“正弦定理”(第1課時)教學設計及評析

鄧富鐘 張筱瑋

摘要：文章以“正弦定理”（第1課時）為例，通過數學實驗，融觀察現象、合情推理于數學問題的發現與證明的過程中，設置恰當問題，介紹可行方法，引導學生運用數學式研究發現正弦定理，并完成邏輯證明。在以單元教學設計思想為指導時，始終貫徹《普通高中數學課程標準（2017年版）》所倡導的在課堂教學中注重學科核心素養養成的理念。

關鍵詞：正弦定理;教學設計;核心素養;數學實驗

“正弦定理”（第1課時）完成了“正弦定理”教學設計、課件和微課程制作，在大學教師教育必修課程“中學數學教學設計”課上開展了模擬授課，在合作中完成了實踐教學，收到了預期的教學效果。

一、教學設計說明

依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）的要求，“平面向量及其應用”這一單元的學習，主要包括平面向量的幾何意義和代數意義，平面向量的概念，平面向量的加法、減法、數乘、向量共線定理、平面向量基本定理，以及向量的應用等學習內容，有利于養成和提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數學抽象素養。

本學習單元中“正弦定理”的學習內容，我們以《標準》為指導，以人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5（必修）》（以下統稱“教材”）內容為素材，突出促進數學學業和數學核心素養發展的教育理念，教學設計中以多元智能理論、布魯姆教育目標分類學，以及加涅的教學設計原理為理論基礎。考慮到目前還沒有以《標準》為指導的教材，此學習內容的設計旨在突出“數學發現學習”，采用GeoGebra動態繪圖軟件輔助教學，讓學生可以通過觀察發現正弦定理。

依據《標準》主題三“幾何與代數”，第一單元“平面向量及其應用”，各部分內容的關系如圖1所示。

而依據教材第一章解三角形，各部分內容之間的關系如圖2所示。

二、教學設計實施

1.教學內容分析

“正弦定理”（第1課時）選自教材第一章第一節“正弦定理和余弦定理”。課程安排在三角函數和向量知識之后，既是三角函數知識在三角形中的具體運用，又是初中階段“三角形邊角關系”和“解直角三角形”內容的延續與拓展，更是處理可轉化為三角形計算的其他數學問題，以及生產、生活中實際問題的重要工具。

2.學生學情分析

學生在初中階段已經學習過平面幾何的相關知識，并且能夠熟練地解決直角三角形的問題。在《普通高中課程標準實驗教科書·數學4（必修）》中也剛剛學習過三角函數，因此學生對于本章節的知識內容不會感到陌生，對于知識的理解也不會有很大困難。此時學生已經有了一定的觀察分析能力和解決問題能力，但是在前后知識的串聯和綜合運用上會有一定的困難。創設適應學生學習水平的環境，激發學生的學習興趣，提高學生學習的積極性是教師需要首先考慮的問題。因此，多設置思維引導點，引領學生分析問題、解決問題，注重前后知識之間的聯系，用已有知識解決新問題，形成新的數學認知結構。

3.教學目標確定

（1）從已有三角形知識出發，通過觀察、實驗、猜想、驗證、證明，從特殊到一般得到正弦定理，掌握正弦定理，了解正弦定理的一些推導方法，并學會應用正弦定理解決斜三角形的兩類基本問題。

（2）通過對實際問題的探索，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養學生的縝密思維。

（3）通過自主探究、合作交流，親身體驗數學規律的發現過程，培養學生勇于探索、善于發現、不畏艱難的思維品質和個人素養。

（4）培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角函數、正弦定理等知識之間的聯系，體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

（5）提升學生的直觀想象、邏輯推理、數學建模、數學運算和數學抽象素養。

4.教學重、難點

學習重點：正弦定理的發現、探究，以及兩類基本問題的應用。

學習難點：正弦定理的發現過程及證明。

5.教學過程設計

教師活動呈現的學習情境、提出驅動性問題、學習任務類型;對應學生活動，示范指導學科思想方法，關注課堂生成，糾正思維錯漏，恰當運用評價方式與評價工具持續評價，促進學生學習。

學生活動呈現在真實問題情境中開展學習活動;圍繞完成學習任務開展系列活動，與教學環節對應，學生在“分析任務一設計方案一解決問題一分享交流”中學習，并有實際收獲。

師：我們都知道，在三角形中“大邊對大角”。也就是說，在三角形的內角中，邊越長，它所對的角也就越大。那么，三角形內角與其對邊的這種關系是否存在一種等量關系呢？如果存在，能否用一個等式把這種關系表示出來呢？同學們試結合已學知識探究這個問題。

學生展開交流，三角形內角與其對邊的這種關系會是怎樣的等量關系。

[設計意圖]從以往的“大邊對大角”的定性概念出發，向學生提出問題，引發學生對邊角關系從定性到定量的思考，激發學生的學習興趣。學生也有可能沒辦法說出準確的定量關系，但是會在學生的思維中播下一顆種子，讓學生帶著問題有目的地進行后續的學習。

