾經說過，“兒童的智慧自動作發(fā)端”。運用幾何直觀，還要引導學生進行直觀操作，因為只有在操作中，才能豐富學生的直觀感受、體驗。為此，教師要給學生實踐、實驗等的體驗時空，讓學生描畫、拼擺、測量。在這個過程中，自然能促成學生穩(wěn)固表象的形成，為學生形成高層次的幾何直觀水平奠定堅實基礎。

比如教學“倍數(shù)和因數(shù)”（小學數(shù)學教材蘇教版第10冊），教師就可以引導學生運用幾何直觀操作，助推概念的理解。因為，“因數(shù)和倍數(shù)”屬于抽象的數(shù)學概念，具有十分豐富的數(shù)學內涵和外延。如果教師在教學中只是簡單地讓學生用列舉策略去找尋一個數(shù)的倍數(shù)、因數(shù)，那么學生就不能理解倍數(shù)、因數(shù)的實際意義。事實上，抽象地談論一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)是沒有意義的，倍數(shù)和因數(shù)只有在情境中才能彰顯出其存在的必要性。為此，筆者在教學中出示了兩種規(guī)格不同的長方形，其一是邊長為6厘米的正方形，其二是邊長為8厘米的正方形。然后讓學生拿出事先準備的長3厘米、寬2厘米的長方形紙去鋪。在直觀操作中，學生發(fā)現(xiàn)用長方形紙能密鋪邊長為6厘米的正方形，卻不能密鋪邊長為8厘米的正方形，原因就在于用長方形的長邊不能密鋪。學生通過直觀操作，就能認識到，2和3是6的因數(shù)、6是2和3的倍數(shù)的幾何意義。這樣的教學，深化了學生對數(shù)學概念的本質理解。

由于小學生的思維以形象、直觀為主，因而他們對數(shù)學抽象概念的理解往往存在著困難，并且容易停留在記憶的層面。借助幾何直觀，讓學生動手做、動手畫，引導學生認識數(shù)學概念與圖形之間的密切關聯(lián)，就能讓學生獲得直觀的感受。當學生通過幾何直觀建立因數(shù)、倍數(shù)的操作表象后，遇到相應的因數(shù)、倍數(shù)數(shù)學問題時，總能借助操作表象進行分析、思考，從而有效地解決問題。

三、幾何直觀，在思考中促進學生直觀洞察

如果說，直觀感知是較低層次的幾何直觀，主要是借助感知、操作等認識直觀載體的表面意義，那么，直觀洞察就是一種深刻的數(shù)學直覺，這種數(shù)學直覺往往能在一瞥之下窺見數(shù)學知識的本質，認識數(shù)學知識的深層意義。直觀感知主要借助觀察，而直觀洞察則要借助學生的思考，在思考中進行比較、溝通、聯(lián)想。用現(xiàn)象學大師胡塞爾的話語來表達，直觀洞察就是一種本質直觀。在數(shù)學教學中，教師可以引導學生比較促思、聯(lián)想促思、溝通促思。

幾何直觀不僅可以運用于數(shù)學的“圖形與幾何”領域，而且可以運用于數(shù)學的“數(shù)與代數(shù)”領域。著名數(shù)學家華羅庚說過，“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀”。借助于幾何直觀，不僅可以讓抽象的“代數(shù)問題”變得直觀，而且可以讓抽象的代數(shù)算法、代數(shù)算理得到生動的詮釋、展現(xiàn)。比如教學“分數(shù)乘分數(shù)”（小學數(shù)學教材蘇教版第11冊），為了促進學生理解算理，教師就必須引導學生借助幾何直觀，針對例題“的是幾分之幾”“的是幾分之幾？”教師可以先讓學生畫出一個長方形表示單位“1”，然后引導學生表示出“”，再表示出“的”，學生就能通過雙重陰影，直觀洞察到“的是”。在此基礎上，引導學生從“圖導”走向“圖構”，讓學生運用幾何直觀，分別表示“的是幾分之幾？”“的是幾分之幾？”“的是幾分之幾？”等等。在類似的比較中，學生能直觀洞察到，“分數(shù)乘分數(shù)”為什么用分母相乘的積作分母，用分子相乘的積作分子。有學生借助幾何直觀，理解了“分母與分母相乘的積就是長方形一共被平均分的份數(shù)”，而“分子與分子相乘的積就是長方形中重復涂色的部分”。以形悟理，促進了學生對算理意義的深度理解。

直觀洞察是發(fā)展學生幾何直觀認知、幾何直觀能力的關鍵。在小學數(shù)學教學中，教師要引導學生善于從幾何直觀的視角去探尋數(shù)學概念、算理。只有從幾何直觀的視角去考量數(shù)學問題，才能啟動學生的直觀思維。正如德國著名數(shù)學家希爾伯特在其著作《直觀幾何》中認為的那樣，“圖形既可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，又可以幫助我們尋求解決問題的思路，還可以幫助我們理解和記憶得到的結果。”

蘇聯(lián)著名數(shù)學家柯爾莫哥洛夫說過，“只要有可能，數(shù)學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化”。幾何直觀的數(shù)學思想方法在數(shù)學教學中無時不在、無處不在。作為教師，要充分發(fā)揮幾何直觀的優(yōu)勢，找準數(shù)學知識與幾何直觀的鏈接點，幫助學生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁。學生的“幾何直觀”能力培養(yǎng)過程是一個潛移默化、逐漸滲透的過程。發(fā)展學生幾何直觀，能開發(fā)學生的左右腦，讓學生的直覺思維、形象思維與邏輯思維協(xié)同運作。借助幾何直觀，化解學生的數(shù)學學習難點，提升學生的數(shù)學學力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。