習題變式教學在高中數學課堂中的有效應用

許樹森

[摘? 要] 習題變式教學就是以課本例習題為指引，通過習題的變式，幫助學生富有創造性地思考數學問題，以達到善于解題的目的. 文章通過實例具體說明數學習題變式的方法，并提出習題變式需基于課本，卻又超越課本;需循序漸進，恰到好處地發展思維;需注重張弛有度，提升核心素養，進而實現數學習題變式教學的價值.

[關鍵詞] 高中數學;習題變式;思維;核心素養

■問題的提出

數學是以研究規律為主旋律的一門科學，毋庸置疑，習題教學具有學科所在的規律及本質屬性，也就是數學本質. 新課程理念倡導“把握數學本質，啟發思考，改進教學”. 在習題教學中，把握數學本質就是以數學問題的本源為指引，通過習題的變式，引領學生共同探究數學問題的規律與根本屬性，從而幫助學生富有創造性地思考數學問題，以達到善于解題的目的.

查閱歷年高考試卷不難看出，近幾年高考試題源于課本卻又高于課本，也就是教材例習題的變式，那么，如何進行習題的變式成了數學教師需要研究的問題. 筆者認為，教師需精選課本例習題，以考為綱，使其審視課本習題，超越課本習題，始終圍繞教材進行變式教學，使習題教學以學引思. 這才是真正領悟了課本，用活了課本，真正關注到學生的思維發展和數學素養.

■習題變式的設計

一方面，在新課程實施中，偏重于以優質的教材資源培養創新能力，素材需要教師精挑細選，源于這些素材的變式教學活動具有舉足輕重的意義;另一方面，從某種程度上來說，數學習題變式教學，尤其是針對高考復習這種關鍵時期，過程需充分發揮教學“指揮棒”的功效，以滲透數學思想方法為指引，以提升思維能力和解題能力為目標，而不能游離于該體系之外.

原題1：嘗試畫出函數f（x）=x2-5x+6的圖像，并據圖像說一說函數y=f（x）的單調區間，以及各單調區間上函數y=f（x）為增函數還是減函數.

方案1：條件特殊化.

所謂“條件特殊化”，就是變原題中的一般性條件為特定性條件，從而令題目更具特殊性，以達到考查特定概念的效果. 如原題進行如下變式：

變式1：嘗試畫出函數f（x）=x2-5x-6的圖像，并據圖像說一說函數y=f（x）的單調區間，以及各單調區間上函數y=f（x）為增函數還是減函數.

設計意圖：數形結合加強了知識的融合度，幫助學生多角度認識和理解絕對值概念和一元二次方程. 這里從問題的特殊性入手研究問題，符合學生認識的一般規律，利于創新能力的發展.

方案2：改變習題的背景.

改變習題的背景就是不改變原題中的某些條件，另一些條件的背景和形式稍作演變，即可為習題增添難度，為學生的解題留下回味的余地，為學生提供深入探究的舞臺，自然提升學生的創新能力.

變式2：嘗試畫出函數f（x）=x2-5x-6的圖像，并據圖像說一說函數y=f（x）的單調區間，以及各單調區間上函數y=f（x）為增函數還是減函數.

設計意圖：以上變式雙管齊下，考查學生對函數圖像以及偶函數的定義與性質的掌握情況，使其對函數的認識進一步豐富與深化.

變式3：試求出函數f（x）=x2-5x-6在區間[-3，5]上的最值.

變式4：試求出函數y=log■（x2-5x-6）的單調區間.

設計意圖：教師設計以上常規性變式練習，強調解決問題的角度可以多樣化，可以作圖解析，也可以以數學方法求解，不同方法和角度的求解可以反映思維策略水平，利于學生的全面發展.

原題2：已知數列{an}，有a■=1，當n≥2時，若an-an-1=5，則有數列{an}為等差數列，試寫出數列{an}的通項公式.

變式1：已知數列{an}，當n≥2時，若a■=1且a■-a■=n，求該數列的通項公式.

解析：將原題中的等差數列的常數d轉變為變量n，那便不再是等差數列，此處可以通過疊加法求解得出該數列的通項公式.

當n≥2時，？搖an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+2+1？搖=■.

同樣的，深化變式1的難度，則有：

（1）已知數列{an}，滿足a1=1，an-a1-1=3n-1（n≥2），求該數列的通項公式.

