站在學生的角度踐思數學抽象

韓乃芳

[摘? 要] 教師要站在學生學的角度，去思考核心素養如何落地這個問題. 站在學生的角度，意味著教師教學研究視角的切換，意味著教師要更多地思考學生如何學才能保證核心素養落地. 數學抽象是數學思維的產物，數學抽象的過程是一個邏輯建構的過程. 觀察學生的數學抽象過程與結果，結合結果去判斷學生在數學抽象過程中是怎樣進行邏輯建構的，是重要的站在學生角度踐思數學抽象策略.

[關鍵詞] 高中數學;學生視角;數學抽象

在高中數學教學中，核心素養培育的要求，使得教師要更多地思考應當通過什么樣的途徑，來保證核心素養的落地. 從當前的研究來看，教師的研究重心更多地落在自身的努力上，即總是思考如何通過“教”的優化，去實現教學過程的優化，從而實現核心素養落地. 這是必要的同時又是不夠的，筆者以為教師還要站在學生的角度，去思考核心素養如何落地這個問題. 站在學生的角度，意味著教師教學研究視角的切換，意味著教師要更多地思考學生如何學才能保證核心素養落地. 這從邏輯上是講得通的，因為核心素養強調的是學生應當具備的能夠適應社會發展與終身發展的必備品格與關鍵能力. 既然是“學生應當具備的”，那自然就要關注學生的學習過程，關注學生學習過程最根本的方法，就是教師要建立學生的視角. 筆者在教學中嘗試站在學生的角度去思考并實踐核心素養培育，取得了一些收獲. 本文以高中數學學科核心素養中的數學抽象為例，談談筆者的一些淺顯的收獲.

■站在學生的視角理解數學抽象

站在學生的視角理解數學抽象是非常必要的，“數學在本質上研究的是抽象了的東西”，這啟示數學教師在教學中要再現抽象過程，不能將數學知識直接“拋”給學生，讓學生死記知識、模仿練習來學數學. 相反，教師在教學中要設計符合學生認知規律的教學，要從學生身邊已有的經驗抽象出數學，要讓學生經歷數學抽象生成的過程，體會這個過程中伴隨的數學思想. 具體來說，在學生視角下的數學抽象，應當有這樣兩點理解：

第一，數學抽象是數學思維的產物. 數學抽象的過程一定是數學思維的過程，學生運用數學思維去加工學習的對象，將其中非數學因素剝離，只留下與數學相關的要素，這就是一個數學抽象的過程. 在這個過程中，無論是非數學因素的剝離，還是剩余數學元素的重新建構，都與數學思維有關，而且這樣的一個思維過程是學生運用已有的數學概念、規律，對學習對象進行加工的過程.

舉一個例子，對于“空間直角坐標系”的學習，可以讓學生經歷一個數學抽象的過程，最簡單的如讓學生去分析一個由三張墻面相交的墻角，可以將墻角抽象為一個“點”，將三張墻面兩兩相交所形成的線抽象為“坐標軸”，去除墻面這一非數學要素，留下的就是一個由點與坐標軸組成的空間直角坐標系的雛形.

這就是一個非常簡單的數學抽象過程，這樣的過程中，學生的思維是不可或缺的，而數學抽象的結果自然也就是思維的產物.

第二，數學抽象的過程是一個邏輯建構的過程. 在日常的教學中，很少有人將數學抽象與邏輯建構結合起來，更多的人認為數學抽象是一個經驗作用的過程但是根據徐利治教授等專家的研究發現，數學抽象的過程本質上是數學學習者基于一定的邏輯來建立或者構造新的數學對象的過程. 這是一個非常有意義的判斷，這一判斷意味著數學抽象超越了經驗理解，更多的具有數學意味，又或者說如果離開了邏輯與建構，數學抽象是難以真正發生的.

比如上面的例子當中，從生活中的墻角抽象出空間直角坐標系，是一個剝離非數學因素的過程，而判斷哪些因素是非數學因素，需要學生已有的數學知識基礎與邏輯參與. 比如學生在平面直角坐標系的學習中，已經認識到要建立一個直角坐標系，需要的是原點和坐標軸，那么在研究墻角這一生活事物時，自然就會留下點和坐標軸兩個數學要素，而剝離其他與直角坐標系無關的因素. 這個過程中的邏輯其實還是非常清晰的，而要培養學生的數學抽象素養，是不能忽視這一邏輯的，也是不能忽視這一邏輯建構過程的.

需要再次強調的是，這兩點理解都是在學生的視角下建立的，教師在教學中有了學生的視角，才能真正急學生之所急，想學生之所想，才能讓自己的教學更加符合學生的學習需要.

