探究留數定理在求解不同類型積分上的應用

曾喬

摘? 要：留數定理作為復變函數中留數理論的重要定理之一，其定理在實際生活中得到廣泛的應用.尤其是當某些定積分被積函數的原函數不容易給出時，利用留數定理來計算這些比較困難的定積分是解決定積分的求解問題上的一個有效方法，文章就怎樣利用留數定理求某幾種特殊情形的定積分的值做以下闡述。

關鍵詞：復變函數;留數定理;積分計算

中圖分類號：O174.5? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）11-0175-02

Abstract： As one of the important theorems of residue theory in complex function， residue theorem has been widely used in real life. Especially when the original functions of some integral functions are not easy to be given， using the residue theorem to calculate these difficult definite integrals is an effective method to solve the problem of definite integrals. This paper expounds how to use the residue theorem to calculate the value of definite integral in some special cases.

Keywords： complex function; residue theorem; integral calculation

在解決工程技術中的一些實際問題時通常會遇到求解一些實積分，尤其是計算積分區間在無窮區間上的廣義積分或反常。例如，在光學問題中需要計算菲涅爾積分x2dxdx;熱傳導問題中需要計算cosbxdx;阻尼問題中需要計算;傅里葉變化法求解熱傳導問題的偏微分方程時將遇到的osbxdx（a>0，b為任意實數）積分計算等。這些實變函數的積分所具有的特點是被積函數的原函數通常不好直接給出，需要應用高等數學中的一些特殊的積分手段才能求解，從而通常所應用的牛頓-萊布尼茨公式就不能得以應用，這就不易于我們對一些實際問題的討論，這時就得利用復變函數這門課程的相關內容。

留數定理作為復變函數中留數理論的重要定理之一，復積分里的Cauchy-Goursat定理、柯西積分公式及其高階導數公式都作為它的特殊情形，同時留數定理也是將復積分與洛朗級數相結合應用后的結果。留數定理的主要應用體現在可以把積分路徑為封閉光滑曲線的復積分轉化為計算在孤立奇點處的留數之和，但在這之前必須得正確理解孤立奇點的概念、孤立奇點的幾種類型以及函數在孤立奇點的留數概念。因……