圖形直觀在“函數及其表示”中的呈現

杜劍南 王鑫

[摘? ?要] 文章通過比較分析普通高中數學課程標準實驗教科書人教A版與北師大版“函數及其表示”這一節的內容，得出兩個版本的教科書在圖形直觀呈現方面有以下特點：都利用圖形直觀呈現“函數及其表示”的相關內容，但是在函數概念的引入方式、函數的表示方法、函數概念的發展歷程、課后習題四個環節上的呈現各具特色。研究結論：人教A版與北師大版在“函數及其表示”一節中以圖形直觀呈現相關內容; 圖形直觀呈現函數概念時內容和位置不同;圖形直觀呈現映射概念時方式和內容不同;圖形直觀呈現函數概念的發展歷程時視角不同;圖形直觀呈現課后題時內容、形式和數量不同。

[關鍵詞]圖形直觀;函數及其表示;應用;高中教材

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ?[文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）03-0044-04

隨著“幾何直觀”在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的提出[1]，“直觀”的概念越來越受到人們的重視。對于數學直觀 ，M·克萊因認為，“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上”[2]。作為體現直觀的重要載體——教科書，成為研究者們的重要研究對象。教科書作為依據課程標準和學生接受能力編寫的教學材料，是課程目標與教學內容的具體體現，在一定程度上決定了學生的學習機會和學業成就，函數概念在數學及中學數學課程中具有重要地位。自變量數學產生以來，函數概念一直處于數學的核心地位。德國數學家克萊茵（F.klein）稱函數為數學的靈魂。在整個函數教學過程中，又以函數概念為學校教學和學生學習中最難掌握的內容。在此基礎上，本文提出從圖像和表格相結合的圖形直觀的概念著手，通過對教科書之間圖形直觀在引入函數概念、引入映射概念、闡述函數概念的發展歷程以及課后練習和習題四個部分呈現的特點的比較，進一步強化數學課表中提出的直觀的概念，以引入圖形的表示方法來探究高中函數的教與學，為高中的“函數概念”教學提供參考和建議。

一、研究對象與方法

1.研究對象

研究對象為人教A版與北師大版教材中關于“函數及其表示”的內容。比較的具體內容見表1。

需要說明的是，人教A版教材中映射概念在“函數的表示法”中出現，而北師大版教材則通過獨立的小節引入映射概念。

2.研究方法

運用比較研究法，從函數概念的引入、映射概念的引入、函數概念的發展歷程和課后練習和習題四個維度進行研究分析，將教材中有關圖像和表格展示的部分提取出來，作為圖形直觀的例子進行分析，從而揭示圖形直觀的不同呈現在函數概念內容處理中的應用。

二、研究結果與分析

1.兩個版本教科書在圖形直觀呈現方面存在共性

通過對兩個版本教科書中的圖像和表格進行提取，可以明顯發現，不管是人教A版還是北師大版教材都利用圖像和表格的形式（即圖形直觀）來呈現“函數及其表示”這一節的內容。

2.兩個版本教科書在圖形直觀呈現方面存在差異性

雖然兩版本教科書都利用圖形直觀呈現“函數及其表示”這一節的內容，但是比較后發現，“函數概念引入方式”“映射概念的表達”“函數概念的發展歷程呈現”以及“課后練習和習題”在圖形直觀呈現時，在表現方式、圖表內容、圖表數量、圖表位置（相應概念的前后）以及闡述視角上都存在明顯的差異。

（1）圖形直觀在引入函數概念中的呈現

人教A版和北師大版教材利用圖形直觀呈現函數概念的方式見表2。

通過表2可以看出，人教A 版教材通過三個案例呈現函數的相關概念，呈現案例時加入了圖形直觀，值得注意的是人教A版在加入圖形直觀時所呈現的是學生熟悉的二次函數圖像。利用圖形直觀的表現形式主要為圖像與表格兩種，每個案例都有相應的圖表展現;函數概念的定義放在圖表案例之后。

北師大版教材則是先提出函數的相關概念，再呈現三個圖表案例，但是在熱力學溫度與攝氏度的關系這一案例中并沒有涉及圖形直觀;在利用圖形直觀的表現形式上，采用圖像與表格的兩種形式。值得注意的是，北師大版教材在呈現圖形直觀時，明確地提出三個案例都是初中物理當中所學過的內容。

（2）圖形直觀在引入映射概念中的呈現

人教A版和北師大版教材中映射概念的呈現如表3所示。

通過表3可以看出，人教A版教材在呈現映射概念時沒有利用圖形來理解映射概念，而是從函數的概念上理解映射的概念，并利用兩個生活中的案例加以說明，讓學生能夠在案例中理解“一一對應”的關系。

