學好一次函數，善于梳理總結是關鍵

王玉新

【摘要】函數是研究現實世界的一個重要模型，應讓學生掌握以下幾點：（1）一次函數的解析式的特征及常見的考題;（2）一次函數的圖像及性質常見的考點;（3）根據k，b的符號確定函數經過的象限或根據圖像確定k，b的符號的常見考點;（4）確定一次函數的表達式;（5）一次函數與方程、不等式、不等式組的關系;（6）用一次函數解決生活中的實際問題.

【關鍵詞】函數的解析式;數形結合法;待定系數法;象限

函數是研究現實世界的一個重要模型，它是數與形的有機結合體，對它的學習一直是初中階段數學學習的一個重要內容.其中一次函數及其圖像是初中代數的重要組成部分，也是學習高中解析幾何的基石，更是中考所考查的重點內容.但很多學生都覺得學函數如同老虎吃天——無處下口.那么，怎樣組織學生學好“一次函數”這一內容呢？筆者覺得在教學中善于梳理總結是學生學好的關鍵，下面談一下筆者的一點淺見.

一、讓學生掌握一次函數的解析式的特征及常見的考題

一次函數解析式的結構特征：y=kx+b是關于x的一次二項式，其中常數b可以是任意實數，一次項系數k必須是非零數即k≠0，因為當k=0時，y=b（b是常數），由于沒有一次項，這樣的函數不是一次函數;而當b=0，k≠0，y=kx既是正比例函數，也是一次函數.

對應考點有：

（一）根據一次函數的定義求代數式的值

例如，函數y=（k-1）x+k2-1中，當k時，它是一次函數，當k它是正比例函數.

（二）一次函數的圖像及性質常見的考點

一次函數的圖像及性質的學習，最有效的手段是形結數合.本部分的常見考題，筆者以例子的形式總結，如函數y=3x-6，要求學生按以下步驟去做.

1.作圖形：通過如下3個步驟：（1）列表;（2）描點;（3）連線，可以作出一次函數y=3x-6的圖像是—條直線.我們知道，作一次函數的圖像只需知道兩點，并連成直線即可.因此，對上述函數最好取圖像與x軸和y軸的交點即（0，-6）（2，0）作圖.

2.看圖像說明函數圖像經過的象限.

3.計算圖像與x軸和y軸圍成的三角形的面積.

4.寫出圖像與x軸和y軸交點的坐標.

5.x滿足什么條件：（1）y>0;（2）y=0;（3）y<0.

6.y隨x怎么變化？

7.直線y=3x-6是哪個函數怎樣平移得到？

（三）根據k，b的符號確定函數經過的象限或根據圖像確定k，b的符號的常見考點

1.根據函數y=kx+b中，k，b的符號確定函數圖像及經過的象限.其中k的符號決定經過的兩個對稱性的象限，b的符號確定一次函數的圖像經過的第三個象限.b>0時圖像與y軸正半軸相交，b<0圖像與y軸的負半軸相交.具體如下：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小.

當b>0時，直線必通過一、二象限;當b<0時，直線必通過三、四象限.

特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像.

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限.

例如，當k>0，b<0時，函數y=kx+b的圖像經過哪幾個象限？

分析：k>0，圖像經過對稱性的一、三象限.b<0說明圖像與y軸正半軸相交，故經過一、二、三象限.

2.根據函數的圖像確定k，b的符號.

（四）確定一次函數的表達式

求函數的表達式通常用待定系數法，它的類型常見的有：給定兩點法求函數關系、圖像法求函數關系式、給定表格求函數關系式，以及綜合求函數關系式.下面筆者分別舉例說明.

類型（一） 已知點A（x1，y1）;B（x2，y2），請確定過點A，B的一次函數的表達式.

1.設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b.

2.因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b.所以可以列出2個方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②.

3.解這個二元一次方程，得到k，b的值.

4.最后得到一次函數的表達式.

類型（二） 已知一次函數y=kx+b的圖像如圖所示，求其函數關系式.

分析：從圖形中找到兩點（0，3）（2，0）代入可解.

類型（三） 大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距.某項研究表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數.下表是測得的指距與身高的數據：

求出h與d之間的函數關系式（不要求寫出自變量d的取值范圍）.

類型（四） 已知一次函數的圖像與y=-12x的圖像平行，且與y軸交點（0，-3），求此函數關系式.

分析：一次函數平行的條件為k值相等，因此，所求函數關系式中k=-12，又經過（0，-3）點即b=-3，至此問題可迎刃而解.

（五）用一次函數解決生活中的實際問題

這一考點重在讓學生根據實際問題寫出一次函數的關系式，也就是考查學生分析問題解決問題的能力.

總之，要學好一次函數這部分知識，關鍵是要善于梳理總結，讓學生知道這一章的重點和考點，學生就會學得輕松自如，從而達到事倍功半的效果，大家不妨也試試.