■站在學生的角度體驗數學抽象

綜合上面的分析，可以發現抽象是數學的思維方式之一，也是數學活動中最基本的思維方法.對于數學抽象的教學，實際上是一種構造活動，是借助于舊知和推理進行的邏輯建構，形成新概念或定理的活動. 而結合筆者在教學實踐中的一些努力，發現站在學生的視角去理解數學抽象，還只是一個間接的過程. 教師要想有更加直接的體驗，那就應該站在學生的角度去體會數學抽象過程. 體驗學生的數學抽象過程，說起來簡單做起來卻不容易，其中的一個關鍵就是要知道學生在數學抽象的過程中是怎么想的. 對于這個問題的解決，筆者采用的方法是觀察學生的數學抽象過程與結果，結合結果去判斷學生在數學抽象過程中是怎樣進行邏輯建構的.

例如，在上面所舉的“空間直角坐標系”這一例子當中，部分學生對空間直角坐標系的理解，實際上是在他人研究的基礎上形成的，對于這部分學生而言，其實缺少直接的經驗. 考慮到班級授課制的特點，這個時候教師實際上是不可能將上述教學過程重復的，更有價值的做法應當是在對空間直角坐標系的應用當中，繼續完成數學抽象的過程. 一個簡單的做法就是：假如要確定房間內某一個白熾燈的位置（如圖1），那應當需要什么樣的序數組？（考慮到思維的層次性，教師在這里可以用一個平面直角坐標系的例子來輔助學生去理解，限于篇幅，這里不再贅述）

學生在解決這個問題的時候，同樣要經歷一個數學抽象的過程，筆者注意到學生能夠結合上一個教學環節，先迅速地將該生活問題轉變為數學問題——實際上也就是重復一個空間直角坐標系的形成過程. 待到空間直角坐標系形成之后，學生會用一個點去表示燈泡所在的位置，其后學生產生的問題自然就是：在空間直角坐標系里這個點的坐標是什么？——在參與多個小組討論的過程中，筆者都注意到學生能夠自發地提出這一問題. 這個問題的提出實際上是建立在前一抽象的基礎之上的（同時也有著邏輯推理的參與，這是數學學科核心素養中的另一個要素，這里不展開闡述）;而且這一問題的提出意味著學生大腦中的表象已經可以用另一個圖來表示（如圖2）. 如果這個圖在學生大腦中是清晰的，那就說明學生的數學抽象過程是成功的. 事實上，教師還可以進一步跟蹤學生的思維，比如看學生能否根據圖迅速準確地判斷出P點的坐標.

在這樣的一個教學過程中，教師立足于學生的學習過程，通過學生的學習結果去反推學生在數學抽象過程中的具體思路，以及可能遇到的障礙，這樣教師就能對學生的數學抽象過程會感同身受，同時這樣的體驗也可以為教師的教提供更加精準的方向.

■站在學生的角度反思數學抽象

數學抽象是數學學科核心素養的第一要素，而數學核心素養是數學課程改革的新指向，是數學教育的培養目標. 基于對高中數學課程中數學核心素養六個維度的理解，強調依靠數學抽象過程生成數學抽象核心素養，是高中數學教師對核心素養最基本的理解.

筆者在實際教學中以數學抽象作為突破口，是考慮到以教學形態出現的數學抽象，遵循數學抽象的一般規律. 而進一步的研究表明，數學抽象具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現形式，這為數學分層教學的實施提供了數學學科前提和思維訓練的教育基礎. 筆者以為，高中數學教學中數學抽象的重點是后面三種表現形式，而實物抽象更多地發揮著幫助學生建立表象（即思維對象）的作用.

結合上面空間直角坐標系的例子可以發現，第一次建立空間直角坐標系的時候，實物抽象的過程比較明顯，而在第二次進行燈泡位置確定的時候，就已經進入了半符號抽象和符號抽象的階段. 所以這樣的兩個過程，雖然都是數學抽象，但是有所不同. 同時這樣的設計又是有道理的，因為這是一個循序漸進的過程，從實物抽象到半符號抽象以及符號抽象，正好能夠讓幾乎所有的學生都建立一個比較豐富的數學抽象過程，待到學生對空間直角坐標系比較熟悉之后，學生如果再次遇到空間直角坐標系，那就進入了形式化抽象的階段. 所以站在學生的角度反思數學抽象素養的培育，教師要有循序漸進的思路，必要的時候還需要分層次教學，這樣才能讓不同層次的學生與數學抽象的不同形式進行高效的匹配，從而達成核心素養培育的效果.