師：研究問題常常從特殊情況入手，你們也可以試著從特殊三角形入手。

生1：在正三角形中，三邊等長，三個角等值，其他三角形中沒有這樣的邊角關系。

[設計意圖]啟發學生運用特殊到一般的思想，嘗試從特殊三角形入手。雖然能看出一些微妙的關系，但是仍然不能完全解決問題，學生可能會自發地對三角形的邊角關系提出疑問，從而進一步激發學生的學習興趣。

師：同學們想一想，在一個特殊的直角三角形中，邊和角會有怎樣的關系？例如，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，設邊長分別為AB=2，BC=1，AC=3。此時，邊與其對角有沒有等量關系？若有，其等量關系是什么？

生2：∠B的大小是∠4的兩倍，邊AB也是邊BC的兩倍，但是∠B和∠C卻不是這樣的關系，因此肯定不是角與邊直接的倍數關系，那么又是什么樣的等量關系呢？

[設計意圖]對于一個給定數據的三角形進行分析之后，發現邊和角并沒有統一的直接倍數關系，教師進一步設疑，為引出三角函數做鋪墊。

問題3：某國巡邏艇A正在領海內執行巡邏任務，發現其正東處有一不明國籍的艦船B在本國領海內正以30海里/時的速度朝正北方向航行，決定向其發射預警魚雷。已知魚雷的速度為60海里/時，問怎樣確定發射角度可擊中敵艦？如果其他條件不變，劃線部分改為該艦船朝北偏西40°方向航行，此時，我方又應該如何確定發射角度可擊中敵艦？

三、設計思想解析

1.突出單元設計思想，任務化學習活動

教學設計突出學生學習的主體地位，依據《標準》要求突出單元和課時學習對學生發展的價值，設計情境化、任務化的學習活動，在教師的引導、指導和服務下，增強學生學習過程的體驗性、實踐性和整體性。

正弦定理是對任意三角形邊角關系進行量化分析的結果，從直角三角形的邊角關系推導出正弦定理的一般形式。

本節課教師精心設計了符合學生認知規律的探究過程，從特殊三角形到給定數據的三角形，再到任意的三角形，從已知到未知逐漸深入。對實驗數據的分析對比和在對正弦定理的證明環節，教師通過提示和提問，啟發學生自發思考應該采取的證明方法，使學生的邏輯推理核心素養得到發展。

在知識結構建構初期，從特殊到一般研究了一些特殊三角形的邊角關系。在這個過程中，教師讓學生親自動手計算，通過自己的實際操作得到結果，既培養了學生的數學運算核心素養，又能讓學生感受到數學的邏輯美。

在對銳角三角形、鈍角三角形，以及任意三角形是否符合正弦定理的探究過程中，教師利用GeoGebra動態繪圖軟件，分別繪制了能夠精確反映三角形的邊、角，以及角的正弦關系的軟件。數學實驗輔助課堂教學，實現了現代信息技術與數學課堂的深度融合，對于學生直觀想象核心素養的培養具有積極的促進作用。

通過不斷啟發學生回顧曾經學過的相關內容和掌握的解決問題方法，啟發學生自發思考找到能夠解決問題的正確方法，培養學生在面對困難時，充分分析已有的知識和手段，推理出對未知事物的有效探索方法的學習習慣。

2.運用GeoGebra動態繪圖軟件設計數學實驗

數學教學軟件多種多樣，如適合高中數學教學的軟件有GeoGebra動態繪圖軟件、幾何畫板軟件、Z+Z超級畫板和Hawgent等。本節課設計中教師使用的是GeoGebra動態繪圖軟件，其優于幾何畫板軟件的性能，可以更好地服務于本節課的教學。GeoGebra動態繪圖軟件能夠實時對三角形的角和邊進行測量，結合清晰的設計形式，非常有利于學生進行觀察、對比，從而得出結論。這款數學教學軟件是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數學教授Markus Hohenwarter于2001年設計開發的免費開源的動態數學教學軟件。

3.教學設計、課堂實施和學業評價保持一致性

本節課在對單元教學解讀的基礎上，通過課堂教學過程設計，啟發、引導學生參與課堂活動，完成對正弦定理發現、求證的過程。

作業與拓展學習中的問題具有層次性，逐漸深入，有利于檢測學習者當前的學習水平。特別是問題3是應用題，學生需要通過閱讀，捕捉解決問題的關鍵信息，經過“邏輯推理和直觀想象”正確畫圖，通過數學抽象，完成數學建模，通過數學運算解決問題，體現了在數學課堂教學活動中培養學生學科核心素養的目的。

基金項目：國家級大學生創新創業訓練計劃資助項目——中學數學創新實驗設計（201810065026）。