深度學習，從學生的提問開始

趙勁松

摘要：《圓的周長》一課教學的框架是讓學生經歷一個由猜測到驗證的“再發現”過程。但是，要注意過于順暢的環節推進是否遮掩了學生可能萌生的問題，讓其涌動的思維成為靜默的暗流。深度學習，理應從學生的提問開始。本節課的教學可以分為五個環節：對課題提問，確定方向，初步解決;對數據提問，直面困惑，大膽推測;對方法提問，基于困惑，走進歷史;對結論提問，質疑批判，追根尋底;對全課提問，回顧總結，存疑拓展。

關鍵詞：深度學習 學生提問 圓周率 《圓的周長》

聽過幾節《圓的周長》的課，教學框架基本相同：先出示兩（幾）個圓，請學生比較哪個圓的周長長一些，思考周長與什么有關，猜測周長是直徑的幾倍;進而引導學生通過實驗驗證，發現周長總是直徑的三倍多一點;在此基礎上給出定論，介紹圓周率及其歷史;最后，引導學生推導圓的周長公式并運用。

這個框架總體上沒有問題，讓學生經歷了一個由猜測到驗證的“再發現”過程。然而，過于順暢的環節推進是否遮掩了學生可能萌生的問題，讓其涌動的思維成為靜默的暗流呢？比如：猜測周長是直徑的幾倍時，學生考慮的是特殊的、具體的圓，還是普遍的、抽象的圓？用“誤差”就可以消除學生對“倍數不相等”的疑惑了嗎？對于作為文化點綴的“割圓術”，學生的理解又是怎樣的“自以為然”？學生對“圓周率是一個無限不循環小數”有懷疑嗎？……