（2）已知數列{an}，滿足a1=3，an-an-1=■（n≥2），求該數列的通項公式.

變式2：已知數列{an}中，當n≥2時，若a1=1且an-can-1=d，求該數列的通項公式.

解析：當c=1時，數列{an}為等差數列;

當c≠1，d=0時，數列{an}為等比數列;

當c≠1，d≠0時，可構造等比數列求解，方法如下：

設an+1+λ=c（an+λ），可得an+1=can+（c-1）λ.

與題設an-can-1=d比較系數，可得（c-1）λ=d，所以λ=■（c≠0），所以有an+■=can-1+■.

所以，數列an+■構成以a1+■為首項，c為公比的等比數列.

所以an+■=a■+■cn-1，即an=a■+■cn-1-■.

變式3：已知數列{an}中，若a■=1且an+1-can=qn+1，求該數列的通項公式.

解析：當c=1時，與變式1形式相同，同樣可用疊加法求解得出該數列的通項公式;

當c≠1時，可通過構造等比數列求解得出該數列的通項公式，方法如下：

an+1-can=qn+1變式為an+1=can+qn+1，等式兩邊同時除以qn+1，即可化為■=■·■+1. 令■+t=■■+t，再與原始比較系數，并求出待定t，構造出■+t為等比數列，公比為■，t=■.

設計意圖：運用變式訓練的靈魂在于基礎知識的鞏固，精髓在于滲透常規解題思路和創造性解題思路，獲得簡捷的解法，訓練分析和解決問題的能力，以達到能力與方法層面上的可持續性發展.

■習題變式教學的幾點注意點

1. 基于課本，卻又超越課本

課本是專家和學者們仔細鉆研并精心編寫而成的，課本中的例習題都是精心挑選的. 在習題變式教學中，我們不能滿足于把原題拋給學生，而是要基于課本，而又超越課本，把例習題以動態的方式呈現和復活，根據學生的具體學習需求，或延伸拓展，或變式訓練等，真正意義上關注學生的思維路徑，讓學生的思維在拉長的“問題鏈”中淺入深出，讓數學思維在持續不斷的訓練中深化.

2. 循序漸進，恰到好處地發展思維

同時，對習題的變式需注意縱向推進，循序漸進地加大難度，使思考坡度層層深入，使學生積極思維，恰到好處地發展學生的思維.

原題3：一動圓M與圓C1：（x+2）2+y2=1外切，與圓C2：（x-2）2+y2=9外切，試求出該動圓圓心M的軌跡方程.

變式1：已知一個坐標原點為圓心，半徑為2的圓，從該圓上任意一點P向y軸作垂線PP1，P1為垂足，試求出線段PP1的中點M的軌跡.

變式2：已知圓C1：（x+2）2+y2=1與圓C2：（x-2）2+y2=9，若有一動圓M同時與圓C1和C2外切，則該動圓圓心M的軌跡是什么？

變式3：已知圓C1：（x+2）2+y2=1與圓C2：（x-2）2+y2=9，若有一動圓M同時與圓C1和C2內切，則該動圓圓心M的軌跡是什么？

設計意圖：上述三個變式將常規題轉變為探究題，教師的變式基于學生的思維，學生的解題圍繞思維，學生可以多角度地運用發散思維去分析，加深了學生對此類問題的理解和認識.

3. 注重張弛有度，提升核心素養

習題變式教學要把學生的核心素養滲透到各種習題課中. 在新授課中，變式需與本節課的教學內容相融合，發展學生的數學建模和想象能力;在習題課中，變式需與本章節的教學內容相結合，滲透數學思想方法，培養學生的數學抽象和推理能力;在復習課中，變式不僅需密切聯系考試大綱，還需滲透數學思想方法，培養學生的分析能力和數學抽象. 習題變式是教師基于教學目標和學習現狀，注重張弛有度，通過不斷變化問題，激發學生的探究興趣，旨在提升學生的數學素養.

總之，習題變式是一種技藝，在于它的“火候”，要善于掌握火力;在于它的“節律”，要善于分輕重和快慢;在于它的“深度”，順著學生的思維前進. 教師只有對課本知識透熟于胸，對學習現狀了如指掌，才有可能做到掌握變式的火候、節律和深度，激發學生的探究興趣，提升解題能力，培養數學核心素養.