“四疑四創”式數學思維課堂的探究與實踐

施浩妹

【摘要】“數學是思維的體操”，而“疑”是思維的火花，在落實立德育人，發展核心素養的當下，作為教師，應該如何有效開展課堂教學？如何勾起學生的求知欲望并使其產生疑惑？如何一環一環地引導其解決疑惑進而培養學生的思維習慣，提升學習能力？筆者從精心設疑、引導解疑、鼓勵質疑、適當留疑這四方面展開探究、思考.

【關鍵詞】數學課堂，設疑解疑，引導反思

數學是一門什么樣的學科？它自身的育人任務是什么？在我們的教學中為何會有諸如此類的問題：學生在課堂上聽懂了，課下卻忘了，教師覺得簡單的，學生卻覺得難，教師講清楚了，學生卻沒有聽懂，教師滔滔不絕，學生卻掌握甚少.筆者認為根源是這樣的課堂沒有讓學生產生探究解惑的欲望，學生的思維之門沒有被打開，他們體會太少，感悟太少，反思太少，又哪來提升學習能力、思維品質和核心素養一說呢？那么作為中學數學教師，到底需要創設怎樣的數學課堂，怎樣去設疑、引疑、留疑，去勾起學生質疑，引發學生開啟創新思維之門的鑰匙呢？

一、精心設疑，創設問題情境

（一）聚焦數學概念，聯系生活實際來設疑、創設

高中數學概念課是每一章的第一節課，學生對新授知識充滿神秘感，同時也伴隨著陌生和畏懼.如果教師“輕概念，重練習”，急功近利地授予新知的概念，大容量地訓練題目，就會導致學生對概念的感悟不足、認識不足、思辨不足，自然也就難以理解概念，再多的訓練也只能停留在機械記憶與模仿的思維層次.缺少感悟和思辨的課堂，出現“無根”“低空飛行”的現象也就難免了，那么數學素養的提升也就無從談起.我們知道問題可以激勵思維，沒有問題就沒有思維，故筆者設計了情境和問題串的方式來進行教學，提高學生的思辨和抽象能力.

如，在“集合”概念課的教學中設計了以下四個問題.

問題1：（1）請仿照下列敘述，向大家介紹一下自己，我家有爸爸、媽媽和我，我來自朝暉中學.（2）將班里的同學按性別成A、B兩組，你屬于哪一組？（3）把畢業于同一個初中的同學分在一個組，編上編號，你屬于哪一組？這樣的問題貼近生活，容易感知.

問題2：剛剛這些問題中的“家庭”“學校”“男生”“女生”“畢業于朝暉中學的同學”有什么共同特征？引導學生思考，讓學生用自己的語言表述，在學生表述的基礎上自然而然地抽象生成“集合”的描述性概念.

概念出來后，緊接著提出問題3：指出下列對象是否構成集合，如果是，指出該集合的元素.（1）我國的直轄市，（2）我們教室里的桌子，（3）我們班的高個子男生，（4）大于100的數.這樣的問題引導學生在思辨中進一步理解概念，如，（3）中的高個子男生，何為高，這算確定的對象嗎？放手讓學生自己去品味，自己去感悟.又如，（4）大于100的數確定嗎？無窮地列舉下去，列得完嗎？怎么辦？

列舉不完，沖突產生，剛好由此引到集合的表示方法，提出問題4：怎樣用符號來表示集合呢？這樣的問題串方式一環扣一環，層層遞進，讓學生的認識由感性到理性，也把集合概念由文字的描述性表達提升到了數學符號{x|p（x）}的抽象表達.

以問促思，以問促辨，在數學概念課的探究新知中，不僅激發學生的學習興趣，讓學生經歷從“疑惑”到“思疑”再到“發現”的過程，更提升了學生的思維品質，提升了學生的辨析能力和抽象概括能力.

（二）聚焦相似問題，利用形同質異來設疑、創設

數學課堂自然離不開例題的精選，好的例題可以事半功倍地提升學生的思維品質.在例題教學過程中，教師既要研究“形不同而質同”也就是通性通法，達到鞏固基礎知識與基本技能的目的，也要讓學生看到另一面“形同而質不同”，利用相似相近問題，培養學生差異性思維，提升學生的類比和分析能力.