有人說，改變世界的不是答案，而是問題。我深以為然。深度學習，理應從學生的提問開始。

一、教學實踐

（一）對課題提問，確定方向，初步解決

師（板書課題：圓的周長）看到這個課題，你想到了哪些問題？

生圓的周長怎么算？

生圓的周長怎么量？

生圓的周長與直徑、半徑有什么關系？

師（逐一板書學生的問題）下面我們就來研究這些問題。把你已經有的想法在小組里說一說，同時聽一聽同伴的思考。

（學生小組交流。）

師請各小組匯報能夠解決的問題。

生用一根繩子圍著圓繞一周，再拉直，就可以量出圓的周長。

生還可以把圓放在尺子上滾一周，看滾了多遠，就是圓的周長。

師（分別用課件演示兩種方法）其實剛才兩種方法都做了一件事情，把圍成圓的曲線——

生拉直了。

師好，我們解決了怎么量的問題。還能解決什么問題？

生我們認為，圓的半徑或直徑越長，它的周長就越長。

師你們發現了周長和直徑、半徑有關系，具體是什么關系呢？

生我覺得，圓的周長比兩條直徑要長。上半部分是一條曲線，比直徑長;下半部分也是一條曲線，也比直徑長。

師真好，有理有據！比兩條直徑長，換句話說就是——

生圓的周長比直徑的兩倍要多。

師（出示一個直徑5厘米的圓）你認為這個圓的周長是直徑的幾倍？

生2倍多，大約2.5倍。

師（出示一個直徑40厘米的圓）這個圓呢？

生也是2.5倍。

師有不同想法嗎？

生我認為，兩個圓的周長都是直徑的3倍。

生我認為，兩個圓的周長都是直徑的5倍。

生我認為，應該都是3倍多一點。

師盡管剛才幾位同學猜測的倍數不同，但是他們的猜測有一個共同的地方——

生兩個的倍數關系是一樣的。

師有不同想法嗎？

生我想說，你們的眼力怎么可能這么好，一眼就看出來是幾倍。我認為，倍數關系不可能完全一樣。

生一個圓的周長變大，直徑也會變大，所以我認為，倍數是一樣的。

師聽明白了，你們認為倍數相同，靠的不僅僅是眼睛的觀察，還有大腦的分析。兩位同學都很棒，請堅持自己的觀點。假如這個倍數是固定的，黑板上有一個問題就可以解決了——

生用直徑乘倍數就可以算出周長。

師如果是不一樣的，還能這樣計算嗎？

生不能。

師看來，這個倍數是不是固定的，很值得研究。怎么研究呢？

生量出幾個圓的周長和直徑，計算倍數，比一比，看看到底一樣不一樣。

（學生分組實驗，填寫表1。其中，兩個小組的圓相同，由教師提供;其他小組的圓自備。）

（二）對數據提問，直面困惑，大膽推測

生（一個小組匯報）……我們發現，倍數是不固定的。

師各小組的實驗結果都是這樣的嗎？有什么問題嗎？

生按理說應該是一樣的啊，為什么結果卻是不一樣的？

生我知道這個倍數是3.14，但為什么我們通過做實驗得不到？

師是我們前面的“感覺”出問題了嗎？

生不是。盡管我們測量得到的倍數不一樣，但這是因為我們沒有專業的測量工具，所以測量是有誤差的。

生你怎么知道我們的測量有誤差呢？

生只要測量就會有誤差。

（兩位學生爭執不下。）

師（出示持相同學具的兩個小組填寫的表格）兩個小組測量同樣的圓，結果卻不一樣，意味著什么？

生意味著有誤差。

師（出示持不同學具的兩個小組填寫的表格）盡管有誤差，但我們發現，這兩個大小差距這么大的圓，倍數卻也差不多。這又意味著什么呢？

生說明這個倍數可能是固定的。

生我不同意。有誤差，所以倍數不一樣，但也不能說明，沒有誤差，就一定一樣。你們只是在推測，我還是感覺倍數不完全一樣，除非你們用“真理”來推翻我。

生我國古代的數學家早就算出來這個倍數在3.1415926到3.1415927之間。

師“真理”來了，你服氣嗎？

生不服氣，這個數是怎么得來的啊？

（三）對方法提問，基于困惑，走進歷史

師我們的祖先在很早的時候就發現，圓的周長與直徑有關。就和同學們一樣，通過測量得出了一個大約的結論：周三徑一。1700多年前，我國數學家劉徽發明了一種新的研究圓的周長的方法——割圓術。你有什么想問的嗎？

生割圓術是把圓分割成很多個扇形嗎？

生割完了要不要量？

師（課件演示將圓周平均分割成六份，連接六個點形成正六邊形）這個正六邊形很特殊，你看出它特殊在哪里了嗎？

生正六邊形的邊長和圓的半徑相等。

生正六邊形的周長是圓的直徑的3倍。

師正六邊形的周長和圓的周長比較呢？

生圓的周長比正六邊形的長，所以應該是直徑的3倍多。

師（課件演示將圓周繼續分割，得到正十二邊形、正二十四邊形……）正多邊形的周長越來越怎么樣？

生接近圓的周長。

師劉徽正是用這種方法一直分割到正192邊形，求得了3.14這個數值。

生劉徽怎么能把圖形畫得那么標準呢？

生到了正192邊形的時候，圓周上能點下那么多點嗎？

師同學們問得很好！確實很難畫出。假設真的畫出了正192邊形，你認為接下來會怎么做？會用尺子來測量一條邊的長度再乘192嗎？

生不會，太麻煩了。

師僅僅是麻煩嗎？

生還因為只要測量，就會有誤差。

師所以，這樣看來，你們認為劉徽真的把正192邊形畫出來了嗎？

生可能沒有吧。但又是怎么得到3.14的呢？

師割圓術之所以能得到更精確的結果，是因為方法的改變。它是一種根據半徑來計算多邊形邊長的方法。具體如何算，你們要到中學才能理解。割圓術讓我們確定了圓的周長相對于直徑的倍數是一個固定的數，我們把這個數叫作——

生圓周率。

（四）對結論提問，質疑批判，追根尋底

師又過了大約200年，數學家祖沖之進一步發展了割圓術，分割到了正24576邊形，把圓周率算到了小數點后七位，領先世界1000多年。當然，國外的數學家在這方面的研究成果同樣非常偉大，他們又發明了新的研究方法。到了近代，圓周率已經算到了小數點后面很多很多位。（出示下頁圖1）你看到了什么？

生看到沒有規律的無限小數。

生就是無限不循環小數。

師他們看到了無限不循環小數。有向他們提問的嗎？

生如果繼續往后算，可能會到頭吧？會算到有限的吧？

生到后面可能會循環吧？因為省略號后面是未知的。

師我喜歡你們提出的問題！你們現在還堅信它是一個無限不循環小數嗎？

生不確定了。

師但是，現代的計算機已經算到了小數點后數十萬億位，都沒發現循環。

生不管算到多少，后面只要還有，就有可能循環。

師我欣賞你的堅持！就像這樣算下去，能讓我們安心地認為它就是一個無限不循環小數嗎？

生永遠都不能。

師是的，除非用另一種方法來證明。200多年前，德國數學家蘭伯特就用數學的方法證明了它是一個無限不循環小數。對此，大家到高中會再接觸。

（教師引導學生歸納公式，解決問題。）

（五）對全課提問，回顧總結，存疑拓展

師今天我們研究的主角是——

生圓周率。

師關于它，你了解了什么？

生是周長相對于直徑的倍數。

生是一個固定的數。

生是一個無限不循環小數。

生用π表示。

生一般取近似值3.14。

師從“3”到“3.14”，再到“3.1415926”，最后到無窮無盡，在逐步走向精確、走向完美的過程中，又蘊含了多少古今數學家畢生的心血啊！在這節課中，老師特別欣賞你們的敢于提問、敢于質疑，特別佩服那位讓大家用“真理”來說服她的同學！學到這兒，對于圓的周長，你還有什么問題呢？

