初中數學前置性補償教學內容的設計

王天龍

摘要：前置性補償教學是指在正式課堂教學前，讓學生根據已有的知識和經驗進行目標明確的自主練習，而教師通過巡視、批閱及時發現并解決學生存在的問題的一種教學方式。初中數學教學中，可以針對不同的課型，根據不同的導向，在學習單中靈活設計“前置性補償”內容，并以此展開前置性補償教學：新授課的導向是關聯，習題課的導向是沖突，復習課的導向是喚醒，活動課的導向是體驗。

關鍵詞：前置性補償教學 初中數學 內容設計 課型

筆者所在學校是一所“新優質初中”，學生以學區生為主，部分為外來務工人員子女。他們的知識基礎、認知水平參差不齊，而且自主學習能力比較欠缺，學習習慣和方法普遍不佳。為了充分落實“以學定教”的理念，提高學生的自主學習能力，我校成功立項了省級課題“基于目標的前置性補償教學的實踐研究”。筆者作為核心成員參與了課題研究。目前的研究思路是結合數學學科特點，在學習單中設置相應內容，開展前置性補償教學。本文談一談筆者的思考與實踐。

一、前置性補償教學的內涵與價值

前置性補償教學與課前預習有所區別，是指在正式課堂教學前，讓學生根據已有的知識和經驗進行目標明確的自主練習，而教師通過巡視、批閱及時發現并解決學生存在的問題的一種教學方式。

一方面，前置性補償教學發生在課堂的前幾分鐘，能夠減輕學生的課后負擔，促進學生的課堂思考，也有利于教師了解學生的學習情況，做出有針對性的指導。另一方面，前置性補償教學讓學生“先做后學”，從已有的知識和經驗中啟發聯想，獲得初步感受和體驗，激發學習興趣，領悟學習方法，為后續課堂教學做鋪墊。在筆者近兩年的探索實踐中，前置性補償教學的引入使得學生尤其是“學困生”的數學成績有了明顯的提升：筆者所教班級差分率明顯下降，合格率顯著上升。

二、前置性補償教學內容的設計

教學實踐中，筆者針對不同的課型，根據不同的導向，在學習單中靈活設計“前置性補償”內容，并以此展開前置性補償教學。

（一）新授課：導向“關聯”

新授課的前置性補償教學，可以通過學習單上的問題，幫助學生建立起已有知識和即將學習的知識之間的關聯，從而觸類旁通，建構新知。

例如，蘇科版初中數學七年級下冊《10.1二元一次方程》新授課學習單中的“前置性補償”內容設計如下：

問題1：你能寫出一個一元一次方程嗎？

問題2：你能用自己的語言寫出一元一次方程的定義嗎？

問題3：3x-2y=1還是不是一元一次方程？

問題4：你還能寫出和3x-2y=1相似的等式嗎？

問題5：你能不能給這類等式起個名字？簡單解釋一下為什么這么叫？

……

學習二元一次方程之前，學生已經學過一元一次方程。一元一次方程和二元一次方程存在很多關聯，而關聯的橋梁就是“元”“次”和“方程”這三個關鍵詞。這里的前兩個問題就是關于一元一次方程的。問題1讓學生寫出一元一次方程的例子，為學生回憶相應的定義做鋪墊。問題2讓學生寫出一元一次方程的定義，就是讓學生回憶起“元”“次”和“方程”分別是什么：“元”是未知數，“次”是未知數最高的次數，“方程”指的是等式。有了這樣的回顧之后，出示問題3，讓學生判斷新的方程，學生就可以迅速判斷出3x-2y=1這個等式不是一元一次方程。問題4讓學生仿寫新的方程，學生在修改x和y的系數后都能夠寫出相應的方程。順其自然，問題5讓學生給新的方程起名字并做解釋，學生就能夠依據“元”“次”和“方程”這三個關鍵詞，得到二元一次方程的概念。這樣，從一元一次方程出發，通過關聯，順利地讓學生初步認識了二元一次方程。

（二）習題課：導向“沖突”

習題課的前置性補償教學，可以通過學習單上的個別練習，設置與新授知識相矛盾的內容，激發學生的認知沖突，使學生對已有知識產生新的認識。

例如，蘇科版初中數學七年級下冊《9.5多項式的因式分解》習題課學習單中的“前置性補償”內容設計如下：

因式分解下列多項式：

1.x²-4y²;

2.2x²-4x+2;

