探究留數(shù)定理在求解不同類型積分上的應(yīng)用

曾喬

摘? 要：留數(shù)定理作為復(fù)變函數(shù)中留數(shù)理論的重要定理之一，其定理在實(shí)際生活中得到廣泛的應(yīng)用.尤其是當(dāng)某些定積分被積函數(shù)的原函數(shù)不容易給出時(shí)，利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算這些比較困難的定積分是解決定積分的求解問(wèn)題上的一個(gè)有效方法，文章就怎樣利用留數(shù)定理求某幾種特殊情形的定積分的值做以下闡述。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù);留數(shù)定理;積分計(jì)算

中圖分類號(hào)：O174.5? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-2945（2020）11-0175-02

Abstract： As one of the important theorems of residue theory in complex function， residue theorem has been widely used in real life. Especially when the original functions of some integral functions are not easy to be given， using the residue theorem to calculate these difficult definite integrals is an effective method to solve the problem of definite integrals. This paper expounds how to use the residue theorem to calculate the value of definite integral in some special cases.

Keywords： complex function; residue theorem; integral calculation

在解決工程技術(shù)中的一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)通常會(huì)遇到求解一些實(shí)積分，尤其是計(jì)算積分區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分或反常。例如，在光學(xué)問(wèn)題中需要計(jì)算菲涅爾積分x2dxdx;熱傳導(dǎo)問(wèn)題中需要計(jì)算cosbxdx;阻尼問(wèn)題中需要計(jì)算;傅里葉變化法求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題的偏微分方程時(shí)將遇到的osbxdx（a>0，b為任意實(shí)數(shù)）積分計(jì)算等。這些實(shí)變函數(shù)的積分所具有的特點(diǎn)是被積函數(shù)的原函數(shù)通常不好直接給出，需要應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的一些特殊的積分手段才能求解，從而通常所應(yīng)用的牛頓-萊布尼茨公式就不能得以應(yīng)用，這就不易于我們對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的討論，這時(shí)就得利用復(fù)變函數(shù)這門課程的相關(guān)內(nèi)容。

留數(shù)定理作為復(fù)變函數(shù)中留數(shù)理論的重要定理之一，復(fù)積分里的Cauchy-Goursat定理、柯西積分公式及其高階導(dǎo)數(shù)公式都作為它的特殊情形，同時(shí)留數(shù)定理也是將復(fù)積分與洛朗級(jí)數(shù)相結(jié)合應(yīng)用后的結(jié)果。留數(shù)定理的主要應(yīng)用體現(xiàn)在可以把積分路徑為封閉光滑曲線的復(fù)積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和，但在這之前必須得正確理解孤立奇點(diǎn)的概念、孤立奇點(diǎn)的幾種類型以及函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念。因……