例析在解題教學中培養學生發散性思維的策略

盧紅蘭

[摘? 要] 在解題教學中，教師不僅要關注到學生解題能力的培養，還需注重培養學生發散性思維，這應成為解題教學的主旨. 文章結合多個例題，探索了一題多解、一題多變和數形結合等培養學生發散思維的教學策略，努力使培養學生思維品質從理念走向行動.

[關鍵詞] 解題教學;一題多解;一題多變;數形結合;發散性思維

新課改風向標下，數學課堂教學發生了翻天覆地的變化，不少傳統教學模式受到了多重詬病，尤其是教師將解題探究方法與過程直接傳遞給學生的解題教學. 事實上，解題活動是具有創造性教學價值的一項課程資源，學生在問題探究的過程中，往往可以生成直觀的體驗，提高發散思維能力. 問題是，教師只有通過創新解題教學的設計途徑，才能實現培養學生思維發散性的教學目標.

■發散性思維培養的意義

美國心理學家吉爾福特曾說：“正是在發散思維中，我們看到了創造思維最明顯的標志.”據他的觀點而言，發散性思維是一種想象、推測、發散和創造的思維過程，具有積極性、變通性、獨特性和流暢性的特征. 素質教育的終極目標在于培養創新性人才，而創新性人才需善于多向思維，因此，我們需要重視學生發散性思維的培養，找尋到培養發散性思維的有效途徑，并將這一培養任務貫穿于教學的始終，有目的、有意識地應用各種方法加以訓練.

■發散思維培養的策略

1. 一題多解

一題多解是一種以豐富而扎實的基礎知識為依托，多方向尋求解答路徑，并通過多種解法優劣性的比較，來提升解題速度與質量的一種思維方法. 它可以有效提升學生對數學知識的認知，強化學生對數學知識的探究能力，進而加強學習內在驅動力，提升學生的數學探究能力和發散思維能力. 正因為一題多解多種效能，從而一直被普遍認為是拓展思維空間，發展智力，激發發散思維的有效途徑.

例1：已知實數x，y滿足x2+y2=3，則■的最大值是______，最小值是______.

分析：這道題是求解最值的問題，該如何構造思路呢？首先想到通過常規思路去利用不等式和配方法解題，但此處顯然是不適用的. 要求學生深入題目內部分析，學生經過思考后將其視為一個代數問題搭建解題思路. 首先，令z=■，則此處即為求z的最值問題，進一步地，利用上式求得用x，z表示y的式子，再代入方程x2+y2=3，得出一個關于x的一元二次方程，最后利用判別式法去求解. 具體解題過程如下：

解法1：判別式法

令z=■，則有y=z（x-2），代入x2+y2=3，可得x2+[z（x-2）]2=3. 整理后，可得（z2+1）x2-4z2x+4z2-3=0. 又x∈R，所以Δ=16z4-4（z2+1）（4z2-3）=-4z2+12≥0，解得 -■≤z≤■，所以z■=-■，z■=■，此時x=■，y=■或x=■，y= -■.

問題解決到此處，可以結束了嗎？若此時結束，自然無法將學生的思維引向深入，于是筆者拋出問題：“除了判別式法，本題可有其他解法？”學生自然而然地展開思考，但依然無果. 筆者進一步點撥：“數形結合思想是我們解決問題的重要思想方法，倘若從幾何知識出發，是否能找到其他解決方法？”就這樣，學生憑借教師的提示很快找尋到解決問題的思路，并得出以下解法.

解法2：幾何法

如圖1，■可理解為點P（2，0）與圓x2+y2=3上的一點M（x，y）的連線斜率. 觀察圖形不難得出，當PM與PM′為圓x2+y2=3的切線時，z=■可取得最值，易得k■=-■，k■=■，所以z■=■，z■=-■.

至此，問題已經基本解決，此題的“廬山真面目”也盡顯眼前. 而此時一名學生提出本題還可以運用三角函數作答的想法，筆者立刻回應：“很有創意的思路！能具體說一說嗎？”學生很快呈現以下解題過程.

解法3：三角代換法

設x=■cosα，y=■sinα，則z=■.

化簡整理后，可得■sinα-z■·cosα=-2z，所以sin（α-β）=■，其中cosβ=■，sinβ=■.

又因為方程■sinα-z■cosα= -2z有解，所以■≤1，所以z2≤3，可得-■≤z≤■，所以z■=■，z■=-■.