3.拓展延伸：（3x-2）²-（x+4）²。

……

在新授課上，學生知道：把一個多項式因式分解，應該先提公因式，再運用公式，最后檢查有沒有把每個因式都分解到不能再分解。這里的前兩題比較簡單，利用這三個步驟很容易解決。但是，最后一題難度有點大。學生可能這樣解決：發現沒有公因式可以提，就整體套用平方差公式得到（3x-2）²-（x+4）²=（3x-2+x+4）（3x-2-x-4）=（4x+2）（2x-6）;檢查發現兩個因式都是一次式，不能再套用公式分解了，就認為做完了。也可能這樣解決：把兩個平方式展開、合并后提公因式，得到（3x-2）²-（x+4）²=8x²-20x-12=4（2x²-5x-3）;檢查發現雖然是二次式，但是不符合平方差和完全平方的形式，所以不能再分解了，認為做完了。兩種做法思路都正確，過程也正確，但是結果不同，并且都不是正確答案。這樣，學生的認知沖突就產生了。教師可以引導學生分析原因，提升認識，解決沖突：第一種做法中，一開始沒有公因式可以提，不代表套用公式之后也沒有公因式可以提，所以在檢查分解是否徹底時，還需要考慮能否提公因式和運用公式;第二種做法中，得到的二次式不符合平方差和完全平方的形式，不代表不能分解，實際上可以先湊成完全平方的形式，再得到平方差的形式（教師甚至可以簡單介紹“十字相乘法”）。

（三）復習課：導向“喚醒”

復習課的前置性補償教學，可以通過學習單的練習，喚醒學生對已學知識的記憶，從而鞏固所學，厘清認識。

例如，蘇科版初中數學七年級下冊第8章《冪的運算》復習課學習單中的“前置性補償”內容設計如下：

計算：

1.（-2）²×2²×（-2²）;

2.（-2）¹⁰×2¹⁰×（-2¹⁰）;

3.3^-2+（π-3）⁰;

4.（2/3）^-2×（3/2）²。

……

這里，前兩題除了指數不同之外，其余部分都一樣，旨在喚醒學生對同底數冪乘法的運算性質以及底數為負數、冪取相反數時的處理方法的記憶。第1題為第2題做鋪墊：第1題的指數相對較小，不用冪的運算性質而分別算出每個冪的值，也可以算出來;第2題就必須利用冪的運算性質來計算，“死算”非常麻煩。第3題比較容易，旨在喚醒學生對負指數和零指數計算方法的記憶。第4題則讓學生綜合運用負指數的計算方法和同底數冪乘法的運算性質。這道題有一定的陷阱：學生容易直接利用同底數冪乘法的運算性質把指數加在一起，或者直接利用積的乘方的運算性質把底數乘在一起。如果學生出現這樣的錯誤，則說明學生對冪的運算性質記憶不清，需要教師及時進行補償教學。

（四）活動課：導向“體驗”

活動課的前置性補償教學，可以通過學習單的活動任務，引領學生操作體驗，探索獲得初步的知識，或者解決簡單的問題。

例如，蘇科版初中數學八年級上冊第1章的《數學活動關于三角形全等的條件》一課學習單中的“前置性補償”內容設計如下：

活動1：在草稿紙上畫出△ABC，其中∠A=45°，AB=3cm，AC=4cm。剪下此三角形，和你的小伙伴比一比，它們全等嗎？

活動2：在草稿紙上畫一個三角形，使得其中一個角為45°，兩條邊長分別為3cm、4cm。這個三角形和活動1中的三角形一定全等嗎？

活動3：在草稿紙上畫出△ABC，其中AB=3cm，∠A=45°，∠B=30°。剪下此三角形，和你的小伙伴比一比，它們全等嗎？

活動4：在草稿紙上畫一個三角形，使得其中兩個角分別為45°、30°，一條邊長為3cm。這個三角形和活動3中的三角形一定全等嗎？

反思：通過這4個活動，你有什么發現？

……

在這一系列活動中，學生首先能體驗到角的畫法的多樣性：可以利用量角器、三角板或折紙。其次能體驗到分類討論的數學思想，加深對全等三角形判定條件的認識：

活動1和活動2都是給定“兩邊一角”，畫三角形。活動1給定的“兩邊一角”關系確定，因此學生畫出的三角形是全等的，由此學生可以體會到“SAS”可以判定三角形全等的基本事實。活動2給定的“兩邊一角”關系不確定，可以分為“SAS”和“SSA”兩種情況，而“SSA”又可以分為“S1S2A”和“S2S1A”兩種情況，由此學生可以進一步體會到“SSA”有時可以判定三角形全等（如圖1），有時不行（如圖2），一共可以畫出3種不同的三角形。

活動3和活動4都是給定“兩角一邊”，畫三角形。活動3給定的“兩角一邊”關系確定，因此學生畫出的三角形是全等的，由此學生可以體會到“ASA”可以判定三角形全等的基本事實。活動4給定的“兩角一邊”關系不確定，可以分為“ASA”和“AAS”兩種情況，而“AAS”又可以分為“A1A2S”和“A2A1S”兩種情況，由此學生可以進一步體會到“AAS”可以轉化為“ASA”，從而判定三角形全等，一共可以畫出2種不同的三角形。