讓課堂探究真發(fā)生、學習真發(fā)生

郭丹丹

摘? 要：《釘子板上的多邊形》是蘇教版義務教育數(shù)學教科書五上內(nèi)容。本課教學主要引導學生在具體的觀察、猜測、驗證、操作、思考等探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。整節(jié)課的教學重視調(diào)動學生主體作用，引導學生經(jīng)歷探索規(guī)律的完整過程，呈現(xiàn)出在學習中提問、在觀察中猜想、在實踐中驗證、在交流中完善結(jié)論、在總結(jié)中反思提升的教學特色。

關(guān)鍵詞：提問;猜想;驗證;結(jié)論;反思

小學數(shù)學課堂教學的改進，需要以學生為中心，發(fā)揮學生的主體作用，讓其成為學習的主人。在被動學習狀態(tài)下，學生會消極應付學習，有時學生的認知和探究活動，不是其自我追求的行為，而成了一種虛假的、形式上的學習現(xiàn)象。因此，有人提出要讓課堂教學中的探究真發(fā)生、思維真發(fā)生、學習真發(fā)生。筆者本著這一認識踐行課堂教學，著重研磨了《釘子板上的多邊形》一課，以下是該課的教學實錄片段及其反思。

■【案例片段】

師：同學們，請仔細觀察釘子板上圍成的圖形。釘子板上多邊形的面積可能和哪里的釘子數(shù)有關(guān)？

生1：我覺得多邊形的面積可能和多邊形外部的釘子數(shù)有關(guān)。

生2：我覺得多邊形的面積可能和多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。根據(jù)這幅圖，我們可以看到多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)逐漸變多，而且它的面積也隨之變大。

生3：我覺得多邊形的面積可能和多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)，還可能和多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)。我們可以看到多邊形的面積在變大的同時，多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)在逐漸變多，而且多邊形邊上的釘子數(shù)也變多了。

師：多邊形的面積可能和多邊形外部的釘子數(shù)有關(guān)嗎？

生：多邊形外部的釘子數(shù)根本無法確定多邊形的大小，所以釘子板上多邊形的面積跟外部的釘子數(shù)一定是無關(guān)的。

……

師：是不是所有內(nèi)部是一顆釘子的多邊形，都符合剛剛我們所提的規(guī)律呢？

（請全班來集體驗證。）

師：你畫的內(nèi)部是一顆釘子的多邊形，符合剛剛我們所說的規(guī)律嗎？

生：符合。

……

生：當多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是2時，多邊形的面積和多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系還會是S=n÷2嗎？

……

師：猜一猜，當內(nèi)部釘子數(shù)是3的時候，S可能等于什么？釘子數(shù)是4的時候呢？內(nèi)部釘子數(shù)還可能是幾？

現(xiàn)在開展如下探索活動，要求和步驟是——

1. 先猜一猜你想研究的多邊形面積和多邊形邊上釘子數(shù)以及內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并且寫下來。

2. 再在點子圖上畫一個多邊形，數(shù)一數(shù)、算一算，驗證你的猜想。

師：你研究的是內(nèi)部有幾顆釘子的多邊形？我們猜一猜規(guī)律是什么。

師：咱們猜得對嗎？

生：對。

師：你們太厲害了吧，怎么猜得這么準呀，是發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：S=n÷2+（a-1）。對于這個結(jié)論，你有沒有什么想說的？

生：a有沒有可能是0？

師：是啊，當a=0時，這個發(fā)現(xiàn)是否也成立呢？你這個問題提得太有價值了，我們一起來驗證。

生：當a=0時，也符合這個規(guī)律。所以這個式子符合a從0開始的任意一個自然數(shù)。

……

■【案例反思】

上述案例片段引發(fā)了執(zhí)教者的深刻反思。對于五年級學生來說，“釘子板上的多邊形”是他們第一次通過整節(jié)課的學習來研究的一項重要的數(shù)學定理。以下幾點既可以算是個人的教學體會，也可作為某種教學已得的經(jīng)驗與同行們交流分享。

一、從問題出發(fā)，引合理猜想

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”猜想的過程其實就是動腦的過程，它對學生的思維能力起到了一定的促進作用。本節(jié)課中，大部分學生都能夠通過觀察分析進行合情推理、合理猜想，也都能夠較為容易地猜測出釘子板上多邊形的面積可能與釘子板內(nèi)部的釘子數(shù)以及多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)。他們中的部分學生不僅能根據(jù)自己已有的經(jīng)驗或經(jīng)歷對自己的猜想進行舉例說明，還能夠用文字描述、圖示等形式進行合乎道理的分析和說明，語言表達順暢，銜接自然。當然，班里也存在一小部分學生純粹是胡亂猜測，他們認為釘子板上多邊形的面積跟多邊形外部的釘子數(shù)有關(guān)。當教師讓這部分學生分析時，他們往往會說“我就是隨便猜猜的”。這部分學生完全是憑直覺提出猜想，至于這個猜想是否與問題情境有關(guān)，則根本無法給出適當?shù)慕忉尯驼f明。大部分學生認為，雖然猜想時做到了有理有據(jù)，但那只是大家的猜想，一點也不“科學”“嚴謹”，必須要進一步驗證才行。這就激發(fā)出學生想要探究的欲望，突出了驗證猜想的必要性和迫切性，自然而然地就把學習活動推進到下一步，充分體現(xiàn)了教師是學生學習的合作者、引導者和參與者，課堂教學模式也從“以教師的教為主體”轉(zhuǎn)變成了“以學生的學為主體”。

