數形結合思想在初中數學中的應用

湯石英

【摘要】在數學中，“數”與“形”是兩大研究對象，這兩者在一定條件下是互相聯系，互相結合，互相轉化的。所以在數學教學中，利用數形結合起來解決問題，可以使抽象數學問題簡單化、具體化，讓學生容易理解，從而使解題直觀明了，便于學生解題，提高學生學習興趣及其解題思維能力，從而到達喜人的成效。

【關鍵詞】數形結合；教學；應用

在數學中“數”與“形”是兩大研究對象，這兩者在一定條件下是互相聯系，互相結合，互相轉化的，所以在數學教學中，利用數形結合起來解決問題，可以使抽象數學問題簡單化、具體化，讓學生容易理解，從而使解題直觀明了，便于學生解題，提高學生學習興趣及其解題思維能力。

一、數形結合思想在數學中的意義

數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來。數形結合體現為“形輔助數”和“數輔助形”，而“形輔助數”就是把抽象的數學問題轉化為直觀形象的圖形，從而啟發學生，引導學生找到解題思路；“數輔助形”就是在研究圖形時，利用代數性質解決圖形問題，也就是將抽象的語言和直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化。而初中階段是學生數學思維形成的初期，學生對抽象的問題比較難理解和掌握，所以在初中數學教學中滲透和運用數形結合思想，有利于提升學生空間想象能力和邏輯推理能力，有利學生的形象思維與抽象思維的形成、融合，使學生對學習數學知識深入淺出地、直觀地了解知識的內涵，使抽象的數學知識變得形象生動、直觀具體，使學生感到易學、愛學，從而激發其對數學知識求知欲，調動學習積極性。

二、數形結合思想在解題中的具體應用

基于多年教學實踐和經驗總結，數形結合思想在解題中的具體應用主要體現在以下幾個方面。

1.數形結合思想中“形輔助數”的具體運用

（1）數形結合思想在有理數中的應用

在初中階段，學生剛接觸有理數，如果單單是教師的文字敘述的話，學生就會對有理數的概念及其應用，及相反數、絕對值等都比較難理解。而結合數軸表示有理數，通過數軸能很好地幫助學生理解有理數相關概念，如相反數、絕對值等，并且利用圖形能把知識點直觀化，讓學生通俗易懂，且奠定其解題思路。如對于一些只含字母的有理數大小比較的題目，學生往往容易混淆，如果能利用圖形，就可以把這類題目變抽象為直觀，達到簡化的目的。

例：如下圖所示，數軸上A、B兩點對應的實數分別為a、b，則下列結論不正確的是（ ）

A. a+b> 0 B.a-b<0 C.ab<0 D.

分析：結合圖形， 由題意-1

（2）數形結合思想在不等式組中的應用

在八年級解不等式組教學中，解不等式組是一個難題，尤其是講解不等式組的公共解集時，單文字敘述公共的部分就是這不等式組的解集，學生是很難理解的，什么是公共的部分？而這時結合數形結合的思想，引用數軸，可將兩個不等式解集表示在同一數軸上，這樣就比較形象直觀得出解集的公共部分，即不等式組的解集。

（3）數形結合思想在函數問題中的應用

函數對于初中生來是一個抽象的數學知識，也是重要知識內容。對于函數問題，數形結合思想是一個十分重要的解題手段。利用函數圖像能解決很多函數問題，而且有利于提升學生空間想象能力和邏輯推理能力。

例：對于函數 ，下列說法中，錯誤的是（ ）

A.它的圖象分布在第一、三象限。

B.它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

C.當x﹥0時，y的值隨x的增大而增大。

D.當x﹤0時，y的值隨x的增大而減小。

分析：函數中的k值為13﹥0，所以其圖象分布在第一、三象限，函數值y隨x的增大而減小，且反比例函數圖象都是關于原點對稱的。做此類題目，結合數形結合思想，在熟悉反比例函數的性質基礎上，就能快捷準確地作出正確選擇。

2.數形結合思想在“數輔助形”中的具體運用

（1）數形結合思想在函數中的應用

例：函數 與y=5x+17的函數圖像有交點嗎？如果有，它們交點的坐標是多少？

分析：這題如果讓學生畫圖找交點，既耗時，同時也容易出錯，如果利用數形結合的思想，可以把 與 y=5x+17轉化為兩個二元一次方程 和x-y=-17，然后聯立方程組，通過解方程組的解，而這解就是這兩個函數的交點坐標。

（2）數形結合思想在直角三角形中的應用

如下圖，用儀器測量一棵大樹AB的高度，在C處測得∠ADG=30°，在E處測得∠AFG=60°，CE=8米，儀器高度CD=1.5米，求這棵樹AB的高度（結果保留兩位有效數字， ≈1.732）.分析：這題能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，運用了數形結合思想與方程思想的應用。首先，根據題意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后設AG=x米，GF=y米，則在Rt△AFG與Rt△ADG，利用正切函數，即可求得x與y的關系，解方程組即可求得答案。當然，數形結合的例子還不止這些，但從這些例子，我們更加肯定數形結合在初中階段教學中的重要性，它不僅使學生通俗易懂，而且能調動學生的學習興趣。

三、數形結合思想在實際應用中的成效

本人在從教初中四年間，深深體會到數形結合的重要性，比如，我現在所教的班級，在初一時我在教學時基本是“數”和“形”是分開的，在授課時學生覺得乏味，積極性不高，思維難以跟上老師的教學思路，以致對一些基礎知識點掌握不夠牢固，致使整個班的成績很不理想。在初二時，經過不斷學習別人的教學經驗，特別是采用數形結合思想在教學中的應用，教學中我把這種思想有機滲透和明確陳述結合起來，在考慮對學生進行數學觀念培養的同時，尤為重視數形結合等數學思想在解題中的指導作用，通過這樣學生的學習興趣調動起來了，從要他學轉變我要學、我會學，突出表現為學生空間想象能力和邏輯推理能力提升了，因此解題能抓住條件，思路清晰，很多學生特別是成績中等偏上的學生從解題困難到游刃有余，經過這樣教學方法，我所教的班級成績提升了，從初一平均分50分提升到60多分，特別令人可喜的是，在全國數學“希望杯”比賽中取得較大的突破，有三名學生在全國數學“希望杯”賽中榮獲三等獎。

總之，數形結合思想是一種重要的數學思想，是進行素質教育的需要。教師要進一步注重它的科學性和系統性，把有機滲透和明確陳述結合起來，在考慮對學生進行數學觀念培養的同時，更應該以一種創新的精神，以一種科學、有效的教學方法引導、傳授，就如高度重視數形結合等數學思想在解題中的指導作用，這樣才能在教與學中取得喜人的成效。

參考文獻：

[1]付東峰.中考中的數學思想方法：初中數學（修訂版）[M].龍門書局， 2013.

[2]劉雨智.淺談數形結合在解題中的應用[J].各界（科技與教育），2009.