由一道教材中的習題引發的幾點思考

廣東省珠海市第三中學

題目1(高中數學選修4-4《極坐標與參數方程》(人教A版)第34頁習題2)如圖1,已知橢圓上任意一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1,B2的連線分別與x軸交于P,Q 兩點,O為橢圓的中心,求證:|OP|·|OQ|為定值.

圖1

解法一(利用參數方程求證)設M(a cos α,b sin α)為橢圓上一點(除短軸端點外),由kB1M= kMP得:同理,由kB2M= kMQk可 得所 以,

解法二(直接用普通方程代換)設M(x0,y0)為橢圓上除短軸端點外的一點,由kB1M= kMP,得:從而同理可得:而a2b2.所以有:

問題解決了,但此類問題應該是一般性的結論,是否還存在類似的結論呢?可以引導學生思考以下幾個問題.

思考1如果將條件“短軸的兩端點”改為“長軸的兩端點”(其他條件不變),那么|OP|·|OQ|是不是也是定值呢？不難推出:|OP|·|OQ|=b2也是一個定值.

思考2如果將“短軸的兩端點”改為“橢圓上關于長軸對稱的兩點即垂直于x軸的線段的兩個端點”,這個乘積還是定值嗎?

題目2設A,B是(異于短軸的端點)橢圓1 (a ＞b ＞0)上關于x軸對稱的兩點,M是橢圓上的動點,MA,MB分別與x軸交于P,Q 兩點,求證|OP|·|OQ|=a2.

證明設A(x1,y1),B(x1,-y1),M(x0,y0),則直線MA的方程為:令y = 0 則有同理可得:于是有:

練習設B1,B2分別是橢圓的上下兩個頂點,P是橢圓上異于B1,B2的動點,直線PB1,PB2分別交x軸于M,N兩點,則|OM|·|ON|=____(答案:25)

思考3如果將“短軸的兩端點”改為“橢圓上關于短軸對稱的兩點即垂直于y軸的線段的兩個端點”,這個乘積還是定值嗎?可以推出不是定值.

思考4如果將條件“短軸的兩端點”改為“一個是長軸的端點,一個是短軸的端點”P,Q分別是兩直線與兩坐標軸的交點,那么|OP|·|OQ|是不是也是定值呢?

容易證明:|OP|·|OQ|不是定……