核心素養導向的數學評價研究

李向婷

[摘 ?要] 文章以2019年高考數學全國Ⅱ卷為例，分析學生核心素養在高考數學試題中的考查情況，對核心素養的考查呈現出以基礎為載體，對多個素養綜合性考查以及六大素養考查不均衡等特點.

[關鍵詞] 課程標準;高考數學;核心素養

引言

2017年教育部頒布《普通高中數學課程標準（2017年版）》，并指出數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析[1]. 每一個素養都對應劃分成了3個水平，其中高考數學命題水平依據主要參照水平二.

在已有研究中，對數學學科核心素養內涵[2-5]、構成要素及特征[6-8]、教學培養[9-13]的研究較多，較少有對數學核心素養的測評研究，且集中于初中學段，高中學段甚少. 如殷容儀、周雪兵、李賀等人分別對初二年級學生進行測試，分析出六大數學核心素養的現狀結果[14-19]. 李作濱分析高考中數學核心素養的考查情況以2018年高考為例[20]. 陳影等人例析高考試題對數學核心素養的考查， 以2016年四川省高考數學卷為例[21]. 本文從數學核心素養視角例析高考數學試題，以2019年高考數學全國Ⅱ卷為例，以窺探數學全國Ⅱ卷如何考查核心素養，進一步探析對數學核心素養的考查呈現出的特點.

研究對象

1. 研究對象的選取

全國Ⅱ卷適用范圍省（市）包括重慶等共計10個省（市），且涵蓋內蒙古、寧夏和新疆等以少數民族為主的地區，覆蓋地區范圍廣、民族多樣，2019年使用人數約達197萬，因此選取高考數學全國Ⅱ卷具有一定的代表性.

2. 研究對象的結構特征

使用全國Ⅱ卷的10個省（市），僅重慶和遼寧于2018實行新一輪的高考綜合改革，故2019全國Ⅱ卷仍然有文理卷之分.數學全國Ⅱ卷與2018年相比結構不變，各部分所占分值比例保持不變.但文理同題情況有所改變，詳情見表1.

從表1可知，2019年高考數學全國Ⅱ卷文理同題共有9道，分值達56分，占總分的37.3%，相對較高. 進一步分析表1發現，文理科相同題目的設置集中在以選擇題為主的客觀題，但所處位置有所不同，這也體現文理卷為適應不同學生難度的不同.

核心素養的考查分析

1. 直觀想象素養

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養[1]. 全國Ⅱ卷中有多題對學生直觀想象素養的考查，如理數第7、11、16、17題，文數第12、16、17題等，下面以理數第11題為例進行說明.

（5分，理數第11題）設F為雙曲線C： - =1（a>0，b>0）的右焦點，O為原點坐標，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P，Q兩點，若OF=PQ，則C的離心率為（ ? ?）

A. ? ? ? ?B.

C. 2 ? ? ?D.

解析：依題意作出圖形，如圖1所示.

圖1

設M為圓心，因為OF=PQ且F為右焦點，所以OM=MP= . 又因為點P在圓x2+y2=a2上，所以OP=a. 故在Rt△OMP中有OM2+MP2=OP2，即

+ ?=a2，整理得出e= .

本題考查雙曲線離心率的求法，根據題干之意得出圖1所示的示意圖，這樣做就將數形之間的聯系以及數學問題的直觀模型構建出來，進而探索出將雙曲線離心率問題放到Rt△OMP中得出含有a，c的等式的問題解決思路.學生不僅要掌握關于雙曲線、圓的基本知識點，還要將數學文字語言轉化為幾何圖形，借助幾何直觀去理解問題，故該題是一道從基礎知識點出發的綜合性題目，但偏重于對直觀想象素養的考查，從側面也反映出高考數學對核心素養的考查是以基本知識技能為載體的.

2. 數學抽象素養

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養[1]. 數學學科是培養學生抽象思維能力的主要學科，全國Ⅱ卷有多題對數學抽象素養進行考查，如理數第16題.

（5分，理數第16題）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體、正方體或者圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信是“半正多面體”（圖2）. 半正多面體是由兩種或者兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美，圖3是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正面體共有______個面，其棱長為______. （本題第一空2分，第二空3分.）

解析：（1）由圖3可以得到上層8個面，中層8個面，下層8個面，上下底各1個面，共26個面.

（2）作出該幾何體的截面圖，如圖4所示，若設棱長為a，則CD= ，CE=a.又△CDE為等腰直角三角形，則 × =a，解得a= -1，則棱長為 -1.

圖4

此題考查學生的閱讀理解和空間想象能力.第1空的關鍵是抓住題干的“對稱”二字，即可數出面數，在這個過程中讓學生進一步感受了數學的對稱美.對數學抽象素養的考查體現在第2空中需要從圖3中抽象出圖4的截面圖，這是解題的關鍵，把立體的圖形抽象出來放在平面幾何中研究是解決立體幾何的重要手段.此外該題將5分拆成2分+3分，使不同程度的學生拿到不同分數，具有更好的區分度，擺脫以往高考填空壓軸題一個空，大部分學生拿不到分的局面.此題不僅考查數學抽象，還重點考查了直觀想象的素養，是一道綜合性題目，對學生的抽象思維和空間想象思維要求較高.

3. 邏輯推理素養

邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養[1].全國Ⅱ卷中理數第6、12、17、19、21題，文數第5、17、21題等都是對學生邏輯推理的考查，以文數第5題為例進行說明.

