問題導向驅動能力養成，自主探索落實素養生根

李其龍

[摘? 要] 文章對平面向量基本定理課堂教學進行反思與重構. 從落實數學素養出發，在教師的問題導向驅動下，讓學生進行作圖操作，層層深入地探究問題. 讓學生從被動接受數學概念轉向自主探索數學概念，經歷和體驗概念的產生和完善過程從而提高數學能力，進而達到數學核心素養落地生根的目的.

[關鍵詞] 課堂教學;問題導向;自主探索;素養生根;反思;重構

■引言

新的教學形勢下，如何能夠讓學生從被動接受數學概念轉向自主探索數學概念，經歷和體驗概念的產生和完善過程從而提高數學能力？如何在課堂教學中體現數學素養的滲透和落實？

下面是筆者以平面向量數量積課堂教學為例，對上述問題進行的反思和重構.

■平面向量基本定理課堂教學的若干反思與思考

1. 關于問題情境的反思和思考

向量具有豐富的實際背景，是重要的數學模型和物理模型. 那么，學習數學模型的最好辦法是經歷數學建模過程[1]. 但是，很多教師不重視課本上的物理背景引入，或者直接跳過這一環節直奔定理內容，這使得學生錯過一個用數學的眼光觀察世界的機會，更談不上提高學生發現和提出問題的能力. 縱觀平面向量整章內容，幾乎每節內容起始部分都有一個實際的物理背景問題，在例題中也反復出現實際的物理問題，這也在提示我們：在實際教學中，要引導學生對現實原型進行觀察，充分發揮現實原型對抽象的數學概念的支撐作用. 所以，引導學生根據生活經驗，從火箭升空的速度分解，結合力的分解的平行四邊形法則，提出“平面內任一向量是否可以用兩個不共線的向量來表示”這一問題，是本節內容最好的問題情境.

2. 關于定理抽象過程的反思與思考

平面向量基本定理是高中數學核心概念之一[2]，是把一維的向量共線定理向二維平面的推廣，也是后面將要學習的三維空間向量的學習基礎，處理得當對向量相關內容的學習和研究有綱舉目張的作用.

教師滿堂灌式的講解，學生死記數學概念和機械模仿做題固然也能讓學生掌握定理，但是缺少學生參與的課堂是沒有靈魂的. 只有讓學生真正參與課堂研究，進行自主探索數學概念，經歷和體驗概念的產生及完善的過程才能提高數學能力，進而達到數學核心素養落地生根的目的.

此前，學生對于向量加減法及數乘運算停留在幾何直觀上，從幾何圖形認識到代數符號認識需要一個過程. 通過問題驅動，讓學生進行數學探索，通過自己動手做數學，培養學生主動探求知識、合作交流的意識，改善數學學習信念，提高學生學習數學、研究數學的能力. 這也是讓學生用數學的思維去分析問題，用數學的語言去表述問題的過程.

基于上述思考，筆者嘗試通過對物理現象的幾何直觀認識出發，層層設問，步步深入，展開對平面向量基本定理的探究，讓學生在自主探索過程中體會數學定理的產生，體驗定理所蘊含的思想，感受數學思維的形成來落實數學素養.

■平面向量基本定理課堂教學的重構片段實錄

片段一：問題情境引入

播放火箭升空短視頻，讓學生思考兩個物理現象和一個數學問題.

兩個物理現象：（1）火箭升空的某個時刻，火箭的速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度;（2）力的分解，一個力可以運用平行四邊形法則分解成兩個不共線方向上的力的和.

上面兩個現象都是從幾何直觀上說明，向量可以分解成兩個不共線的向量，兩個不共線向量可以合成一個向量，這些在向量的加法及向量加法的平行四邊形法則中有所體現.

問1：那么代數方面，我們能用數學符號表述上述現象嗎？

問2：（數學問題）平面內，任意一個向量能否用兩個不共線的向量來表示呢？

我們知道，向量可以用一條有向線段表示，這樣，我們既可以從形的角度研究向量，又可以從數的方面研究向量.

請大家在坐標紙上畫一個向量a，再作出a乘2和-2所得的向量c和d.

（1）學生在平面上任意畫一個向量a，再作出a乘一個數所得的向量.

（2）任意畫出一個與a不共線的向量b.

學生動手作圖并在教師的引導下復習向量共線定理.

問3：實數m乘非零向量a可以得到與a共線的所有向量嗎？

生：可以.

問4：能用數學語言描述這一過程嗎？

學生敘述向量共線定理，教師板書.

