論如何在教學中滲透數學核心素養

全媛

【摘要】數學的核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等能力。文章以“直線的傾斜角與斜率”教學為例，在引導學生尋找直線的傾斜角、運用直線斜率公式的過程中，說明如何在教學過程中滲透核心素養中直觀觀察、數學運算、數據分析等能力的培養。

【關鍵詞】數學核心素養;直線;傾斜角;斜率

高中數學難度較高，不僅有對學生的要求，而且有對數學老師的要求。高中數學老師要傳授給學生未來學習和發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），提高發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”）。在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養。在高中數學教學中，教師要幫助學生提高對數學學習的興趣，培養學好數學的信心，養成良好的學習習慣，提高自主學習的能力，培養敢質疑、勤思考、實事求是的學習精神。

下面以“直線的傾斜角與斜率”為例來說明如何在數學教學過程中滲透數學的核心素養。研究“直線的傾斜角與斜率”，首先要研究什么是解析幾何。

解析幾何的創立是數學歷史上一次很大的進步，它將幾何學與代數學結合得更加緊密，極大地促進了兩者的發展，同時也使得微積分的創立變得水到渠成。解析幾何的本質是將幾何圖形放到平面直角坐標系中，用代數學的方法和計算去研究幾何圖形。研究解析幾何的基本思路是，先用幾何眼光觀察，再用代數方法解決。我們知道，組成圖形最基本的元素是點，而利用平面直角坐標系，我們可以將點與有序數對一一對應，這就將“曲線的方程”與“方程的曲線”對應起來。而能夠做到這點的基本要求是將圖形放到平面直角坐標系中去。

所以我們在設計“直線的傾斜角與斜率”的教學時，首先應該告訴學生的是解析幾何的歷史背景與解析幾何的本質，以及研究解析幾何的基本思路。

“直線的傾斜角與斜率”屬于解析幾何中的第一部分內容，是最簡單的。我們如果要研究解析幾何，那么肯定是從最簡單的幾何圖形——直線入手。在設計課題引入時，我們可以利用“兩點確定一條直線”這條公理，提出“一個點能確定多少條直線”，進而提出問題：這些直線的傾斜程度有什么相同點嗎？

得出“一個點所確定的不同直線的傾斜程度不相同（不同直線方向上的差異）”這個結論的過程就是解析幾何的基本思路：用幾何的眼光去觀察。為了能夠更好地研究這種傾斜程度不相同，我們就可以利用解析幾何最基本的思想方法：以平面直角坐標系為橋梁，將直線放入到平面直角坐標系中。

將直線放入到平面直角坐標系中以后，我們會發現一條直線與坐標系中的x軸有一個交點，從而形成了四個角。為了更方便研究，我們統一規定x軸正方向與直線向上方向所形成的夾角叫作直線的傾斜角。通過觀察知道：直線的傾斜程度不相同，則直線的傾斜角不相同。所以得出結論：傾斜角是直線的傾斜程度的第一種刻畫，也就是幾何刻畫。然后教師可以讓學生自己在草稿紙上親自動手繪圖，看看要想確定一條直線需要哪些東西。最后讓學生自己總結得到的第一個重要結論：要確定一條直線，必須要有一點+傾斜程度（傾斜角）。

我們知道解析幾何是用代數的方法去研究幾何圖形，那么什么是代數的方法呢？其實代數方法的根源就是運算。結合傾斜角的定義，我們知道點與傾斜角都屬于幾何問題，在平面直角坐標系中，點的代數表示為坐標，我們可以用坐標來進行點的相關計算。那么直線的傾斜角用代數表示又是什么呢？又如何對直線的傾斜角進行運算呢？

為了解決上面的問題，我們先引入初中學習過的坡度與坡比的概念。我們知道坡度也是坡角的正切值，如果把坡面看成一條直線，以地面為x軸，則坡角就是坡面直線的傾斜角。所以，在數學研究中，我們將傾斜角的正切值叫直線的斜率，從而很自然地導出直線的斜率的定義：。因而斜率就是直線傾斜程度的第二種刻畫，也就是代數表示。這時應該特別強調角沒有斜率。為了方便以后計算，我們可以列出特殊角的正切值來幫助記憶。然后提出問題：直線傾斜角越大，斜率就越大嗎？這個問題可以更好地幫助我們理解直線傾斜角與斜率之間的聯系。我們也可以利用正切函數的圖像得出傾斜角與斜率之間的關系，將解析幾何知識與三角函數知識聯系得更加緊密。最后總結這一部分的要點就是，點的代數表示為有序數對，即坐標，而傾斜角的代數表示為斜率。

既然兩點能確定一條直線，一點加傾斜角也能確定一條直線，而斜率又是傾斜角的一種刻畫，那么兩點與直線的斜率之間內在聯系又是什么呢？這個問題的提出就是為了引出通過代數的運算來研究幾何圖形。

假如給一條直線以及直線上的兩點，那么如何求出這條直線的斜率？這是本節課的重點內容之一。這個問題是解析幾何中數形結合思想的體現，也是解析幾何的本質之一代數運算的體現。教師可以先給出一條傾斜角為銳角的直線，直線上兩個點的坐標分別為、 ，讓學生小組合作討論：如何通過畫輔助線、找線段長度的方法得出用、坐標表示斜率的斜率公式。然后分別給出直線傾斜角為鈍角、直角、幾種情況，最后得出形式上完全相同的直線的傾斜角的公式：。可以用一句比較大眾的話來解釋這個公式：縱差比橫差，差同序。特別提醒學生：當直線的傾斜角為時，直線的斜率不存在。這樣就可以解釋之前提出的問題了：兩點確定一條直線與一點加斜率也可以確定一條直線，這兩種說法之間的內在聯系就是直線的斜率公式。這個思考解決問題的過程正好體現了解析幾何的一種思想——數形結合思想，也就是本文提到的用幾何的眼光觀察，用代數的方法解決。這樣的思考聚焦在“整體結構”“邏輯主線”“核心概念”的關鍵因素上，對提升數學素養非常有好處。

到此，我們的新課內容就研究完成了，接下來可以做一些簡單的例題進行鞏固。例題完成之后進行小結。1.我們用幾何眼光觀察不同直線的傾斜程度不相同，而直線傾斜程度不相同（直線的方向差異）可以用傾斜角進行幾何刻畫，也可以用斜率進行代數表示，傾斜角是將直線放入到平面直角坐標系中得出的，斜率是通過代數的方法計算出來的。2.斜率公式的推導，就是結合圖形，分析直線的特點，得到圖形的“不變性”，通過運算發現圖形要素之間確定的關系。這個過程很好地體現了解析的本質，在此過程中，直觀想象、數學運算發揮了重要作用。

數學核心素養能力不是一朝一夕能建立的，需要數學教師在長期的教育教學中不斷反思，總結規律方法。總之，任重而道遠，吾將不斷前行。

【參考文獻】

[1]章建躍.章建躍教授在第六屆數學課堂教學創新高級研討會上的發言[R].2018-11-23.

[2]洪開科.直線的傾斜角與斜率的教學設計[J].數學學習與研究（教研版），2017（01）：93.