高中數學起始課教學研究

顧文銓

[摘? 要] 相對于一般知識的教學而言，起始課的教學由于相對陌生，所以有著更多的挑戰，相應的也就有著更大的研究價值. 起始課的教學雖然只立足于某一個章節的第一課時，但是教師卻需要有全局觀，要從全章節教學的角度思考如何走好起始課這個第一步的教學. 高中數學起始課的教學也是需要講究策略的，有效的教學策略可以描述為：濃縮的語言概括策略;情境的重復與拓展應用策略;明確的學習主線策略. 實際教學中要保證起始課的引領性，要能夠為一章的學習埋下伏筆，要保證學生到后面的學習時還能夠回顧起起始課的重點要求，這樣一章的教學才能夠前后呼應，從而保證學生對某一具體內容的整體把握.

[關鍵詞] 高中數學;起始課教學;單元起始課;教學研究;函數

高中數學學科教學中，有一類課程內容很重要，但又容易被教師所忽視，這就是起始課. 對起始課的理解，通常有廣義與狹義兩個角度，廣義的起始課往往是指一個知識系統建立時的起始課程，而狹義的起始課往往是指章節起始課. 對于一線教師而言，有研究價值的通常是指狹義起始課，從學生學習的角度來看，狹義的起始課對應著學生學習某一個內容的開始，是學生推開一個章節知識體系大門的教學. 大量的教學經驗表明，為了幫助學生克服學習中的困難，盡快適應高中數學教學，使高中數學學習有一個良好的開端，教師如何上好高中數學起始課尤為重要. 但是，理論上的重要是一回事，實踐中能否落實是另外一回事，相對于一般知識的教學而言，起始課的教學由于相對陌生，所以有著更多的挑戰，相應的也就有著更大的研究價值. 本文以“集合與函數”（人教版必修1第一章）的教學為例，談談筆者的一些研究實踐與思考.

■高中數學需要重視起始課的教學

如同上面所說的一樣，狹義的起始課往往是指章節（單元）起始課，而章節起始課，又稱為引言課、緒論課，通常是指開始新一章節教學內容時的第一課時，它主要介紹本章節的一些基本概念. 高中數學章節起始課是數學教材的重要內容，為學生學習整章節的內容搭建了知識框架，提供了基本線索，從而有助于學生構建良好的認知結構，形成知識系統. 如果說這是高中數學需要重視起始課教學的宏觀原因，那么從微觀操作的角度來看，還需要注意的是：起始課的教學雖然只立足于某一個章節的第一課時，但是教師卻需要有全局觀，要從全章節教學的角度思考如何走好起始課這個第一步的教學.

以“集合與函數”為例，人教版教材設計的時候，強調了這樣一段話：現實世界中許多運動變化現象都表現出變量之間的依賴關系，數學上，我們用函數模型描述這種依賴關系，并通過研究函數的性質了解他們的變化規律……筆者以為對于教師而言，這樣一段闡述有著高屋建瓴的層次，其至少有這樣的理解：函數概念的建立要創設必要的情境，而情境的創設素材應當從生活中尋找. 考慮到函數概念的建立是以集合為基礎的，因此在創設情境的時候，應當先立足于集合概念的建立. 于是情境素材就可以是一個班級的同學、一個家庭的成員，又或者是某一個數集. 這些都是現實生活中或者是學生學習生活中的素材，有助于學生建立集合的概念. 這些概念還可以沿用到后面的函數概念的建立，比如在研究自由落體運動中物體下降的高度與時間的關系時，下降的高度與時間的每一個數值都分屬兩個不同的集合，這兩個集合中的元素對應的關系就是函數要描述的關系（細胞分裂的素材在此處也可以應用，下一點詳述）.

■高中數學起始課教學策略的例析

高中數學起始課的教學也是需要講究策略的，策略的運用應當有兩個目的：一是激發學生的興趣，二是體現對應單元數學知識建構體系所需要運用的邏輯. 這兩者相輔相成不可或缺，而基于這樣的目的，有效的教學策略可以描述為：濃縮的語言概括策略;情境的重復與拓展應用策略;明確的學習主線策略. 這里所強調的語言、情境與學習主線，決定著起始課教學的“起點”，而只要找到了起始課的“起點”，以“起點”為教學載體展開起始課的教學策略，“起點”除了包括三者之外，從內容的角度來看，還包含章引言、章頭圖、知識源頭等. 以“函數”起始課的教學設計為例，基于上述的策略理解，具體可以這樣設計：

可重復并拓展使用的情境設計：基于跨學科的思路，從學生熟悉的其他學科中尋找素材，如細胞的分裂，一個細胞第1次分裂后得到2個細胞，第2次分裂后得到4個細胞，第3次分裂后得到8個細胞……從素材選擇的角度來看，“集合與函數”這一章的引入強調以生活素材為學生的加工素材，因此以這個素材作為函數起始課的情境素材，可以起到承上啟下的作用：建立集合概念的時候，細胞分裂次數與得到的細胞個數，就是兩個不同的集合，而這兩個不同集合之間的對應關系，就是描述函數的關系. 此數的函數是一個指數函數，又可以反過來作為后面對數函數的素材.