北師大版教材則是利用了映射圖呈現映射概念，并且舉例形式更為多樣化，不僅加入了生活中的事例，還加入了集合的案例，讓學生在實際生活和數學中清晰體會映射的概念。

在內容設置上人教A版教材有“思考”欄目，北師大版教材有“思考交流”欄目，這些欄目要么是為引入知識作鋪墊，要么是為鞏固知識服務。北師大版教材的欄目中也可看到圖形直觀的影子，說明圖形直觀可以幫助理解映射概念。

（3）圖形直觀在闡述函數概念發展歷程中的呈現

數學史作為傳播數學文化的重要載體，是新課標下理解數學的一種新途徑。普通高中《數學課程標準》（實驗）中指出，“數學是人類文化的重要組成部分，數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢。眾所周知，每個數學概念和公式的背后都有著它的故事，而且這些故事也能引發后人更多的猜想。人教A版和北師大版教材中闡述函數概念發展歷程的呈現如表4所示。

由表4可以看出，人教A 版和北師大版兩個版本的教材在闡述函數概念發展歷程中都未涉及圖形直觀的內容，但是北師大版教材在“閱讀材料”這個欄目當中揭示了函數概念的發展——從解析式到圖像到對應關系。從中可以看出，圖像在函數概念的發展上起到了承前啟后的關鍵作用，也奠定圖形直觀在學習函數時的基礎地位。人教A版教材則是先結合現實生活中的實際案例，闡述函數產生和發展的背景，再利用數學家對函數變量的認識將函數進行反復的定義，最終用集合和對應語言定義函數概念，與本節內容相銜接，為學習者提供理論基礎。

（4） 圖形直觀在課后練習和習題中的呈現

習題是數學教學的重要組成部分，是學生學習過程中不可或缺的重要環節，是學生掌握知識、形成技能、發展能力的主要載體，也是提高學生運用知識解決簡單實際問題能力的有效工具。人教A版和北師大版教材圖形直觀在課后練習和習題中的呈現如表5所示。

由表5可以看出，人教A版教材在函數概念這一節中未設置有關圖形直觀呈現的相關習題，但是在習題1.2中卻設置了7道有關圖形直觀呈現的題目。通過對比可以發現，題目利用不同的表現方式對初中和高中所學的函數圖像進行考查，與此同時也利用函數圖像解決相關的數學問題，展現了圖形直觀呈現方式的靈活性。北師大版教材設置了4道利用圖形直觀呈現的題目，在習題設置上明顯少于人教A版教材，在函數概念和映射的課后習題以及本節習題中也都設置了相應的題目。除此之外，教科書還考查了學習者對映射圖的理解以及設置了如何利用表格求解定義域和值域的問題。

三、研究結論及建議

1.結論

通過比較分析普通高中數學課程標準實驗教科書人教A版與北師大版“函數及其表示”這一節的內容，圖形直觀的呈現情況如下。

（1）通過對比可以看出，兩個版本的教科書在設計“函數及其表示”這一節中，無論在概念的引入、映射的表示還是課后的練習題中，都呈現了相應的圖像以及表格，也由此說明圖形直觀的呈現在“函數及其表示”中的重要性，應該引起教學者和學習者的高度重視。

（2）人教A版與北師大版教材都采用不同圖形的例子呈現函數概念，但是在圖形的內容以及圖形所在位置方面存在明顯的差異。雖然兩個版本教材都十分重視高中知識與初中知識的銜接，讓學生用熟悉的初中知識理解高中的概念，但在內容上，北師大版教材與初中知識銜接更為緊密，并且與初中物理相結合，加強了學科之間的相互聯系。在圖形位置方面，人教A版教材將圖表放在函數概念的定義之前，體現“以形釋意”的過程，從圖形出發，理解函數概念;北師大版教材先提出函數的概念再引入圖表，體現先觀察后反思的過程，從函數概念出發，再通過相關圖形深化理解。

（3）在呈現映射概念的方式上，人教A版教材使用文字描述，而北師大版教材使用圖形加文字綜合描述，以圖形的方式可以直觀展現映射概念中的“一一對應”關系。在呈現映射概念的內容上，北師大版教材與人教A版所舉案例都跟生活實際相聯系，加入了之前所學的集合概念，使得學習者在學習函數的概念時，與所學過的集合相聯系，讓學習者整體地認識函數。

