借助幾何直觀教學乘法分配律

朱東妮

[摘要]乘法分配律不僅有乘法計算，還涉及加法，學生在應用時常出現錯誤，如“（axb）xc”與“（a+b）xc”張冠李戴，“（a+b）x?c”錯寫成“a+bxc”。借助幾何直觀教學乘法分配律，可逐步揭示乘法分配律和結合律的根本區別，有效突破教學難點。

[關鍵詞]乘法分配律;幾何直觀;位置效應

[中圖分類號]G623.5??[文獻標識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0059-02

一、乘法分配律的教材編排

乘法分配律與乘法結合律在表現形式上十分相近，加上人教版教材編排乘法分配律在前，乘法結合律在后，兩種定律的引入材料和模式也如出一轍，學生自然容易混淆。系列位置效應指出：“如果學習材料中各元素出現的位置不同，最終的學習成效也會有所差異，一般而言，中間段位的材料學習收效最低。”人教版教材中，乘法分配律處于該單元的中段，理論上講，它處于成效最低的位段（如表1）。

其他版本的教材，都是順應系列位置效應理論進行編排的。北師大版教材將關于簡算的五大運算律統統收編在第七冊，編排順序是“乘法結合律→乘法交換律→加法交換律和結合律→乘法分配律”;蘇教版教材第七冊的編排順序是“加法交換律和結合律→乘法交換律和結合律”，第八冊學習乘法分配律;浙教版教材則將五大運算律打散，乘法、加法的交換律和結合律貫穿于多位數乘法計算中，包括兩位數與一位數、三位數與一位數的乘法;乘法分配律則是與長方形形的周長公式、兩位數與兩位數相乘糅合到一起。

人教版教材對乘法分配律的練習設計過于保守，沒有突出重點，僅在第36頁概括出乘法分配律的概念，配套的鞏固練習題也只有“做一做”中的判斷題，從第37頁起，全都是初級階段的乘法和加法的交換、結合律與中級階段的乘法分配律的綜合性練習，甚至于后面綜合性的解決問題中，乘法結合律占了大多數。這與北師大版教材中占兩頁的專項鞏固訓練、蘇教版教材中多達五頁的專項鞏固訓練及浙教版教材整整拿出一個單元，不可同日而語。人教版教材的設計客觀上增加了學習的難度。

人教版教材第八冊第三單元囊括了整個小學全部的可以用來簡算的運算律，學習素材彼此相似，通常會進行大量確認練習來提高學生的鑒別力。在課堂上，如果單單是讓學生通過認識數字變化和計算結果的相等來構建乘法分配律，僅僅讓學生用“數”充當“數”的表征，用“計算”充當“計算”的表征，那么學生對乘法分配律的認識就會陷入重現和套用的死胡同，既給學生造成記憶負擔，又會導致學生在學了所有定律后產生交叉混用的不利局面。

二、運用幾何直觀改進教學

乘法分配律雖是代數分支的內容，但可把它和幾何圖形有機結合起來，以長方形的周長公式為生長點，用直觀的線段圖來反映和展現乘法分配律，利用幾何直觀來降低和化解用代數方法學習乘法分配律的困難。

概括長方形的周長公式，引出幾何直觀上的乘法分配律。先讓學生采用兩種方法求得同一長方形（如圖1）的周長如5x2+3x2=16，（5+3）x2=16，并利用圖形理解數據變化，結合原有的經驗總結形成新的算法;再讓學生數形結合說一說式子中每一步計算得到的數據對應圖形中哪部分的長度，讓學生明確每個算式的幾何意義，真正理解（5+3）x2=5x2+3x2。

隨后，隱去圖中的具體數字，用代表元素名稱的漢字“長”和“寬”表示（如圖2），讓學生再次寫出長方形周長的公式。在學生寫出“（長+寬）x2=長x2+寬x2”后，提問：“式子左邊只乘了一個2，右邊卻乘了兩個2，怎么會相等？”讓學生通過畫圖來分析問題。還可有效利用學生的錯誤引導學生反思（長+寬）x2=長+寬x2錯在哪里，讓學生在辨析錯誤的過程中弄清算理。

學生原本對“（長+寬）x2=長x2+寬x2”中的數據安排并不在意，對有幾個“2”也不在乎，但是他們可以斷定利用“（長+寬）x2”和“長x2+寬x2”計算得到的周長一定相等?？涩F在他們就必須聚焦于唯一的常數“2”，通過圖形表征明白“（長+寬）x2”“長x2+寬x2”“長+寬x2”所表示的幾何意義。通過數形結合（如圖3），學生徹底搞懂了“（長+寬）x2=長x2+寬x2”的幾何含義，這樣一來就可以有效防范和杜絕“（5+3）x2=5+3x2”這類低級錯誤的發生。

三、以形引數，逐步抽象，形成經典模型

“（長+寬）x2=長x2+寬x2”這一直觀模型是以長方形的周長公式為基礎構建的，指向性很明確。對此，教師可讓學生思考：當長方形的長和寬抽象成字母a和b時，怎么計算周長？a和b可以是數字幾？讓學生盡情舉例。再假設：如果常數2也變了，變成數字3，兩個式子邊還相等嗎？讓學生猜想并作圖證明（如圖4）。

從長方形的周長公式拓展引申出（a+b）x3=ax3+bx3，（a+b）x4=ax4+bx4，（a+b）x5=ax5+bx5……由此順利歸納推理出（a+b）xc=axc+bxc這一通用公式。最后，揭示從線段圖中總結出的等式，對應的代數定律就是乘法分配律。

應用幾何圖形，以形代數，以形示數，讓學生經歷了從線段意義模型到數字模型這一轉化遷移過程，最后拓展引申為乘法分配律的固定模式。升華之后再回到起點，則是對抽象過程的鞏固和加深，直擊概念本質。

教師可先提供直觀的香蕉圖（如圖5），讓學生獨立思考問題：如果按算式（a+b）xc的形式列式，怎么求出香蕉的總數？“axc+bxc”代表什么意義？再提供一套衣服的上衣和褲子的售價圖，讓學生試著利用乘法分配律求幾套衣服的總價。這一次“找分配律”是按著基本模型的形式內涵倒推出原型的，對學生來說是一種前所未有的新體驗。學生再一次經歷形與數的對應，先數字后圖形，進行二次提取與歸納。反復練習后，學生慢慢發覺乘法分配律總是隱含在份數相同的不同單數中，可以是求和，也可以是求差。自此，式子與圖形也就水乳交融，納人學生的認知系統。

改進后的教學把幾何和代數兩個分支的知識整合起來，讓學生經歷了一個數與形互相描述和刻畫的過程。從學生最熟悉的長方形的周長公式到最常見的線段圖，利用幾何直觀逐步揭示了乘法分配律與結合律的根本區別，有效突破了教學難點。