筆者的教學課堂中，對題目的挑選，都是仔細研究對比后才給出的，不是單純地為做題而做題.比如，有這樣三道題：① 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，此不等式對任意x∈12，2恒成立，求m的取值范圍.② 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，此不等式對任意x∈12，2恒成立，求x的取值范圍.③ 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，若存在x∈12，2使不等式成立，求m的取值范圍.“m”變“x”，“任意”變“存在”幾字之差，如此相似的問題，到底有何差異，好奇心會引發學生仔細掂量，認真剖析.又如，有這樣兩道題：① 在等比數列{an}中，a3，a9是方程3x2-11x+9=0的根，則a6的值為.② 在等比數列{an}中，a4，a8是方程3x2-11x+9=0的兩根，則a6的值為.對這兩道題，大部分學生的答案會是一樣的均為±3，但結果為一對一錯，這也是十分神奇的，為何會這樣？答案無疑會極大地激發學生的探究欲望，打開學生的思維閘門.

設置這樣相似度極高的題組，目的是有意培養學生思考問題不能太狹隘，而要仔細品味題目的差異，要從不同角度、不同側面去研究問題，有利于提升他們類比分析問題的能力.這樣相似問題的創設也容易勾起學生的探究欲望，變被動思維為主動自覺思維，讓每一名學生主動參與、自主探究，形成“趣學”“樂學”的氛圍，從而讓學生的類比分析能力得到切實、有效的發展，對提升學生的數學素養大有裨益！

二、引導解疑，創造思維空間

當前的數學教學中“重結果，輕過程，輕能力”的現象嚴重，造成“教師教得累，學生學得苦”.在課堂上，教師不能一味地順著自己的解題思路一講到底，要廣泛聽取學生的想法，讓學生自主探究，將思維拓展開來，哪怕是錯誤的、不完整的思維，要相信學生的潛能，勇于放手，要讓課堂成為開放的課堂，要讓自己成為一個真正的點撥者、引導者，這樣可以衍生出更多精彩.筆者在一次導數的復習課中，出現了意外情況，就干脆讓它變成了一節開放課堂.

（一）筆者原始設計

題目 已知函數f（x）=lnx-a（x-1）x+1，若函數f（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數，求a的取值范圍.

筆者的預設是希望學生能利用“導函數的符號與原函數單調性之間的關系”將此問題轉化為一個不等式恒成立問題，最終用“參變分離”及“基本不等式的應用”求出參數的取值范圍.

（二）實際課堂呈現

事實上，很多學生做到“x2+2x-2ax+1≥0恒成立即可”時，想不到參變分離，都想到二次函數去了，想從二次函數的角度去解決它.學生1：“只要Δ=a2-2a≤0就可以了.”學生2附和說：“對，這個方法好！快！”（隨之其他學生也開始頻頻點頭，覺得很有道理）

筆者并不否定學生的想法，切斷學生的思維，而是提問到：“真的是這樣的嗎？二次函數我們可是很熟悉的啊，初中就學了，高中它也占據著一個很重要的位置，你們都同意1同學嗎？沒別的想法了？”

學生2開始反駁：“知道了，這個Δ≤0的條件太苛刻了，這里只要x∈（0，+∞）就可以了.都對x∈R恒成立了.”（其他學生也開始感悟到，的確如此）筆者似懂非懂地點評：“嗯，的確如此，那應該如何繼續呢？這要考查你們對二次函數學得扎不扎實了.”筆者順其自然，讓他們繼續討論爭論下去，最終答案出來了，然而探究并沒有結束.筆者繼續提問：兩種方法哪種好呢？

此時，學生齊刷刷回答第一種方法參變分離好，因為無須分類討論.

筆者立刻給出變式：“那如果真的是x2+2x-2ax+1≥0對x∈R恒成立呢？”

學生經過自己的探究、討論后發現此題也可以用之前的兩種思路，明白了方法不是永遠某一種好，要因題而異.

（三）教學總結反思

這節課違背了教師的原始計劃，打破了時間的限制和約束，成為開放的課堂，把話語權交給學生，給學生創造足夠“寬”的思維空間，讓學生自主探究，自己去發揮、去推理.學生的思維充分暴露，筆者只需圍繞學生的思維進行開放教學，不斷提出問題，引導學生解疑，一波剛落，一波又起，達到了很好的教與學的效果.我們需要這樣的開放課堂，來激活學生的思維閘門，最大限度地培養學生自主獲取知識的能力，

三、鼓勵質疑，創新思維培養

科學發明與創造往往是從質疑開始的，教材不是權威，教師也不是權威，所謂“長江后浪推前浪”，學生可以掌握教師還沒有掌握的知識，學生也可以超越教師，教師要鼓勵學生敢于挑戰和質疑，這樣可以讓學生樹立信心，使學生的主體意識覺醒，不斷地富有創新性，不斷地超越自身.所以在平時的教學中，教師可以聚焦質疑型問題，聚焦錯題、錯法，引導學生辨析、質疑，有效地培養學生的創新思維和批判精神.

