“圓錐曲線與方程”教學重點分析

黃海燕

圓錐曲線與方程的內容，主要是在直線和圓的基礎上，學習圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.

一、教材中內容特點

（一）明確解析幾何的基本思想方法

突出用方程研究曲線，用代數方法研究曲線的幾何性質;強調解析幾何解決問題的程序性和普適性;自始至終貫穿曲線與方程、方程與曲線的關系.

（二）抓住軌跡問題的本質，建立軌跡的方程

軌跡是由動點運動形成的曲線（或幾何圖形），其特點是，動點在運動變化過程中，始終有保持不變的量，由此我們可以建立軌跡的方程.通過軌跡的方程，研究軌跡的幾何性質.橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線都是動點在運動變化過程中，保持某種“距離”不變.

（三）實例豐富，注重實際背景和應用

實際上，圓錐曲線很早就與人類生產、生活以及科研有著緊密的聯系.在章引言中，說明三種圓錐曲線都是用不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐面得到的.改變截面與圓錐軸線的夾角，可以得到橢圓、雙曲線、拋物線.這種引入，目的是使學生了解“圓錐曲線”名稱的由來.另外在教材的正文中，還多次提到行星運行軌道、發電廠冷卻塔的外形、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面等等.在教材的拓展性欄目中，還安排了“探究與發現：為什么截口曲線是橢圓”“閱讀與思考：圓錐曲線的光學性質及其應用”（這些內容非常有趣，運用導數可以給出嚴格的證明）等.安排大量的實例，注重實際背景和應用的目的是讓學生感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的重要作用.

二、教學中主要方法

（一）引導學生自主探索

介紹三種圓錐曲線時，引導學生自主探索.如通過觀察橢圓的形狀，引導學生建立適當的直角坐標系，用點的坐標表示距離，建立橢圓的標準方程.這種呈現方式，意在突出知識的發生、發展過程，引導學生自主學習探索，既動手又動腦，獲得體驗.在感性認識的基礎上，把具體直觀的圖形“橢圓”抽象形式化（代數化）為“方程”，形成理性認識.雙曲線與拋物線的幾何特征雖然與橢圓不同，但其引入和標準方程的建立過程，都是與橢圓相類比展開的.

（二）注意代數方法與幾何直觀相結合

在三種圓錐曲線的簡單幾何性質的研究中，從直觀入手，用代數方法研究它們的幾何性質，注意代數方法與幾何直觀相結合.如對橢圓離心率的研究，首先從直觀入手，讓學生觀察兩組扁平程度不一的橢圓，提出問題“用什么量刻畫橢圓的扁平程度呢？”再讓學生思考，然后給出橢圓離心率的定義.這種方式，首先使學生對離心率有一個直觀的印象，然后對離心率的概念有更加深入的認識.這種處理方式可以從不同的角度，用不同的量刻畫橢圓的扁平程度.類比橢圓離心率的概念，對雙曲線離心率的研究，我們首先直接給出雙曲線離心率的概念，然后提出問題“橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？”，讓學生思考.結合幾何直觀，以及a，c兩個量，可以發現，雙曲線的離心率可以用來刻畫雙曲線“張口”的大小.

（三）幫助學生感受數學的整體性

加強不同知識內容的聯系性，從不同角度看待同一數學內容，讓學生體會曲線與方程和函數與圖像之間的關系，感受數學的整體性.曲線與方程、函數與圖像是兩類不同的研究對象，它們之間有一定的聯系，也存在一定的區別.首先，方程、函數的外延和內涵不盡相同.從外延來講，方程的概念很寬泛，函數的解析式都可以表示為方程的形式;從內涵來說，函數的內涵非常豐富，方程不一定是函數.

（四）重視信息技術工具的作用

信息技術工具在解析幾何的學習中有較大的支持作用，發揮的空間也較廣闊.在教材中，安排了很多“信息技術應用”的內容.如利用信息技術工具向學生演示平面截圓錐的過程，通過改變截面與圓錐軸線的夾角，得出不同的圓錐曲線.信息技術工具的使用可以加深學生對圓錐曲線的直觀認識.運用信息技術工具的“運動變化過程中保持幾何關系不變”的特點，非常容易探索動點軌跡的形狀.一方面，信息技術工具為我們創造了一個實驗、發現、猜想的環境，在動態演示中，觀察軌跡形成的原因、軌跡的形狀，發現結論、形成猜想;另一方面，當我們求出軌跡的方程后，可以用信息技術工具幫助我們進行直觀驗證軌跡的形狀，加深對方程所表示的曲線形狀的理解.

總之，圓錐曲線與方程的內容十分重要，在教學中需要我們仔細研究，認真講解，加強訓練，幫助學生很好地掌握這部分內容.