（4）人教A版與北師大版教材都注重對于數學史的應用，但是在引入數學史的過程當中，兩個版本的教材存在差異。相比較而言，人教A版教材的特點是在闡述函數概念的發展歷程時更為注重數學知識的系統性和全面性，讓學生明白知識的來龍去脈。北師大版教材的特點則是注重利用數學史引發學生的閱讀興趣，從歷程這個大的方向，抽出一個有意思的篇目，讓學生明白為什么函數的概念會變成現在的“對應關系”。

（5）函數概念本身就具有抽象性，利用圖形直觀在不同位置的不同呈現方式，可加深學習者對函數概念的理解。人教A版教材在“函數概念”后的練習題中并沒有涉及與圖形相關的問題，此外，在習題1.2中以初中及高中新學習的函數為題，讓學習者畫出以上函數的圖像，通過畫出相應圖像，將新學習的知識與初中知識相聯系，提升學習者對函數的整體認識。北師大版教材雖與人教A版教材相同，都選取了初中所學的知識，但是選取的內容為梯形的面積（幾何角度），在形式上也加入了利用表格作圖的題目，使學習者能深刻體會函數概念。另一方面，在利用圖形直觀解決問題的題目數量上：人教A版教材在習題中共設置了8道與圖形相關的問題，明顯多于北師大版教材。

2.建議

（1）由于兩個版本的教材在“函數及其表示”一節中以圖形直觀呈現相關內容，所以說明利用圖形直觀可以幫助學生理解函數的相關概念。因此，教師在講授這一部分內容時，應該加入更多圖形的相關案例，幫助學生理解函數的相關概念，從而達到圖形直觀的目的。

（2）在教學中可以嘗試多用初中所學的函數圖形呈現函數的概念。數學圖形是數學學習中的一項重要內容，合理地利用數學圖形也能從整體上提升學生對數學知識的理解。建議教師在呈現函數概念時，可以加入初中學過的具體函數，甚至以具體函數的圖形來認識函數的概念。這樣既可以提升學生對于函數概念的理解，又可以將初中與高中的知識進行整合，體現數學知識的整體性。

（3）在教學中利用映射圖呈現映射概念，理解“一一對應”。把映射生活化或圖表化的方法也是高中數學課程中需要學生掌握的方法，建議使用人教A版教材的教師在引入映射概念時，利用北師大版教材所設計的映射圖的方法，讓學生以圖形理解概念，體現圖形直觀在數學概念理解中的作用。

（4）在呈現函數概念的數學史中，應加入具體函數圖形演變的過程。研究者建議在教科書修訂或教學中可以嘗試把兩種方式相結合來闡述函數概念的數學史。第一，數字引導法，把不能利用以前函數定義表示的函數單獨舉例出來，目的是使用具體數字的形式，讓學生能夠直觀感受到函數的定義，引發思考，也能對現在的函數定義有一個全面的認識。第二，圖形描述法，即以列表、圖像以及解析式表示，把函數概念的演變以圖形的方式表示出來，目的是減少文字的敘述，提高學生的閱讀興趣;也能體現出數學的邏輯思維和函數概念的形成過程。圖形直觀對于函數概念的數學史的學習，也有其獨特的意義。

（5）在課后練習題和習題的編寫及教學中加入與圖形相結合的習題的重要性不言而喻，數學題最能反映學生對所學知識的掌握程度，所以數學題的設置也要盡可能多地涉及前面所學的知識，但是以什么方式呈現才是我們需要解決的問題。通過對兩個版本教材的分析，研究者建議在教材編寫方面：更多地加入與前面所學概念相吻合的圖形問題。讓學生多動手畫圖，提升對概念的理解。在教學方面：教師應當多給學生設置一些與圖形相關的問題和練習，讓學生可以直觀地、具體地理解“函數及其表示”這一節的概念內容，一方面豐富了數學現實化的內容，另一方面也提高了學生利用圖形理解函數概念的能力。

綜上，通過對兩個版本的教材圖形直觀的呈現進行比較，可以看出：圖形直觀的不同呈現方式，在函數概念教學中可以幫助學生理解抽象的概念，變抽象為具體，使得學生更為容易地理解抽象事物的特征，但最好選取學生所熟知的圖形，便于其理解。

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北 京師范大學出版社，2012.

[2]? M·克萊因.古今數學思想（第四冊）[M].上海：上海科技出版社，1979.

[3]? 葉立軍，王曉楠.中美國高中數學教材比較研究—以“幾何概型”為例[J].數學教育學報，2012（2）：49-52.

（責任編輯 諾? ?依）