從模仿到思考過度的數學自學能力的培養

摘要：從小學到中學，數學學習需要經歷從模仿到思考的轉變。模仿是形式的模仿，思考是對內容的思考，單純模仿問題解決的方式而脫離對解決方式本身的思考就是機械模仿，是機械學習。沒有思考的學習往往脫離對知識的理解，如同盲人摸象，為了讓學生具備自主學習能力從而能夠獨立自學，本文展開了從模仿學習往思考學習過渡的研究。

關鍵詞：模仿學習 ? 思考學習 ? 自主學習能力

“想要發揮教學的促進作用，必須要了解學習的本質。只有把握學習的性質，我們才能在教學的天地中自由馳騁。”[1]很多時候，教師面對學生的學習錯誤時，都會急著去解釋或者舉手無措，最后的結果是對于學習能力較差的學生，既沒有聽明白問題的思路，也沒有把問題解決，這就使得教學工作非常低效。

一、檢測學生模仿學習還是思考學習的素材舉例

（一）冪的運算問題舉例

【例1】閱讀下面的材料：

求 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的值.

解：設 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①，將等式兩邊同時乘以2，得：

②，

②-①得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ? ，

所以 ? ? ? 。

請你仿照上述方法計算下列算式：

（1） ? ? ? ;

（2） ?（其中n為整數）。

對于第（1）小問，學生都能按照正確解出，說明學生都具備對原材料的計算過程進行形式模仿的能力，但是遇到第（2）小問，學生的答案主要有如下幾類：

學生第一類錯誤過程：

解：設 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①，將等式兩邊同時乘以2，得：

②，

②-①得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 ? ? ? ? ? ? ?，

所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

錯誤分析：對于原材料的“將等式兩邊同時乘以2”的目的沒有真正理解，屬于機械模仿學習，沒有對原材料的結構進行深入觀察與思考。

學生第二類錯誤過程：

解：設 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①，將等式兩邊同時乘以3，得：

②，

②-①得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 ? ? ? ? ? ? ? ，

所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

錯誤分析：對于原材料中“②-①”蘊含的“錯位相減法”沒有真正理解，也屬于機械模仿學習，沒有對原材料的結構進行深入觀察與思考。

學生第三類錯誤過程：

解：設 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①，將等式兩邊同時乘以2，得：

②，

②-①得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ? ? ? ，

所以 ? 。

錯誤分析：除了出現第一類錯誤外，對于等式右半部分的結構沒有理解清楚，屬于機械模仿學習，沒有對原材料的結構進行深入觀察與思考。

學生第四類錯誤過程：

解：設 ? ? ?①，將等式兩邊同時乘以3，得：

②，

②-①得： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

所以 ? 。

錯誤分析：對于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，左式說明學生的認識還停留在第一類錯誤上，右式說明學生的認識還停留在第二類錯誤上，沒有對原材料的結構進行深入觀察與思考，仍然屬于機械模仿學習。

另外，學生還有一些奇奇怪怪的解題過程，都是反映學生的學習本質其實是大大小小程度的模仿學習。這個試題非常典型，它測出了學生的學習是模仿學習還是思考學習，只能正確解決第（1）題的學習方式是模仿學習，能同時解決第（2）題的才是真正的思考學習。

（二）因式分解的方法應用問題舉例

【例2】分解因式：

該問題高效的解法應該是： ，

但是學生剛學習運用平方差公式因式分解時，會出現以下幾種解法：

第一種解法： ;

第二種解法： ;

第三種解法： ;

還有其他步驟更繞的解法。

問題分析：以上第一種和第二種解法的過程嚴格來說都是正確的，第三種解法因為“添括號”導致符號出現過程錯誤。這三種解法其實都沒有注意到原式的結構特征，反而繞了彎。這就是典型的機械模仿學習而不是思考學習，學生對于原式的結構沒有仔細觀察和分析，直接“套用公式”，不是基于理解的學習，是機械模仿學習。

【例3】已知α=1999 ，求 ? ? ? ? ? ? ? ?的值.

對于這種問題，個別學生的典型錯誤過程是：

問題分析：正確的過程是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

所以問題是學生未經深入思考，機械地把該多項式的結構看成是按未知數x降冪排列問題“x2+αx+b”，然后進行十字相乘法因式分解，導致錯誤。這又是典型的機械模仿學習，學生對于原式的結構同樣沒有仔細觀察和分析，反而造成錯誤。

（三）因式分解的應用問題舉例

問題背景：這是我班學生在學習了“含30°角直角三角形的性質”后，進行了勾股定理的單元達標測試。含30°角直角三角形的性質是：在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，依據此性質，結合勾股定理學生已經知道其三邊比是 。

【例4】有一個小朋友拿著一根竹竿通過一個長方形的門，如圖1所示，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿的高和門高。

圖1 門框

正確方法是設未知數，依據勾股定理列方程，解出未知數即可。有一個較好學生的作答依據是認為這兩個直角三角形的三邊比是 ? ? ? ? ? ，然后利用此結論進行進一步推理計算，導致結果錯誤。

問題分析：這類學生在學習幾何時過于關注圖形的外形特征，沒有將含30°角直角三角形的性質與一般直角三角形的性質區別開來，只記住了形，未記住量，屬于典型的機械模仿學習，而不是單純的記憶混亂。

二、如何幫助學生從模仿學習過渡到思考學習

學生出現機械模仿學習的案例，說明他們沒有認真觀察問題的形式和所學知識的關聯，思維不夠靈活，其實本質原因是系統思維[2]欠缺。教師發現學生出現了一系列機械模仿學習的信息后，應該及時提供幫助，提供幾點建議：

1）教師應先有充分的教學預設和解決辦法，使得在面對學生的問題時能夠快速處理。

2）遇到學生出現了機械模仿學習的問題時，教師首先應引導學生分析錯誤的原因，尤其是問題中考查的素養，當素養問題缺漏時，也代表著學生解決該問題的思維出現了問題。如學生在例4中的錯誤，實際上沒有理解含30°角直角三角形與一般直角三角形的本質區別，勾股定理是所有的直角三角形具有的共同性質，而含30°角直角三角形是特殊的直角三角形，它還具備一般直角三角形不具備的性質特征，因此教師應該引導學生在從研究一般直角三角形過渡到研究特殊直角三角形中，體會從一般到特殊的數學思想方法與研究方法。

3）學習的本質是思考，學習出現的根本問題也是思考出現的問題，因此解決問題的根本方法是學會如何思考。教師應做好長期的培養計劃，提升學生的數學思維需要一個長期的過程，不斷滲透，不斷鍛煉，為此應該把教學目光從教知識轉向“教思維”[3]。

參考文獻：

[1]盛群力.學習的本質[J].現代教學，2012，（10）：79-79.

[2]苗東升.系統思維與復雜性研究[J].系統辯證學學報，2004，（01）：1-5+29.

[3]王超.談由因式分解展開的數學思維單元教學[J].教學管理與教育研究，2019，（07）：69-73.

（作者簡介：王超，碩士研究生，青島實驗學校，中學二級教師，研究方向：數學教學。）