“高觀點”視角下的初中數學教學

杭靜

[摘 ?要] “高觀點”視角下的初中數學教學，不是將高等數學知識教學下移，而是用高觀點思想、方法、知識、思維統領、駕馭、關聯學生的初中數學學習. 只有從高觀點視角來理解、認識初中數學教學，教學才能居高臨下、深入淺出. “高觀點”視角下的初中數學教學，能讓學生的數學學習呈現出勃勃生機和新的景象.

[關鍵詞] 初中數學;高觀點;數學教學

所謂“高觀點”是指用高等數學、現代數學的知識、思想和方法來分析、解決初等數學（中小學數學）知識. “高觀點”視角下的初中數學教學，不是將高等數學知識教學下移，而重點是“用通俗易懂的語言向學生介紹或適當補充一些與高等數學相關的思想、方法等” . 只有從較高視角來理解、認識初中數學教學，教學才能居高臨下、深入淺出. 這其中，最為常用的教學方法就是滲透、植入、嵌入和融入.

滲透“高觀點”思想，改變初中數學教學觀念

德國著名數學家、數學教育家克萊因深刻地指出，許多初等數學知識，只有放置到高等數學視角下，才能得到較為合理、較為科學的理解. 滲透高觀點思想，是高觀點視角下初中數學教學的基本內涵.

比如，化歸思想是初中數學的一種高階思想. 在化歸思想下，解決初中數學問題有許多具體的方法. 這些方法，一般都能將未知化為已知、將陌生化為熟悉，因而都受化歸思想的統攝. 比如教學函數y=ax2+bx+c的圖像這一部分內容，教師可以從學生已有知識經驗出發，切入學生數學認知的“最近發展區”. 針對學生已學的三個簡單的二次函數——“y=ax2”“y=ax2+c”“y=a（x-b）2”入手，通過類比法、數形結合法等，引導學生自主探究，逐步推出函數“y=a（x-b）2+c”這一新教學內容. 可以將“y=ax2”的函數圖像沿著y軸向上或者向下平移若干個單位，再向左或向右平移若干個單位，得到“y=a（x-b）2+c”圖像. 如此，教師運用學生所熟悉的知識，構建新的數學知識. 這個過程，教師要充分發揮學生的主觀能動性，既讓學生理解了數學知識的來龍去脈，更讓學生洞察了數學知識的內在關聯. 在具體的數學知識實踐過程中，學生自己展開嚴謹的推導，自己進行理性的計算. 在這個過程中，數學的轉化思想牽引學生的數學學習，學生主動地類比、將數與形結合思考. 用數學的思想牽引、指導數學教學，讓數學課堂教學煥發出生命的活力，學生能深刻理解、把握數學知識的實質.

植入“高觀點”方法，豐富初中數學教學形式

“高觀點”思想下的方法，是具有統攝作用的方法，其運用性強、組織性高，具有再生性、生長性等特性. 從學生學習視角看，“高觀點”視角下的數學方法，具有一種活性以及知識的繁殖性. 換言之，數學方法是貫穿于學生數學學習始終的，是貫穿于不同的數學知識學習之中的.

以類比方法為例，所謂“類比”，是指根據兩個或者兩類對象之間某些相同或相似屬性，推導、推演出它們在其他方面也存在著某些相同或相似屬性. 類比，是一種重要的數學思考方法，它是合情推理的一種. 比如學生學習“一元一次不等式的解法”可以類比“一元一次方程的解法”，因為它們都要經過“去分母、去括號、移項、合并同類項”等過程，都是將未知項的系數化為1;比如分數加減法可以類比分式加減法，因為數與式具有一種通性，都是借助于基本性質、通分、約分、四則運算等展開;再比如，學生學習“圓與圓的位置關系”可以類比“直線與圓的位置關系”，學習反比例函數、二次函數可以類比一次函數，等等. 在數學教學中，植入數學方法，能夠豐富初中數學教學形式. 從學生學習數學視角來看，方法猶如一個綱，綱舉目張;方法猶如一個支點，抓住方法，所有的數學知識都可以被撬動;方法是一個連心鎖，能夠賦予學生數學活動的力量.

