試論數形結合思想在函數解題技巧中運用的價值

廖瓊

摘 要 數與形是數學知識的兩個基本范疇，在中學數學中，數與形是最基本的兩個對象，它們構成了中學數學知識內容的兩個基礎板塊。把數與形有機地結合起來，可以把數與形這兩大數學知識板塊聯接在一起，形成更為有效的知識體系，并使數與形在更高層次上達到統一，進而顯示數學知識內在的關聯。本文筆者結合自己的教學實踐，就數形結合在解決函數中的技巧提出了幾點具體的探究策略。

關鍵詞 數形結合;初中數學;函數問題;解題技巧;有效策略

中圖分類號：A，O175.9 文獻標識碼：A?????? 文章編號：1002-7661（2019）10-0192-01

“數形結合”是初中數學中的一種重要的思想方法，“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念。數是數量關系的體現，形是空間形式的體現，兩者是對立統一的，我們在探討數量關系時常常借助于圖形直觀地去研究;而在研究圖形時，又常借助于圖形間隱含的數量關系去求解。即將數與形靈活地轉換，運用彼此間的相互聯系和作用，去有效地探求問題的解答，使得整個教學過程更加直觀、更有效。

一、數形結合思想與函數結合運用的必要性

初中數學函數的教學不僅體現的是教師對于知識點的數形轉化能力，同時也是為學生提供接受這些知識儲備。授課教師將數形結合作為教學中的一條主線，將這種思想在數學實踐中應用得更加廣泛，以將抽象的函數數學概念與復雜的數量關系描述得更加形象化和具體化，將函數中的定量分析轉化為數形。并且將數與形的結合在函數間進行靈活的轉換，在擴展學生數學解題思路的同時，也使得教師能夠不斷地更新自己的教學思維。有時候這樣的變化關系，能夠使得我們找到一些解決函數計算問題的新技巧，及時發現計算過程中所遺漏的條件。而學生，則可以巧妙運用這種數形結合分析的能力，進行熟練運用。例如，在一次函數學習中，要讓學生的思想中時刻想著坐標聯系與構造聯系。而這種坐標的聯系是通過建立相應的比較適合方程的坐標系達到函數方程式與圖形的轉化。比如，當涉及y=3x+5或y=x，這樣的形式就是y=kx+b的演變，當b=0時就形成了第二個方程式，也就是過原點的直線。通過這樣的直接聯想，使用恰當的圖像直線聯想與繪圖，從而達到數形的互相轉化。

二、數形結合在函數解題技巧中運用的具體路徑

1.通過數形轉化，提升解題技巧。解題過程就是不斷地將未知轉化為已知的過程，在思維中構造出一種相關的數學對象，一種新的數學形式。“函數及其圖象”是初中數學的一個重要內容，同時也是一個難點內容，有關函數的問題讓許多學生感到畏懼。其實函數與方程、不等式之間有著非常密切的聯系，在解題時要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對應的“數”結合起來，往往會使很多棘手問題迎刃而解，且解法簡捷、獨特。

例1：已知方程x2–2px+10=0有一個根大于1，另一個根小于1，求p的取值范圍。

分析：由二次函數與一元二次方程的關系知：方程x2–2px+10=0的兩個根是拋物線y=x2–2px+10與x軸的兩個交點的橫坐標，因為一根大于1，另一根小于1，所以拋物線與x軸的兩個交點一個在1的左邊，另一個在1的右邊，且開口向上，如圖可知當x=1時，函數值y<0，即12-2p+10<0，故p>5.5。

此解法利用函數圖象的直觀性，把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，化難為易，充分體現了數形結合解題的有效性。綜上來看，該例子是有關函數與不等式、方程的問題，解這類題時要善于將問題中的數與形結合起來進行思考，將抽象思維與形象思維融合在一起，通過“以形助數”“以數解形”的思想策略，揭示出隱含在其內部的幾何背景，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體、直觀化，從而有效地找到解題途徑，同時也能開闊和發展學生的思維。

2.通過數形溝通，培養學生的聯想能力。豐富的聯想是創造性思維的一個基本特點，其基本特征是由當前面臨的事物回想起相關事物并做出判斷。教學時，學生的創造性思維除了源于現實經驗之外，更重要的是需要豐富的數學經驗。而數學經驗又是在教學中不斷進行積累的結果。教學中要重視學生從數學知識中提煉本質的規律，在學生頭腦中形成由定義、定理、公式網絡化構成的數學知識板塊，一旦學生悟透知識的來龍去脈，建立數與形的有效溝通，就具有把數形知識交互聯想的能力，進而使數學思維形成網狀結構。

例2：求方程 =–x2–3x的解的個數。

分析：根據題意很容易把這道題用解分式方程的方式來解決，而實際上對于初中學生來說，這樣的方法是比較麻煩的，實際上這道題可以利用函數的性質和特點來解決，如果y1= ，y2=–x2–3x，當y1=y2時，方程的解就成了這兩個函數的交點，通過畫圖，很快就可以找出解只有1個。所以創造性思維不是僅憑機遇，只有學生在具有相當的基礎和達到一定熟練程度的情況下，才能分析和辨認組成問題的知識組塊，才會有跳躍性的創造性思維。

3.借助數形轉換，培養學生的數學直感。

三、結語

綜上所述，數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。它不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方法，它們互相滲透，相互轉化，使得以代數法研究函數問題，以函數研究代數成為可能，從而有效培養學生的基本解題素質。

參考文獻：

[1]閆玉葉.談初中“數形結合”思想在函數中的運用策略[J].數理化解題研究（初中版），2012（11）：24-25.