巧構造長方體模型，彰顯數學核心素養

黃堅明

【摘要】培養空間的想象能力一個有效方法是用直觀圖像進行推理教學。長方體是立體幾何中的基本幾何體，其結構對稱，是研究直線與平面關系、特殊幾何體的一個重要載體，是培養空間想象力的重要依托。試題中有關立體幾何的圖形不規則，線面關系不直觀、不明顯，但是通過補成“長方體”往往起到“柳暗花明”的效果。

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來。”空間幾何中，依據題意巧構造長方體，通過切割、旋轉、變換等，不僅能夠培養學生的空間的想象能力、數據處理能力以及邏輯的推理能力，也有利于學生的轉換和化歸的思想方法的培養，讓學生追溯知識源頭，提升數學核心素養。

【關鍵詞】中學數學；立體幾何；長方體模型；核心素養

對立體幾何初步，《高中數學課程標準》提出了基本要求：在立體幾何學的初步部分，學生將從空間幾何的整體視圖開始，并了解空間圖形；然后使用長方體作為載體，直觀地觀察和理解空間點，線和面的位置關系……

高考題源自課本，即要追溯源頭。立體幾何是高考重點之一，通常以一大一小模式命題，以低、中檔難度為主，主要為三視圖，表面積與體積、距離的計算，點、直線、平面位置關系的判定與證明等內容；推理和空間的想象能力是高考中重點考查的能力，轉化與化歸的思想貫穿始終。經過探索，該類型問題可通過構造長方體模型來進行有效地解決。以下是筆者的見解、分析和總結。

一、構造長方體進行點、直線、平面的位置關系的判斷

例1.（2015年湖北卷文文科數學第5題 ） 表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則（ ）。

A. p是q 的充分條件不必要條件

B. p是q 的必要不充分條件

C. p是q 的充要條件

D. p是q 既不充分條件，也不必要條件

【解析】若p：l1，l2為兩條異面直線，如圖1，結合定義，易得l1，l2不相交；若q：l1，l2不相交，如圖1和圖2，則l1，l2可能是異面關系，也可能是平行關系，借助長方體模型，化抽象為直觀，易理解，同時也發展了學生的空間的想象能力。

空間點、線、平面之間的位置關系是立體幾何的理論基礎，高考常設置選擇題或填空題，考查直線、平面之間的位置關系的判斷。對于直線與平面、平面與平面的平行或垂直的位置關系的判定，處理這類問題需要根據空間直線與平面的位置關系的相關定理進行證明，錯誤的結論需要通過舉出反例說明其錯誤，在解題中可構造長方體或立方體模型化抽象為直觀去推理或者反駁。

二、構造長方體進行異面直線所成角求解

例2.（2014年大綱全國卷第4題）四面體ABCD是正四面體，E是AB的中點，則直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）

對正四面體通過“補”的方法，構造一個立方體，則正四面體的棱長是立方體的側面對角線，對于求解正四面體的相關問題，借助立方體模型，容易直觀的觀察直線與平面的位置關系，把抽象變得直觀，從而降低解題的難度。對于本題，把四面體ABCD補成立方體，如圖3：

【解析】由E是AB的中點，作AD的中點F，連接EF，由三角形中位線性質，得BD//EF，所以異面直線CE與BD所成的角為∠CEF。將正四面體補成立方體，不妨將立方體的長度設置為2，則BD=，EF=BD=，CE=CF=，在△CEF中，由余弦定理的推論得，。

例3.（2012大綱全國卷第16題）在底面的邊長和側棱長都相等的三棱柱A1B1C1?ABC中，∠A1AB=∠A1AC=60°，則異面直線B1A與BC1所成角的余弦值為____.

【解析】由題意知，∠A1AB=∠A1AC=60°可得四邊形BCC1B1為正方形.如圖，把底面ABC補成菱形ABCD，把底面A1B1C1補成菱形A1B1C1D1，即把三棱柱補成平行六面體ABCD?A1B1C1D1，則∠B1AD1為異面直線AB1與BC1所成角。不妨設棱長為2，則AD1=BC1=，AB1=B1D1=，在△AB1D1中，由余弦定理可得cos.

在解決異面直線所成角的問題，通過“補”的方法，在找平行線時，學生能夠直觀、增強空間的想象能力。

三、構造長方體進行三視圖轉化為直觀圖

例4.（2017年北京卷文科數學第6題）已知如圖所示是三棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）.

A.60 B.30

C.20 D.10

【解析】將該錐體，通過“補”的方法，構造長方體，如圖所示，.故選D.

這是一道典型的高考題，將幾何體的體積、表面積計算與三視圖結合命題是高考的常見題型，旨在發展學生的識圖、用圖能力及空間的想象能力與演算能力。若所要求的幾何體的體積是不能夠直接用公式求解出來的，則一般要用“等體積法”求解（轉換的原則是使底面面積和高易求）或使用切割法、補全法等方法求解。

四、構造長方體進行外接球求解

例5.（2010年遼寧文科數學11題）若S，A，B，C四點是球O的表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，則球O的表面積為（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

【解析】根據題意，畫出直觀圖，如圖6，由SA⊥平面ABC和AB⊥BC，把棱錐S-ABC補成長方體，如圖7，此時三棱錐S-ABC與補成的長方體有相同的外接球，所以外接球的直徑2R=SC=2，外接球的表面積為4πR2=4π.

五、構造長方體在解答題的應用

例6.（2016年全國1卷文科數學第18題）如圖所示，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E.聯結PE并延長交AB于點 G.

（1）求證：G是AB的中點；

（2）作出點E在平面PAC內的正投影F（寫出作法及理由），且求出三棱錐 P-DEF的體積。

【解析】由正三棱錐的性質和該三棱錐的側面是直角三角形，可構建立方體模型，如圖8，利于學生觀察圖象中直線、平面的關系，直觀，思路易打開且清晰。

對于第一問，頂點P在平面ABC內的投影為點D→PD⊥平面ABC→PD⊥AB；頂點D在平面PAB內的投影為點E→DE⊥平面PAB→DE⊥AB；

對于第二問，由于構建了立方體的模型，易知，BP⊥面PAC，只需要找BP的平行線，在平面ABP內，過點E，作EF//PB，即可。

對于長方體，立體感強，學生熟悉，以長方體模型為媒介，能夠直接觀察并容易理解空間中點、直線、平面之間的位置關系；解決空間立體幾何問題時，要關注整體圖形的理解，發展學生空間的思維，數據的處理、邏輯推理、抽象思維、空間想象、數值計算等能力；領會、感悟化歸的思想、歸納類比的思想、數形結合和數學建模在數學解題中的運用，培養探究精神。

構造法實質上是結合題目條件構造符合原題的直觀空間幾何模型，然后利用模型直觀地解決問題，這樣減少由于抽象而考慮不全面而導致解題錯誤。正如法國數學家拉普拉斯所說：“在數學世界里，發現真理的主要方法是歸納總結和模擬實驗。”在解題中要培養學生的核心數學素養，能夠找出題型的特點和關鍵點，能從變化莫測的題型中追蹤溯源，透析出本質，歸結到最基本的知識，是數學核心素養形成的表現。

參考文獻：

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[2]高營.高中數學教學中核心素養探究[J].好家長，2017（48）.

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