（5分，文數第5題）在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測. 甲：我的成績比乙高. 乙：丙的成績比我和甲的都高.丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為（ ? ?）

A. 甲、乙、丙 ? ?B. 乙、甲、丙

C. 丙、乙、甲 ? D. 甲、丙、乙

解析：由題知，甲>乙，丙>乙且丙>甲，丙>乙. 因僅1人正確，故需分3種情形進行討論：①若甲正確，乙丙均錯;②若乙正確，甲丙均錯;③若丙正確，甲乙均錯. ①若甲正確，乙丙均錯，則乙丙的否定就正確. 乙的否定為：丙≤乙或丙≤甲，丙的否定為：丙≤乙，又甲>乙，故三者同時成立為：甲>乙>丙，即選A. 同理得到②③種情形出現矛盾，故不成立.

此題以命題等學科知識為載體，要求學生能夠利用題目中給出的已知條件，將問題分為3種不同的情況分別進行邏輯推理，進而判斷是否符合題意. 首先學生要有嚴謹分類討論思想，其次使用邏輯“錯誤的否定為正確”進行推理，這些思想貫穿數學課程學習的始終，有利于培養學生全面思考問題的思想意識.該題既落實了對邏輯推理素養的考查，又于無形中培養了學生的愛國情懷.

4. 數學建模素養

數學模型是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的素養[1]. 縱觀發達國家（如新加坡、美國）的數學課程，不難發現都非常強調學生對知識的應用，強調對數學問題的解決，而培養學生解決問題的能力主要的方式就是通過數學建模，在建模的過程中應用所學知識.

在2018年的全國Ⅰ卷文科數學中沒有重點考查數學建模素養的解答題[20]，但理科數學中有一道解答題. 經過對2019年的全國Ⅱ卷文理卷分析可見，均無以考查數學建模素養為主的解答題，這與新課程標準對數學建模素養的重視存在矛盾，可能是與新課程標準的實施還處于銜接狀態的緣故，在接下來的高考試卷中可能會加大含數學建模素養題目的比例，使得對核心素養的考查更加全面.

5. 數學運算素養

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養[1]. 雖數學就是計算這種認識有偏差，但計算是學習數學的伊始，故會精準運算是數學學習的基本功和必備素養，高考中除理數第7題外，對數學運算素養的考查是題題覆蓋，處處滲透，僅有運算難度不同.

簡單運算的考查例如文理數第1、2、3題等，運算步驟多、稍復雜需要一定的運算技巧的如文理數第20、21題等，就理數第21題具體說來考查的是橢圓的定義及性質相關知識點，以考查數學運算素養為主，對（2）問的解答方式多種多樣，可采用直接法、向量法、橢圓的圓周角定理、整體代入韋達定理法、點差法等. 運算過程中學生需要進行多步運算，首先要確定合理的運算思路，根據題意設方程等，進行含有參數的運算整理，進一步表示所需要的結論，計算量偏大，運算過程較復雜，也需要一定的運算技巧，是一道難題.

6. 數據分析素養

數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識素養[1]. 當今是大數據時代、“互聯網+”的時代，因此數據分析的應用已經深入社會生活的各個階層和領域，是當今及未來社會人人都應該擁有的一種關鍵能力. 下面以理數第5題進行說明.

（5分，理數第5題）演講比賽共有9位評委分別給出某位選手的原始評分. 評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分. 7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是（ ?）.

A. 中位數 ? ? B. 平均數

C. 方差 ? ? ?D. 極差

該題從生活中熟悉的情景出發，考查學生對數據的數字特征的基本認識和含義，該題的考查有別于以往給定一組簡單數據進行計算，而是從對數字特征本質理解的角度進行考查，更能深入地考查學生對數據的分析和認識.進一步分析發現，文數有對數據分析考查的解答題，而理數沒有，理科卷對數據分析的考查集中在選擇題和填空題.

核心素養考查的特點分析

通過對2019年全國數學Ⅱ卷核心素養的考查分析，可以發現數學學科核心素養在高考的考查中呈現以下特點：

（1）對核心素養的考查仍然注重基礎知識、基本技能、基本數學思想以及數學活動經驗，以集合、函數、平面向量、數列等多章的基礎知識點為載體進行考查，以真實的情景為依托，結合我國發展建設題材，更加靈活地考查學生對知識點理解而不再僅注重記憶的考查. 新一輪課程改革的逐步實施，將更加靈活把握試卷結構，對題目的設置更加具有層次性，從而實現對學生核心素養的靈活考查，更好地發揮核心素養導向的育人功能.

（2）對六大數學核心素養的考查并不是獨立的. 在一道題目中相互交叉融合考查多個核心素養，主要集中在解答題的立體幾何和解析幾何題目、選擇題及填空題的壓軸題等. 在整體上突出了六大核心素養的綜合性考查，也反映出高考試題的綜合性特點.

（3）對六大數學核心素養的考查存在不均衡的現象. 其中考查最多的是數學運算，較少考查的是數據分析，最少的是數學建模且今年的Ⅱ卷中幾乎不涉及.

（4）對六大數學核心素養的考查文理卷的側重點不同. 文理同題數量為9道，與2018年同題8道相比有所增加[20]，這也進一步說明文理卷命題更加趨于統一化，對核心素養的考查將趨向于統一化，進一步為新高考數學不分文理科的命題做探索.

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