（一）質疑同學，互相切磋

比如，在基本不等式的應用中有這樣一道題：已知x>0，求4x+9x2的最小值.筆者收羅學生的兩種解法呈現在黑板上：

學生1：因為4x+9x2=x+3x+9x2≥33x·3x·9x2=9，所以4x+9x2的最小值為9.

學生2：因為4x+9x2=2x+2x+9x2≥332x·2x·9x2=3336，所以4x+9x2的最小值為3336.

兩種解法的結果不同，到底哪名同學正確？部分附和學生1，部分附和學生2，但都說不出另一種解法為何錯？在質疑、批判中，引導學生辨析、討論.

終于有學生做出評判了：學生1一定錯，如果可以拆成“x”與“3x”，那一定也可以拆成“0.5x”與“2.5x”，這樣的話，答案太多了，一定是只能拆成一樣的“2x”與“2x”.

其他同學開始點頭同意，答案是出來了，那本質原因是什么呢？繼續探究思考，最終想到基本不等式有個極易忽視的東西“等號成立的條件——當且僅當”.

（二）質疑教師，增強自信

在一次考試中有這樣一道題：若函數f（sinx）=cosx+π3，求fcosπ3的值.資料給出的答案是“0”，筆者在自己的解答過程中也沒有意識到它是道錯題，做出的答案也是“0”，然而在試卷講評中，有學生質疑了筆者，同時也質疑了參考資料的答案，該生說他用兩種解法，解出來的答案是不一樣的：

法1：fcosπ3=fsinπ6=cosπ6+π3=0.

法2：fcosπ3=fsin5π6=cos5π6+π3=-32.

展示后，所有同學都說：“對，對，對，應該是兩解.”然而提出疑惑的學生說：“我總覺得哪里不對，雖然fsinπ6，fsin5π6 形式不一樣，但實質上都是f12，是‘一個值啊，怎么會出來‘兩個不一樣的結果呢？”因為筆者自己做題時也欠考慮了，做出了和參考答案一樣的答案，所以在學生討論、爭論的時候思維也沒有停止，腦子飛速轉動，正是因為這個“一個”“兩個”的點醒，筆者意識到題目本身出錯了，它根本就稱不上“函數”二字，它不符合“函數”概念中的“任意”“唯一”，于是順勢誘導：“對啊，怎么會一對二呢？”個別程度好的學生立馬條件反射：“一對二？函數怎么會一對二，它根本不是函數，題目本身就是一道錯題！”

在教學過程中，會遇到“錯誤題目”，教師本身也會犯錯，作為教師，要引導學生不迷信權威，敢于去質疑、去批判，找到問題所在、原因所在，錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造.作為教師，也可以制造這樣的質疑機會，創設情境讓學生來挑戰你、質疑你，聚焦錯題錯法，引導學生面對權威，敢于批判質疑，最終將“錯點”變為“亮點”，培養學生的批判精神和思維的嚴密性，提升學生的論證能力與創新思維能力，增強他們的自信心.

四、適當留疑，創造能力提升

羅增儒教授說過：“問題一旦獲解，就立刻產生感情上的滿足，忽視解題后的再思考，恰好也就錯過了提高的機會.”反思是數學思維活動的核心和動力，對一位教師而言，更要成為學生反思的引領者，不能就題講題，不能課上完就結束了.筆者喜歡在習題講評時，留有疑問，針對問題展開討論探究，深入思考，去挖掘題目背后更多的東西，喜歡在上完課后給學生留有一定空白，考查學生課堂有沒有領悟透，讓學生在留有的問題中反思，在反思中進一步提升創造能力.