問5：向量b是否可以用向量a表示？

生：不可以.

片段二：學生動手探索，通過做數學來體驗定理的產生過程

師：我們先研究下面的若干問題，首先在復習引入的作圖基礎上完成下面任務.

作圖：

（1）2a+b; （2）-2a+b;

（3）2a-b; （4）-2a-b.

問6：上述問題推廣到一般，ma+nb合成的向量唯一嗎？

問7：若通過取m和n的不同值，ma+nb可以合成平面內任何一個向量嗎？

教師用幾何畫板軟件演示向量ma+nb的合成（如圖1），并讓學生自己通過拖動改變m，n的值觀察向量合成的追蹤痕跡.

探索結果一：通過取m和n的不同值，ma+nb可以合成平面內任何一個向量.

問8：逆向思考一下，任何一個向量是否可以分解到向量a和向量b的方向上呢？

通過幾何畫板的作圖演示，學生思考并討論該問題.

探索結果二：在同一平面內，任意一個向量c都可以分解成兩個分別在向量a和向量b方向上的向量.

問9：上述幾何現象，用代數符號表示是什么樣子？

生：c=λ1a+λ2b.

問10：上式中，a與b的系數λ1，λ2是否唯一？

生：由向量共線定理可知，在a和b方向上分解的向量是唯一的，故系數λ1，λ2是唯一的.

探索結果三：在同一平面內，任意一個向量c都可以分解成兩個給定向量a和b方向上的向量，分解是唯一的，用代數符號可以表示為：c=λ1a+λ2b，且λ1，λ2是唯一的一組數.

問11：平面上，任意一個向量c能用任意兩個不共線的向量表示出來嗎？

請學生分組自行探索：一位學生畫出一個向量a和任意兩個不共線的向量e1，e2，請組內其他學生進行作圖分解. 完成后，進行角色交換，再次進行相關探索.

探究結果四：在同一平面內，任意一個向量a都可以分解成兩個不共線的向量e1，e2方向上的向量，分解是唯一的，用代數符號可以表示為：a=λ1e1+λ2e2，且λ1，λ2是唯一的一組數.

問12：兩個向量e1，e2為何要求不共線呢？請同學們討論，并結合前面的探究結果進行總結，回答本課開初提出的問題.

生：（1）向量e1和向量e2都為0時不成立. （2）向量e1和向量e2恰有一個為0時，退化為共線向量基本定理. （3）向量e1和向量e2都不為0時，若λ1=0，λ2=0，λ1e1+λ2e2表示0;若λ1與λ2僅有一個為0，退化為共線向量基本定理;一組（λ1，λ2）唯一確定一個向量c.

探究結果五：同一平面內，任意一個向量可以用兩個不共線的向量來表示.

類比向量共線定理的符號表示，上述內容用符號語言表述為：如果e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2（平面向量基本定理生成）.

■課堂重構后的思考

在重構后的課堂教學中，經歷了從物理現象到數學問題，從幾何直觀到代數抽象. 學生自己動手做數學，選用坐標紙作圖，教師通過幾何畫板動畫演示向量ma+nb的合成，學生通過拖動改變m，n的值觀察向量合成的追蹤痕跡，再到任意的分解. 學生進行觀察和自己動手參與計算機操作，從視覺和思維上都受到了沖擊. 在問題導向的驅動下，分階段引導學生從幾何直觀探索平面內任意向量的分解，在探索結果的基礎上用代數符號語言進行表述，再對符號語言進行深入的推敲，直至概念的形成. 在探索過程中體會數學思維形成，體驗定理所蘊含的思想，感受數學符號語言的魅力，經歷從幾何直觀到代數抽象的升華. 讓學生從被動接受數學概念轉向到自主探索數學概念的生成. 學生從經歷和體驗概念的產生及完善的過程中提高數學能力，進而達到數學核心素養落地生根的目的.

數學的大廈不是一天建成的，數學知識的生成是有跡可尋的. 在課堂教學中，要讓學生感受到：數學不是高不可攀、與生俱來的，是與人類生活和社會發展緊密相連的. 可以通過運用基礎知識、基本技能、基本思想進行探究，在探究的經歷中獲得基本活動經驗，在活動經驗基礎上提升自己的數學素養.

參考文獻：

[1]? 單墫. 高中數學教學參考書（數學4）[M]. 南京：江蘇教育出版社，2012.

[2]? 程仕然，蔣智東. 蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修）數學》中核心概念認知情況的調查報告[J]. 數學教學通訊，2019（15）.