學生找到當內(nèi)部釘子數(shù)為1和2時多邊形面積和多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系，并且能夠從已有的事實出發(fā)，憑借現(xiàn)有的結(jié)論，運用歸納和類比等推斷出當內(nèi)部釘子數(shù)是3、4、5……多邊形的面積和多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。這里的猜想看似“簡單”，實則需要先找到當a=1和a=2時的關(guān)系，才能進一步思考。學生所驗證的數(shù)據(jù)范圍較廣，能夠體現(xiàn)教師的“放”。學生還能夠抓住事物之間的相互聯(lián)系做出猜想，教師在尊重學生的基礎上，引領(lǐng)探究活動循序漸進地進行。

二、猜想中發(fā)現(xiàn)，以實踐驗證

正如毛澤東所說：“實踐是檢驗真理的唯一標準。”當學生通過觀察、計算、分析等學習手段發(fā)現(xiàn)當a=1時S和n之間的關(guān)系，這時他們的發(fā)現(xiàn)僅僅是根據(jù)書上的4幅圖暫時得到的結(jié)果而已，還需要大量的具體數(shù)據(jù)來驗證。教師讓學生通過找反例的形式，佐證了這一結(jié)論。在教學中，教師要改變學生的定向思維模式，不僅要教給學生正向思維，還要教給學生逆向思維，這樣更有助于提高學生的思維能力。如果學生想要對一個猜想進行驗證，但在獨立思考或者小組合作思考之后，仍然不知如何驗證時，教師可以選擇在恰當?shù)臅r機用語言、圖文等提醒和引導，通過回顧以往的學習經(jīng)驗和已掌握的學習方法，使學生產(chǎn)生明確的、清晰的、可操作性的想法，由此驗證猜想是否正確。教師視情況而定，還可以直接告訴學生一些驗證方法，如舉例驗證法、推導驗證法、類比驗證法、操作驗證法、查閱資料驗證法等，以此來幫助學生解決問題。與此同時，如果想要提高學生的猜想驗證能力，不僅要提供具體可猜想驗證的環(huán)境，還要讓學生學會使用正確的猜想驗證方法。教師在教學中需要給學生足夠的猜想空間，即使有少部分學生“隨便猜猜”也是完全可以接受的，教師要給予這部分學生一定的肯定，以此來激發(fā)他們的學習興趣，一旦有了興趣，他們就會積極主動地參與到學習過程中來，努力地去驗證自己的結(jié)論，久而久之就會改變自己的學習態(tài)度。

學生在已有學習經(jīng)驗、能夠進行合情推理的基礎上，猜想當內(nèi)部釘子數(shù)不同時多邊形的面積和多邊形邊上釘子數(shù)之間的關(guān)系。學生知道，只有猜想是不夠的，必須要對猜想進行驗證。學生從“要我學”變成“我要學”，從被動學習變成主動研究，這很容易讓學生在心理上取得一定的滿足感，激發(fā)起無限的學習熱情，有助于提升他們的探究能力。

三、驗證中總結(jié)，總結(jié)中反思

曾子說過：“吾日三省吾身。”學生不僅每天要多次反省自己的所作所為，在學習上也同樣要反省每天所學的內(nèi)容是否還存在些許疑惑。學生通過自己的努力以及同伴和老師的幫助，找到當內(nèi)部釘子數(shù)是正整數(shù)時多邊形面積和多邊形邊上釘子數(shù)的關(guān)系。班上有少數(shù)學生對該結(jié)論存在疑問：如果內(nèi)部釘子數(shù)是0，這個結(jié)論是否還成立？這部分學生的反思能力和探究能力較強，有著嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，能夠根據(jù)問題情境中的具體信息，根據(jù)思考、探究等提出與問題情境有關(guān)聯(lián)的、清晰的、確定的數(shù)學問題，同時能夠讓周圍的小伙伴通過聯(lián)想相關(guān)的知識、小組合作、探究、推理等方法得到答案。學生之間的討論互助，不僅能讓結(jié)論更加完整化，而且還會對其他同學起到一定的激勵作用，鼓勵他們以后思考問題也要全面。課堂小結(jié)也是每節(jié)課不可缺少的一部分。學生通過自主思考總結(jié)或小組合作思考總結(jié)，不僅能夠用自己的語言描述本節(jié)課所學的知識，而且還考驗了自己對本節(jié)課知識的掌握程度，更有甚者會對之前所學知識產(chǎn)生一定的疑惑并引導全班學生進行集中探討。反思是學習的一種有效手段，是學習中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。教師是學生的引路人，更是反思性學習的促進者。教師必須不斷地對自己的教學進行反思，不斷地提高自身的教學水平。學生是反思的主體，在課堂教學中，教師不僅要創(chuàng)造機會幫助學生建立反思意識，更要在平時的教學中培養(yǎng)學生的反思習慣。

《釘子板上的多邊形》一課的探究學習，需要學生經(jīng)歷多次猜想和多次驗證才能得到結(jié)論。根據(jù)具體的情境，將合情推理、合理猜想通過活動進行驗證，獲取結(jié)論后再加以反思。探究課堂中，圍繞數(shù)學猜想，學生經(jīng)歷了“提出問題―合理猜想―設法驗證―得出結(jié)論―回顧反思”的學習過程。正因為經(jīng)歷了這種探究過程，猜想驗證思想方法才得以滲透，也才能培養(yǎng)學生更加嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和推理能力，使學生的認知水平和思維能力都得到一定程度的提升。

作為一線教師，在平時的課堂教學中要把猜想驗證等數(shù)學方法加以延伸，挖掘出教材背后深層次的思想方法。我們不僅要讓學生知其然，還要讓他們知其所以然，一定要讓課堂上的學生探究真發(fā)生、學習真發(fā)生。