學習主線設計：函數這一章節的學習，所運用的學習主線，其實就是對不同集合的元素及其關系的分析. 明確了這一點，從簡單的函數到復雜的函數，都可以依據這一學習主線去進行. 實際教學中，教師可以跟學生研究不同的例子，比如可以幫學生研究已經學過的正比例函數或者二次函數等，所用的方法則對應著本章學習的“函數表示法”. 具體如一個簡單的正比例函數，學生熟悉的表示方法是y=kx. 從y=kx到f（x）=kx，變化的不僅僅是形式，更應該從解析式的角度看待這種變化，除此之外還有圖（畫圖像）、表（列表）等方法. 在實際教學中，這三種方法可以綜合運用，比如先用列表的方法，將x與f（x）對應的兩個集合中不同的元素分列開來，然后用圖像去表示，進而再用解析式，這樣的綜合運用，實際上就是為了尋找兩個集合當中元素的對應關系. 在后面指數函數與對數函數概念的建立中，其實也是基于這樣的邏輯，因此這就是一個明確的學習主線.

概括語言設計：之所以強調在起始課的教學中，要凝練出具有概括性的語言，是希望這樣的語言能夠起到統領一個單元教學的作用. 筆者以為在函數這一章的教學中，可用的概括性語言是“7詞28字”，即確定集合，明確元素，尋找關系，多元表示，理解性質，抓住特征，學以致用. 在起始課的教學中，這里提到的7詞當中，“確定集合，明確元素，尋找關系，多元表示”可以直接滲透，只要對照學生熟悉的某函數即可，而“理解性質，抓住特征，學以致用”則可以適度拓展，以在后續的新的函數學習中建立.

■關于高中數學起始課教學的小結

在高中數學教學中，一旦開始真正重視起始課的教學，就會有一種“萬事開頭難”的感覺，因為起始課絕不是幾分鐘的引入，而是要在學生認知基礎上，對所要教學的某一單元知識及其體系的全面涉及，這是一個奠基的過程. 起始課教學的成敗，將會對后續教學產生舉足輕重的作用. 因此，教師在教學中要高度注意高中起始階段數學課的教學，要通過各種方式激發學生對高中階段數學學習的興趣，以在興趣的驅動之下理解全章學習的思路，此時學生形成的思路是隱性的，甚至學生自己都察覺不到，但是教師卻必須準確把握.

例如，在上面的例子當中，可重復并拓展使用的情境設計、學習主線設計，都需要讓學生在知識建構或學生熟悉的例子分析的過程中直接感受到，必須讓學生認識到所思考的素材與所形成的收獲的作用. 事實上，在學習指數函數、對數函數之后，筆者再讓學生回顧這一章的學習過程，詢問他們有什么樣的心得，就有不少學生說“記得學習集合與概念第一課的時候，老師所強調的要學好函數，就必須尋找好集合中元素的對應關系，就要學會認識函數的特點特征，這句話我記住了，在每學習一個新的函數時都想著這句話，發現其確實都能夠起到作用……”學生這樣的總結說明了起始課教學的一些觀念確實深入到他們內心了. 而對于概括語言設計則更加需要重視，哪怕是讓學生機械記憶都必須讓學生記住. 在學習每一個新的函數概念之前，筆者都會將起始課中強調的這句話在PPT上播放出來，以讓學生形成一種近乎直覺的思維與判斷. 同樣在函數這一章學習完畢之后，筆者在讓學生結合所學到的不同函數去回顧這“7詞28字”，學生就能充分感受到其概括性，從而讓函數整個知識體系中的知識點能夠融為一體.

綜上所述，高中數學教學中要重視起始課的教學，且在實際教學中要講究策略，要保證起始課的引領性，要能夠為一章的學習埋下伏筆，要保證學生到后面的學習時還能夠回顧起始課的重點要求，這樣一章的教學才能夠前后呼應，從而保證學生對某一具體內容的整體把握. 如果能達到這樣的效果，那么數學知識的體系就可以建立，數學學習的效果會更加好.