（一）題后留疑拓展，提升思維廣度和深度

在一次作業講評時，有“已知向量a=（2，λ），b=（3，-4），且a·b的夾角為鈍角，求λ的取值范圍”這樣一道填空題，不少學生都做出答案λ>32來了，但是答案對，未必思維就嚴密.所以筆者讓一名答案對的學生講了他的思路，果然該學生只考慮了一頭，忽略了cosθ>-1這個條件.但由于這道題目中向量a與b不會出現反向共線的情況，所以學生們漏掉這一頭還是做出來了正確答案.但當時筆者并沒有指出該學生錯在何處，而是在黑板上寫下了變式：那如果a=（-2，λ），b=（3，-4），答案又如何？好多學生覺得一樣，都沒有動筆的意愿.直到學生1：“做出來了，答案是λ>-32.”學生2：“我也是這個答案.”筆者不動聲色，在黑板上寫下答案為λ>-32且λ≠83為止，大家才覺得詫異，勾起了好奇心，開始探究討論，發現其實應該滿足-1-16-4λ54+λ2>-1（3λ+8）2>0λ≠-83，答案總算做出來了，有更好的解法嗎？最后學生想到其實挖掉cosθ=-1即可.但筆者并沒有結束，而是讓學生思考，為何作業本上的題目你們漏考慮了，依然會對呢？繼續引導學生舉一反三，如果夾角變為銳角又如何？筆者希望通過這樣的講題方式，讓學生養成對題目進行再思考的習慣，在思維的深度和廣度上有更大的發展.

（二）課后留疑反思，提升創造能力

再看錯題：若函數f（sinx）=cosx+π3，求fcosπ3 的值.雖然當時程度好的學生明白它不符合函數概念，但是由于函數這個概念比較抽象，在初接觸時，很多學生就覺得難，既然此處出現了，就該鞏固加深一下，但是已經下課，所以筆者就布置了任務：“個別同學已經看到這是一道錯題，但很多同學還很迷茫，今天的作業之一就是繼續去思考這道題目，把它徹底想清楚弄明白，不可以模棱兩可.”筆者自己回去也重新整理了思路.其實本質上，利用換元法，令sinx=t，則y=cosarcsint+π3，可以看到這不是一個函數，但由于學生并沒有學過反三角函數，所以筆者在學生可以理解的范圍內，出了一道類似題：若函數f（sinx）=cosx，求f（cosx）.類比上次的解法，根據“形”去演變：

法1：f（cosx）=fsinπ2-x=cosπ2-x=sinx.

法2：f（cosx）=fsinπ2+x=cosπ2+x=-sinx.

但如果從“數”去研究，換元法解法如下：令sinx=t，則cosx=±1-t2，所以對應關系是f（t）=±1-t2，它沒有滿足對任意的t，有唯一的元素和它對應，所以它不是函數，這是一道錯題.為了學生能更清楚地理解此題，筆者還舉了以下簡單化的例子：

例1 若映射f：|x|→x+1，求f（|2|），f（|-2|）的值.

例2 若函數f（|x|）=|x|+1，求f（|2|），f（|-2|），f（2）的值.

在例1中，單純從“形”來看，|2|與|-2|是不同的元素，而f（2）也毫無意義，而在例2中，f（|2|），f（|-2|），f（2）三個值是一樣的.為了檢測效果，筆者還留了兩道作業題：

題1：若函數f（sinx）=cos2x，求f（cosx）.

題2：若函數f（sinx+cosx）=sinxcosx，求f（cos30°）.

對試卷中的一道題目，筆者為何要花大力氣去備課、去講解，一方面，是這個知識點導致的，函數本身是難點，依據螺旋式上升的教學理念，要好好把握這個機會，另一方面，讓學生知道原來課下教師還在仔細研究這道題，希望通過自己的言傳身教，告訴學生，不能課堂一結束，自己的探究就結束，要不斷反思總結，只要自己還有疑點，那就要有一探到底、一究到底的精神.教師要為學生養成反思品質做好榜樣，要讓反思成為課堂的一種文化，在潛移默化中讓學生養成分析總結、反思問題、反思課堂的習慣，從而在反思中獲得成長，提高學生的歸納整合能力，從而讓學生再創造.

數學是“思維”學科，學科有其特色，教學必然也有其特色，育人目標必然是把學生培養成具有學習能力的人，從而達到學生自身的全面發展.而對教師而言，需要更新自己的教學理念，審視自己的教學課堂，思考如何抓住數學教學的本質，如何更好地開展課堂教學，更好地以數學本身的魅力去吸引學生、培養學生.教師要讓數學課堂不僅是知識傳授的場所，更是改善學生思維品質、提升學習能力的樂園，讓學生從中感受到數學之美！

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