反思數(shù)學(xué)解題過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

黃小娟 王琳

摘要：隨著新課改的不斷深入，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為教學(xué)的首要任務(wù)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)占有重要地位，如何在反思解題過程中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是每位數(shù)學(xué)教師都要考慮的問題。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)?解題過程?反思

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，經(jīng)常會遇到這樣的現(xiàn)象：有些學(xué)生雖然做了大量的練習(xí)題，但是數(shù)學(xué)成績卻難以提升。對此，學(xué)生和家長都很苦惱。許多學(xué)生認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵就是要多做題，但在注重做題的數(shù)量時卻忽視了解題的質(zhì)量。如何才能提高解題質(zhì)量呢？數(shù)學(xué)家波利亞在其著作《怎樣解題》中指出，數(shù)學(xué)解題過程分以下四個步驟：審題→探索→表達(dá)→反思。很多學(xué)生解題只完成了前三步，即理解題意、找到解題方法、寫出解答，就認(rèn)為已經(jīng)完成了練習(xí)任務(wù)，并快速進(jìn)入到下一道練習(xí)題中，如此往復(fù)，很少再回過頭來對自己的解題過程進(jìn)行深刻反思。事實(shí)上，反思是數(shù)學(xué)解題過程中一個必不可少的重要環(huán)節(jié)，從某種程度上說，它比前三階段更為重要。反思既是對解題過程的深入思考，也是進(jìn)一步深化、整理和提高的思維過程，更是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最重要的部分，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根基所在。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生沒有正確認(rèn)識解題的真正目的，把解題單純看作是為了得到答案而進(jìn)行的認(rèn)知活動，缺乏對解題過程的反思能力，沒有深入理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，沒有掌握正確的數(shù)學(xué)思維方法。作為一名數(shù)學(xué)教師，我們必須讓學(xué)生認(rèn)識到反思在解題過程中的重要性，讓他們學(xué)會主動、積極反思。下面結(jié)合幾道高中數(shù)學(xué)題從三個方面來具體闡述如何進(jìn)行反思。

一、反思解題思路的靈活性與創(chuàng)造性

拿到一個數(shù)學(xué)題目，首先很自然地需要對題目給出的條件進(jìn)行全面分析，挖掘潛在信息，這樣才能找到問題解決的思路。

例1?已知函數(shù)f（x）（x∈R）可導(dǎo)，且f（x）<f′（x）及f（x）>0對任意的x∈R恒成立，試比較f（2010）與e2010f（0）的大小。

從題目條件來看，這應(yīng)該是考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個題目，但是如果局限于題目中的函數(shù)f（x），往往很難與要比較大小的兩個式子聯(lián)系起來。再觀察已知條件，會發(fā)現(xiàn)“f（x）<f′（x）及f（x）>0”可以變形為f′（x）f（x）-1>0，其中f′（x）f（x）-1是函數(shù)F（x）=lnf（x）-x的導(dǎo)數(shù)，由此可以得出函數(shù)F（x）在R上是單調(diào)遞增的，那么F（2010）>F（0）。有了這個結(jié)論之后，離問題的解決也就不遠(yuǎn)了。做完此題，我們再來反思這道題的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)F（x）是一個極其重要的突破口，是解題的關(guān)鍵。也許學(xué)生會說“這題解法太巧了，太難想到了”，但是在處理一些看似棘手的數(shù)學(xué)問題時， 經(jīng)常需要通過適當(dāng)?shù)淖冃闻c構(gòu)造，借助于“輔助函數(shù)”的方法來解決。

例2?若a、b、c成等差數(shù)列，求直線ax+by+c=0被橢圓x22+y28=1截得的線段中點(diǎn)的軌跡方程。

學(xué)生第一印象是這道題要用代數(shù)法韋達(dá)定理來做，可是在做的過程中會發(fā)現(xiàn)參數(shù)很多，化簡相當(dāng)復(fù)雜，于是有的同學(xué)很快就做不下去了。其實(shí)我們可以仔細(xì)觀察已知條件，由等差數(shù)列易知a-2b+c=0，即直線ax+by+c=0恒過定點(diǎn)（1，-2），而點(diǎn)（1，-2）恰好也在橢圓上，這樣一來問題就簡單化了。從上面可以看到反思題設(shè)的條件是找到正確解題方法的關(guān)鍵。

二、反思解題過程的條理性與規(guī)范性

在平時的教學(xué)過程中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)：有的學(xué)生在解題過程的書寫能力上非常欠缺，導(dǎo)致“懂而不會、會而不對、對而不全”;面對問題時感覺都似曾相識，但要自己獨(dú)立表達(dá)的時候卻不知道怎么下筆;寫出來的過程往往沒有條理，分析法和綜合法并用，條件和結(jié)論倒置等，有的甚至邏輯都是錯誤的。數(shù)學(xué)大師華羅庚曾教育中學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)上要做到“想得清楚、說得明白、寫得干凈”。因此，我們應(yīng)在平時解題時就注意解題的條理性。

例3?某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為45、35、25，且各輪問題能否正確回答互不影響.求該選手被淘汰的概率.

