三等分點、角平分線、線段一半的性質

廣東省廣州市駿景中學

在研究2019年廣州市數學中考第24題的過程中,筆者發現了三角形中的角、邊、角平分線三者間的關系,即本文所關注的三等分點、角平分線、線段一半的性質.其中“三等分點”是指三角形某條邊上的一個三等分點,“角平分線”是指該邊所對的角的平分線,“線段一半”是指三角形的另外兩邊中,其中一條邊的邊長是另一條邊的一半.

原題如圖 1,等邊ΔABC中,AB= 6,點D在BC上,BD= 4.點E為邊AC上一個動點(不與點C重合),ΔCDE關于DE的軸對稱圖形為ΔFDE.

(1)當點F在AC上時,求證:DF//AB;

圖1

(2)設ΔACD的面積為S1,ΔABF的面積為S2,記:S=S1-S2,S是否存在最大值？若存在,求出S的最大值;若不存在,請說明理由;

(3)當B、F、E三點共線時,求AE的長.

在拆解第(3)問的過程中發現了以下性質:三等分點、角平分線、線段一半,三者中已知任意兩個就能得出第三個.

1 三等分點+角平分線?線段一半

已知:如圖2,ΔABC中,OA是∠BAC的角平分線,點O是BC的三等分點(OB=2OC).

圖2

圖3

解析如圖3,在AB上截取AD=AC,連接OD.因為∠1 = ∠2,AO=AO,所以ΔADO∽= ΔACO,所以OD=OC.以點O為圓心,OC為半徑畫圓,圓必過點D,且與BC交于點E,則:OC=OE.因為OB= 2OC,所以OC=OE=BE.連接CD交OA于點F,因為∠EDC=∠3=90°,所以ED//OA,所以所以

2 角平分線+線段一半?三等分點

已知:如圖4,ΔABC,AO為∠BAC的角平分線,AC=

結論:點O為BC的三等分點(OB=2OC).

圖4

圖5

解析如圖5,在AB上截取AD=AC,連接OD.因為∠1 = ∠2,AO=AO,所以ΔADO∽= ΔACO,所以OD=OC,以點O為圓心,OC為半徑畫圓,必過點D,且與BC交于點E,得OC=OE.連接DC、DE,得:∠EDC= ∠3 = 90°,所以DE//AO,所以因為所以所以即BE=OE.所以OC=OE=EB,所以點O為BC三等分點.

3 三等分點+線段一半?角平分線

已知:如圖6,ΔABC,點O為BC的三等分點(OB=

結論:AO為∠BAC的角平分線(∠1=∠2).

圖6

圖7

解析如圖7,分別取AB、OB的中點D、E,連接CD、DE,線段CD與AO交點F,所以DE//AO(中位線……