作為數學教師，只有站在高觀點視角下運用數學方法來組織數學課堂教學，才能將復雜的、抽象的數學教學內容以一種生動的、直觀的形象呈現在學生面前. 只有站在方法的制高點上，才能有效地駕馭數學教學，從而達到舉一反三的高效教學目的.

嵌入“高觀點”知識，豐盈初中數學教學內容

初中數學教材中的幾何、函數、概率等內容在高中數學乃至于高等數學教學中同樣會出現. 當然，其中知識的深淺、難易、抽象度、概括性等是不同的. 作為教師，在初中數學教學中，可以相機嵌入一些“高觀點”數學知識，豐盈初中數學教學內容. 高觀點知識，能夠統領初等數學知識，能激發學生的好奇心、求知欲，從而能夠改變學生被動學習、機械模仿的學習樣態.

比如教學“一次函數”“反比例函數”“二次函數”等知識內容時，教師可以滲透函數發展史的知識. 通過函數發展史，讓學生明晰函數概念誕生的來龍去脈，從而洞察函數的本質. 應該說，函數思想史是一種高觀點知識，因為其中涉及學生還沒有學習的導數、微積分等知識. 但對函數發展史、函數知識背景的認知，能讓學生體認到函數知識的文化價值. 函數源于力學的應用訴求，其中涉及了行星運行軌道的原理等知識. 當微積分建立的時候，還沒有采用函數的概念，牛頓運用的是“流量”，萊布尼茲首次使用“函數”的概念表示冪. 在微積分經歷了兩百多年的錘煉、變革后，逐步形成了函數的概念. 這樣的高觀點知識的嵌入，不僅讓學生了解了函數的發展史，還讓學生認識到，初中函數的學習是非常重要的，許多高等數學知識的學習都必須運用函數知識，從而增強了學生學習函數的自覺性、能動性. 這種嵌入高觀點知識的教學，改變了教師以往僅限于初等知識層面實施教學的機械模式，彰顯了數學知識的連續性、學生數學學習的連續性的法則. 當然，在這個過程中，教師不能揠苗助長，拔高知識教學要求，而是可以通過適當的方式讓學生了解，從而起到開闊學生數學視野的作用. 高觀點知識的適度嵌入，提高了數學課堂教學效率.

融入“高觀點”思維，簡化初中數學解題思路

“高”者，超出常態也. “高觀點”視角下的數學教學，比如融入高觀點思維，能簡化初中數學問題解決思路. 高觀點思維，能讓初中數學教學深入淺出，將最為復雜的知識用淺顯的、明白的方式表征出來.

比如對于這樣的問題——“滿足‘SSA的兩個鈍角三角形全等嗎”，有教師認為，這個判斷需要具體地分清楚這個三角形是怎樣的三角形，如果兩個三角形都是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，那么就可以判定兩個三角形全等. 其實，如果我們從高觀點思維看，通過正弦定理就會發現，當兩個三角形都是鈍角三角形，并且只有當“兩個鈍角三角形中的兩個鈍角相等，并且兩個鈍角所對邊以及另一個對邊也相等時，這兩個鈍角三角形才會全等”. 而更一般的表述是：三角形中的兩組邊以及兩組邊中的較大的邊所對的角相等，這兩個三角形才會全等. 作為教師，可以通過高中數學知識，將這一過程詳細地證明. 在初中數學教學中，教師可以通過引導學生畫圖探究的方式，催生學生的數學思考，提升學生的數學認知. 正如德國著名數學教育家克萊因所說：“理解初等數學知識，只有采用高觀點思維，事情才會變得簡單而明了. ”

“高觀點”視角下的初中數學教學，要站在學科知識結構與學生認知結構相關聯的視角，滲透思想、植入方法、嵌入知識、融入思維. 從而能夠讓初中數學教學實現知識與思想的統一，文化與精神的和諧. 如此，學生的數學學習一定會呈現出勃勃生機和新的景象.