這道題是一道高考概率題，屬于較易題，但是很多考生在做題的時候都只是給出幾個概率，就直接得到答案，結(jié)果得分很低，主要原因就是書寫沒有條理，答題不夠規(guī)范。

那么，如何有條理地表達(dá)解題的過程呢？首先，要從語言方面打基礎(chǔ)。部分同學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)問題的解決只要用數(shù)學(xué)符號表達(dá)就可以了，因此整個題目寫下來一個文字也沒有。實(shí)際上，數(shù)學(xué)問題的完整表述常常離不開符號語言、圖形語言、文字語言。表達(dá)是否規(guī)范、有條理，能準(zhǔn)確地反映出學(xué)生對該知識點(diǎn)的理解是否正確、程度是否深入。尤其是隨著學(xué)習(xí)的深入，很多數(shù)學(xué)問題都是綜合性問題，往往考查多個知識點(diǎn)和多種數(shù)學(xué)思想方法，如果沒有規(guī)范和有條理的解題過程，容易中途出錯，從而無法解決問題。因此，規(guī)范、有條理的書寫，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力和邏輯推理能力。

其次，在解題過程中要注意規(guī)范解題，這不僅僅是就考試而言，在平時作業(yè)中更要重視。由于各方面的壓力，學(xué)生往往會被要求做很多的訓(xùn)練題，教師則忙于批改大量的作業(yè)，往往只看學(xué)生答案正確與否，忽略了學(xué)生的解題過程是否規(guī)范和有條理。在這樣的惡性循環(huán)下，學(xué)生和教師都苦不堪言，而且收獲也很少。實(shí)際上，教師在批改作業(yè)的過程中可以捕捉到學(xué)生的思維痕跡，了解學(xué)生在解答作業(yè)中思維的水平與質(zhì)量，發(fā)現(xiàn)其中的問題。有的作業(yè)答案是對的，但是解題過程在推導(dǎo)、分析等方面有一定的不足，如果是考試，這種解題過程往往是要扣分的，這時如果教師直接判“對”就不合理了，而且容易誤導(dǎo)學(xué)生，讓他們覺得自己的解題過程是沒有問題的。所以，教師在處理學(xué)生的作業(yè)要更加合理、科學(xué)。我們可以開展作業(yè)、試卷規(guī)范解題和不規(guī)范解題的展示活動，樹立榜樣、形成反差，還可以讓學(xué)生評講作業(yè)、板書解題過程，在比較中讓學(xué)生學(xué)會如何規(guī)范、有條理地表達(dá)數(shù)學(xué)解題過程。這樣，學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中就會注意培養(yǎng)解題過程的條理性，解題能力自然也會越來越強(qiáng)。

三、反思解題過程的完整性與簡潔性

例5?在△OAB中，點(diǎn)A（2，1），B（3，0），O為原點(diǎn)點(diǎn)E在射線OB上自O(shè)開始向右移動，設(shè)OE=x，過E作OB的垂線l，記△OAB在直線l左邊部分的面積為S，試寫出直線l左邊部分的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式。

一位學(xué)生的解題過程是這樣的：

這是高一第一單元測試的一道試題，主要考查分段函數(shù)的解析式的求法，同時也是一道應(yīng)用題，考查對實(shí)際問題的分析能力。從某種程度上來說，這位同學(xué)是直接給出了正確答案，但是作為一道解答題，光知道答案是不夠的，關(guān)鍵是要表達(dá)解題過程，通俗一點(diǎn)說就是把你的所想所知用數(shù)學(xué)的語言表述出來。首先這個表述應(yīng)該是完整的，也就是每一步的推導(dǎo)過程能夠從你的解題過程中看到;其次這個表述必須簡潔，因?yàn)樵嚲淼陌婷媸怯邢薜摹Ｗ鳛楦咭坏膶W(xué)生，他們往往欠缺這樣的能力。那么，如何讓答題表述完整而又簡潔呢？可以參照解題過程：

解：由題意知△OAB在直線l左邊部分的圖形因點(diǎn)E位置的不同而不同，因此面積S與x的關(guān)系式要分類討論。

將該名學(xué)生的解答過程與規(guī)范解答過程進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的解答過程很明顯欠缺完整性。完整的解題過程是解題思維的語言表達(dá)，讀者通過解題過程可以清楚地了解這道題的解題思路是什么、用了什么解題方法、做了哪些數(shù)學(xué)計(jì)算。解決了解題過程的完整性問題外，我們還要注意解題過程的簡潔性，即解題過程的每一步都是必要的，沒有重復(fù)的說明，沒有啰唆的語言表述，只有這樣才符合數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而簡潔的特點(diǎn)。

眾所周知，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)永遠(yuǎn)離不開解題。解題訓(xùn)練可以加深學(xué)生對知識要點(diǎn)的理解，提高他們分析、解決問題的能力。但這并不意味著解題越多，數(shù)學(xué)能力就越強(qiáng)。很多成績優(yōu)秀的學(xué)生都有這樣的共識：做題不在多而在精。“精”是透徹、明白，真正透徹理解和掌握問題的結(jié)構(gòu)和本質(zhì);“精”是掌握解題的規(guī)律，能夠?qū)栴}提升到“一題多解”和“多題一解”的認(rèn)識高度。“學(xué)而不思則罔”，只有通過反思，才能真正挖掘和體現(xiàn)解題的價值，才能做到“精”而“不罔”，才能使數(shù)學(xué)思維的水平上升到一個新的高度，才能形成良好的思維品質(zhì)和科學(xué)的思維方式，才能真正地培養(yǎng)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，使學(xué)生終身受益。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：黃大燦