在以上問題的解答中，邏輯思維貫穿其中，形象思維和抽象思維相互交融，數形結合的思想方法成為主角，這些都是學生思維發散的體現. 因此，在教學中唯有教師將一題多解作為發散點，讓學生大膽猜想、勇于創新，將發散性思維運用到解題教學中去，才能以此來鍛煉和培養學生思維的發散性.

2. 一題多變

“題海戰術”在解題教學中只能起到單向性引導的作用，而高效合理的解題教學應當是“少而精”的教學形式. 采用“一題多變”的方式進行解題教學，就是變換已知條件中的部分問題，去求解問題的結果;或是變化題目中的部分條件，同樣去求解問題的結果;又或是加深題目難度或背景，訓練學生發散思維能力. 采用變式教學的方式，讓學生多角度、多背景、多層次、多方位進行求解或研究，領悟命題人的意圖，從而生成深刻的理解和認識，同時達到培養觀察、歸納、想象、運算和反思等多種關鍵性能力的目的，更好地培養學生的發散性思維和解題能力.

例2：已知函數f（x）=■，若對于任意x∈[1，+∞），f（x）>0恒成立，則實數a的取值范圍為______.

分析：本題是以函數為載體，以參數范圍的求解為思路，滲透轉化思想的問題. 深入分析，將區間[1，+∞）上的f（x）=■的恒成立問題轉化為x2+2x+a>0恒成立的問題，進一步地，再轉化成a>-x2-2x恒成立的問題，最終轉變成求y=-x2-2x在區間[1，+∞）的最大值問題.

當學生深入分析并找尋到解題路徑與方法后，教師拋出以下問題：請大家試著將以上題目變一變并解答. 此時，學生的興趣自然而來，展開了火熱的討論，視野和思維逐步打開了，在對以上問題實行“再創造”的過程中，逐步看到了這一類題的“全貌”，生成多樣性的變式問題.

變式1：請試著作出函數f（x）=■的圖像;

變式2：試求出函數f（x）=■的單調遞增區間;

變式3：試求出函數f（x）=log■■的單調遞增區間;

變式4：設函數f（x）=■的反函數圖像的對稱中心為（-1，3），試求出實數a的值;

變式5：已知函數f（x）=■的圖像關于y=x對稱，試求出實數a的值;

變式6：設（a，b）和（c，d）均為函數f（x）的單調區間，x■，x■∈（a，b）∪（c，d）且x■

A.? f（x■）>f（x■） B. f（x■）

C. f（x■）=f（x■）? D. 無法確定

變式7：討論并說一說函數f（x）=■（a≠■）在（-2，+∞）上的單調性.

通過這一例題的拓展和延伸，不僅使得學生對函數最值問題的解析方法有了更進一步的明確，同時也培養了學生的探究和鉆研精神. 不能“教”學生創造性地解題，就不可能“教”給學生思維，更不可能“教”給學生能力. 其實，以變式教學引領學生一次又一次地“再創造”的過程就是經歷一個又一個思維創造的過程，就是發散學生思維的過程.

3. 數形結合

數形結合是重要的數學思想之一，也是數學教學中的一種重要方法. 倘若在解題教學中合理運用數形結合，一方面可以與學生的認知規律相切合，激發探究興趣，提升解題能力;另一方面可以讓學生積極思考，啟發多向思維，培養發散性思維能力. 因此，教師需鼓勵學生多用數形結合的方法去解題，以“神”換“形”，以“形”索“神”，使學生的思維得到充分發散.

例3：已知集合A={（x，y）y≥■x-2}，B={（x，y）y≤-x+b}，A∩B≠■ .

（1）試求出b的取值范圍;

（2）若（x，y）∈A∩B，x+2y的最大值是9，試求出b的值.

畫出圖2后，易生成以下解題思路.

解析：（1）如圖2所示，函數y=■x-2和y=-x+b的圖像為兩條射線，觀察圖2易得b∈[1，+∞）.

（2）當b≥1時，A∩B≠■，據線性規劃的有關知識，可得b=■.

上例中通過形的參與，讓本題的解析過程簡捷而完善. 由此可見數形結合是開啟解題寶庫的金鑰匙. 因此，在解題中，教師需無時無刻地滲透數形結合的思想，為解題穿上華麗的外衣，優化學生的思維品質.

總而言之，作為高中數學教師，我們不僅要讓學生掌握多種解題策略，更重要的是通過解題讓學生掌握靈活多變的解題思維，并借助一題多解、一題多變和數形結合等教學策略，優化學生思維品質，激活學生創新意識，深化學生發散性思維.