探究留數定理在求解不同類型積分上的應用

曾喬

摘? 要：留數定理作為復變函數中留數理論的重要定理之一，其定理在實際生活中得到廣泛的應用.尤其是當某些定積分被積函數的原函數不容易給出時，利用留數定理來計算這些比較困難的定積分是解決定積分的求解問題上的一個有效方法，文章就怎樣利用留數定理求某幾種特殊情形的定積分的值做以下闡述。

關鍵詞：復變函數;留數定理;積分計算

中圖分類號：O174.5? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）11-0175-02

Abstract： As one of the important theorems of residue theory in complex function， residue theorem has been widely used in real life. Especially when the original functions of some integral functions are not easy to be given， using the residue theorem to calculate these difficult definite integrals is an effective method to solve the problem of definite integrals. This paper expounds how to use the residue theorem to calculate the value of definite integral in some special cases.

Keywords： complex function; residue theorem; integral calculation

在解決工程技術中的一些實際問題時通常會遇到求解一些實積分，尤其是計算積分區間在無窮區間上的廣義積分或反常。例如，在光學問題中需要計算菲涅爾積分x2dxdx;熱傳導問題中需要計算cosbxdx;阻尼問題中需要計算;傅里葉變化法求解熱傳導問題的偏微分方程時將遇到的osbxdx（a>0，b為任意實數）積分計算等。這些實變函數的積分所具有的特點是被積函數的原函數通常不好直接給出，需要應用高等數學中的一些特殊的積分手段才能求解，從而通常所應用的牛頓-萊布尼茨公式就不能得以應用，這就不易于我們對一些實際問題的討論，這時就得利用復變函數這門課程的相關內容。

留數定理作為復變函數中留數理論的重要定理之一，復積分里的Cauchy-Goursat定理、柯西積分公式及其高階導數公式都作為它的特殊情形，同時留數定理也是將復積分與洛朗級數相結合應用后的結果。留數定理的主要應用體現在可以把積分路徑為封閉光滑曲線的復積分轉化為計算在孤立奇點處的留數之和，但在這之前必須得正確理解孤立奇點的概念、孤立奇點的幾種類型以及函數在孤立奇點的留數概念。因此掌握留數的計算法，特別是極點處留數的求法是應用留數定理的重點，也是實際中求解一些特殊實變函數積分的關鍵點。不僅如此，應用留數定理還能計算一些不易求得的廣義積分與反常積分，這些特殊積分可以用留數理論分類后做統一處理。所以留數定理在作理論探討和實際應用中都具有重要意義。

如何利用留數定理求解三種類型的實積mxdx等幾種類型的積分，整體思路是將實變函數的積分轉換成復變函數沿著某條封閉光滑路線的積分，所以就得設法把沿區間的積分換為沿封閉路線的積分，通常所采用的方法：一是先找一個與所求的被積函數f（x）密切相關的復變函數F（z），使得當z在實軸上的區間內變動時有F（z）就是f（x），或者F（z）的實部或者虛部中有一個是f（x）;二是找出一條連接區間兩端的按段光滑曲線，使與區間一起構成封閉曲線。

1 留數的定義與計算

定義1[1]? 設a（a≠∞）是函數f（z）的孤立奇點，若函數

f（z）在0<|z-a|

2 留數定理[1]

設D是復平面上的一個有界區域，其邊界是一條或有限條簡單閉曲線C。設f（z）在D內除去有限個孤立奇點z1，z2，…，zn外，在每一點都解析，并且它 計算（cos？茲，sin？茲）d？茲型積分

若有z=ei？茲，則d？茲由歐拉公式得

當？茲從0變化到2？仔時，z沿單位圓周正方向繞行一周，因此有以下的計算積分公式：

例1 計算積分I

解：令z=ei？茲，則d？茲（z）=？漬（a）可知

3.2 計算dx型積分

定理1[2]? 設f（z）=為有理分式，其中P（z）=c0zm+c1zm-1+…+cm（c0≠0），與Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b0≠0）為互質多項式，且符合條件：（1）n-m？叟2;（2）在實軸上Q（z）≠0;于是有

例2 設a>0，計算積分

解 設f（z）=因為

所以

例3 求積分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的值

解 因為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由定理1知道

3.3 計算? ? ? ? ? ? ? 型積分

定理2[3] 設g（z），其中P（z）及Q（z）是互質多項式，且符合條件：

（1）Q（z）的次數比P（z）的次數高;（2）在實軸上Q（z）≠0;（3）m>0;則有

例4 計算積分

解 因為f（z）=平面x2=5內無奇點，在實軸上只有兩個一級極點x1=2，x2=5。于是

所以

因此利用留數定理在圍線積分中的應用計算對一些特殊實積分進行留數定理的探究，如反常積分、廣義積分等中的應用，可以起到舉一反三的作用，它是研究計算定積分，尤其是對原函數不易直接求得的實積分和反常積分，常是一個有效的方法，其要點是將其劃歸為復變函數的周線積分，再把計算周線積分的整體問題，化為計算各孤立奇點處留數的局部問題，繼而就可得到解決。不僅如此留數定理還能推導出了電磁學中的安培環路定理，其方法比較簡便，避免了一些教材中的復雜推導，還能解決靜電學、電磁學中的一些積分的運算。因此柯西留數定理是復變函數論中留數理論的重點和難點，如何在教學中突出重點，化難為易，是今后的教學研究的重要內容之一。

除此之外在控制理論中，當我們需要進行系統分析時，需要利用拉普拉斯變換來分析系統的傳遞特性，這時如果利用拉普拉斯的逆運算公式進行分析求解，在運算上會有一定的難度，而將留數利用在拉普拉斯的逆運算上則會大大降低了運算的過程。

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]智麗麗，李艷青.留數定理在積分計算中的應用[J].昌吉學院學報，2014（1）：74-76.

[3]陸生琪.留數理論及其應用[J].三江學院，2009（33）：947-949.