基于極限定義教學的學生創新思維培養

鄭中團 王國強 李路 劉文博

摘 ?要：極限是高等數學的基礎，通過極限概念的教與學，以期激發學生的創新思維。首先，通過定性描述，語義表達轉換，數形結合及問題轉化等，引導學生觀察歸納，從特殊到一般，“探索式”得到數列極限的精確定義;其次，給出改進的描述性定義——“任意方式”和“唯一確定”的表述形式，啟發學生進行類比，從而更直觀、更快地理解極限定義和相關定理。

關鍵詞：極限 ?高等數學 ?合情推理 ?創新思維

中圖分類號：O171 ? 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）03（b）-0217-02

極限理論是高等數學的基礎，無論導數，還是各類積分的定義，都離不開極限的概念[1，2]。極限既是一個過程，又是一個狀態。它反映了一個函數在無窮變化過程中的發展趨勢和最終狀態。如何深入淺出，使學生準確地理解掌握這一概念，筆者在教學過程中有一些體會，進行了一點探索，以期激發學生的探究能力和創新思維，從而激發他們對數學學習的興趣。

從極限的定性描述出發，通過轉換說法，數形結合，由有限到無限，問題轉化，最終探索式的“翻譯”成精確量化的ε-N表述，使定性和定量在講解時“快速”成為一體，從而借助極限一般性描述的易懂性，使學生在短時期內較準確理解抽象的極限的精確定義。

這個探索過程中蘊含了觀察歸納，特殊化和普遍化等合情推理策略[3-5]。合情推理，不同于論證推理，它是數學發現與猜測探索的一種手段。重視猜想、學會猜想、運用猜想來進行探索思考，將此策略貫穿在高等數學的教與學的過程中，必然會激發學生的創新發現思維，從而激發他們對數學學習的興趣。

2 ?極限定義的“任意方式”和“唯一確定”表述形式

類比也是合情推理的一種策略。所謂類比，就是某種類型的相似。相似的系統在某個方面彼此一致，類比的系統則其相應部分在某些關系上相似。例如，長方形可與長方體類比，事實上，長方形各邊之間的關系與長方體的各面之間的關系相似：長方形的每一邊恰與另一邊平行，而與其他邊垂直;長方體的每一面恰與另一面平行，而與其他面垂直。數學中可類比物很多。下文進一步通過極限定義的“任意方式”和“唯一確定”表述形式，對“類比”這種手段加以闡述。

由ε-N定義不難得出收斂數列極限的唯一性，結合此性質和ε-N定義，對描述性定義進行改進。

定義1：對于數列{}，如果當n以任意方式無限增大時，數列值無限趨近唯一確定的數值α，則數列{}收斂于α。否則，數列是發散的。

從改進后的定義1中可以提煉兩個關鍵詞“任意方式”和“唯一確定”，也即在數列極限定義中自變量n→∞的方式任意，但相應的數列值變化趨勢唯一。通俗地講，在數軸上，無論n以何種方式趨近∞，相應的數列值僅無限接近一個確定的常數α，則稱該數列收斂且極限為α;反之，當n以不同子列的方式趨近∞，相應的數列值無限接近不同的常數（包括+∞或-∞），則該數列發散。通過類比，這種表述可歸結為下面的定理。

定理1：如果數列收斂于α，則其任意子列一定收斂且必收斂于α。

定理1表明，如果某數列的兩個子列收斂于不同的值（包括+∞或-∞），則此數列一定發散。如{（-1）n}，這里n→∞選擇了兩種特殊方式，n以奇數或偶數的方式趨近∞，相應地，，，故此數列發散。

進一步，類似于定義1，“任意方式”和“唯一確定”表述形式可以類比推廣到函數極限甚至多元函數極限，這種表述有利于更直觀、更快地理解極限定義和相關定理。

定義2.當以任意方式無限趨近∞（或||以任意方式無限增大），相應地函數值無限接近唯一確定的常數A，則A稱為函數當時的極限，記為或→A（），否則發散。

由定義2，中的方式任意，包含了+∞與的同時進行，由此可得，;而+∞與-∞的同時進行包含了的任意方式，由此可得，。

由定義2，中的方式選擇正方向并以離散數列的特殊形式n，則，由此可利用函數極限求數列極限。

定義3。當以任意方式無限趨近0，相應地函數值無限接近唯一確定的常數A，則稱為函數當時的極限，記為或（），否則發散。

類似于定義2的分析，等價于與的同時進行，從而。

由定義3，中當以離散數列n的方式趨近0，相應地就有;當以不同的數列n方式趨近0，相應的函數值無限接近不同的常數（包括+∞或-∞），則該當時的極限不存在，由此給出了判斷函數極限不存在的一種方法。嚴格的結論表述為下面的定理。

定理2：如果極限，{}為函數定義域內一收斂0的數列，且（n∈N），則對應的函數值數列也收斂，且。

注：定理2給出了用于判斷函數極限不存在的一種方法：（1）找一個數列{}（），使得時，不存在，則極限不存在;（2）找兩個趨于0的不同數列{}，{yn}，若，則極限不存在。

3 ?結語

該文是極限定義講解的兩點注記。觀察歸納、一般化與特殊化、類比推廣等策略不僅僅可用于極限定義講解的過程中，更應貫穿于高等數學的教與學的過程中。這一套合情推理策略是一套數學發現的方法，是提高解題能力的一條好途徑。又因數學題和生活工作中的問題有許多相近相似之處，故它又是解決一般問題的思想方法。這類方法的運用與實踐強調讓學生自己猜測探索與發現問題，勢必可以調動學生的學習積極性，有助于培養學生創新思維的能力，有助于培養學生勇于進取、科學探索的精神。

參考文獻

[1] 同濟大學.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 華東師范大學.數學分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[3] 喬治·波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.

[4] 喬治·波利亞.數學的發現[M].呼和浩特：內蒙古人民出版社，1980.

[5] 喬治·波利亞.數學與猜想[M].北京：科學出版社，2001.