生一個圓的周長到底能不能準確地得到？

生圓周率為什么一般取值3.14？能不能往后多保留幾位小數？

生為什么用“π”來表示圓周率？

師帶著問題，我們可以課后繼續研究。

二、教學反思

提出一個問題比解決一個問題更重要。因為我們知道，提出問題是對新知的渴求與探索，是對已知的質疑與批判，往往意味著創造的開始。然而，事實上，我們卻很少讓學生自己提出問題，更多的是讓他們解決我們提出的問題。這背后，是立場的問題：教學應該站在知識的立場，還是站在學生的立場？

圓周率是本課的中心內容。作為一個內涵無比豐富的概念，如何切入？如何研究？如何確認？這是一個由模糊到清晰的過程。在這個過程中，學生的思維會有怎樣的“暗流涌動”？得讓學生提出自己的問題。

實驗一直被看作認識圓周率的關鍵一環。可是，學生能通過實驗得到圓周率嗎？顯然不能。學生在實驗前通過觀察、推理，猜測周長與直徑的商是一個固定值，而實驗最終得到的比值必將不是一個固定值，教材的目標定位也只是讓學生發現“三倍多一點”。若就此給出定論，學生會服氣嗎？課堂上，我印象最深的是一個女生。在圓的周長除以直徑的商是不是一個固定值的判斷上，她幾乎是孤身一人對抗整個班級。隨后的實驗數據支持了她的觀點，卻被“誤差”的說法推翻，但她堅持自己的懷疑態度：“有誤差，所以倍數不一樣，但也不能說明，沒有誤差，就一定一樣……除非你們用‘真理來推翻我。”我感動于她的堅持。這是對實驗方法的質疑、對所得結論的質疑，也是對“真理”的渴盼。教學中，我以兩組相同的學具得出的不同數據讓學生看到誤差的存在，再以兩個大小懸殊的圓所得的倍數相差不多讓學生感到倍數可能是一個固定的數。可喜的是，她依然不買賬，因為這還不是“真理”。學生思維的暗流正是通過提問得以攪動、洶涌，更精確的研究方法的出場也才成為迫切的需求。

圓周率的研究歷史不能只是文化點綴般的介紹。僅僅拋給學生一個“割圓術”的名稱、一個“無限接近圓”的遐想、一個“領先世界1000多年”的驕傲，都不能擊中學生的“痛點”，都不是學生想要的“真理”。割圓術的意義在于方法的革新。課堂上，學生不僅僅是聽眾，更是思維的參與者、問題的發現者、“歷史”的推動者。“是把圓分割成很多個扇形嗎？”“割完了要不要量？”“怎么能把圖形畫得那么標準呢？”“圓周上能點下那么多點嗎？”“又是怎么得到3.14的呢？”這些問題的提出彰顯著學生的好奇，也暴露出他們的錯誤理解。學生當然看不懂割圓術的算法，但是，最起碼得讓他們知道是怎樣割圓的，特別是割圓之后不是通過測量而是通過計算得出結果的，正是因為方法的本質改變，所以才能得出固定的、精確的數值。

圓周率是一個無限不循環小數。想象一下，無窮無盡，永不重復，永遠不會被定論，永遠值得探索。對于學生來說，一定是十分神奇的。然而，教學中僅僅是讓學生發出一聲驚嘆嗎？驚嘆的背后難道就是輕信、盲從，而沒有一絲疑惑嗎？這是學生認識的第一個“純天然”的無理數。既然是無限不循環的，那我們是怎么知道它是無限的，又是怎么確定它是不循環的呢？很高興，課堂上學生發出了這樣的聲音。

五次讓學生提問，從課始的“是什么”“怎么做”這類最基礎的未知問題，明確方向，展開研究，到學習過程中對方法、結論的科學性大膽質疑，敢于懷疑“是真的嗎”，敢于追問“為什么”，再到課尾提出新的問題，萌發新的思考，逐漸讓思維向深處漫溯，讓深度學習發生。

提出問題當然意味著可以更好地解決問題，但其本身就是主動學習的開始，是高階思維的體現，是值得我們去研究的更重要的事情。

*本文系安徽省教育科學研究項目“核心素養視域下小學數學基于‘真問題教學的實踐研究”（編號：JK19103）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 孫四周.還原祖沖之——我是如何在中學講割圓術的[J].教育研究與評論，2016（6）.

[2] 張景中.從2談起（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社，2011.