一題多解與多題歸一

郭魏麗

【摘要】初中數學課本里的習題是專家們經過反復推敲和琢磨選定的，這些題目充分體現了基礎教育課程標準的精神和數學學科的核心素養，蘊含著數學思想的典型性、示范性，題目本身具有很強的遷移性。本文對2018年廣州市中考題里的其中一道題進行深入研究，結合課本中的習題，進行一題多解、多題歸一的分析。

【關鍵詞】課本習題；初中數學；一題多解

課本中的一些典型習題是命題專家們青睞的對象，通過對題目的條件、圖形、提問方式等改編，可以衍變出豐富多樣的題目。但在信息技術推動的多媒體教學環境下，教師經常直接用課件和課堂學案代替課本內容，導致學生也忽略了課本的重要性。這樣舍本逐末的教法和學法，對中考備考的系統復習是很不利的。筆者認為，教師在教學中應引導學生重視課本的例題和習題，對習題進行不同角度的改編、拓展和延伸，充分發揮這些題目的示范作用。下面結合2018年廣州市中考第23題中的第二問和課本上與之相關的習題，探討一題多解與多解歸一、一題多變與多題歸一的問題。

一、鏈接中考，一題多解與多解歸一

題目：在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB+CD（見圖1）。

（1）利用尺規作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件證明：AE⊥DE。

第一問省略，第二問解題思路如下：

方法一：利用平行線的性質與判定、全等三角形的性質與判定、等腰三角形三線合一等知識。

證明：延長DE、AB交于點F（見圖2）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵∠B=∠C=90°

∴CD∥AB

∴∠CDF=∠F，∠ADF=∠F

∴AD=AF

∵AF=AB+BF，AD=AB+CD

∴CD=BF

∵在△CDE與△BFE中，CD=BF，∠EBF=∠C=90°，∠DEC=∠FEB

△CDE≌△BFE（AAS）

DE=FE，又△ADF為等腰三角形

AE⊥DE

運用方法一解題時，有些學生審題不清，沒有系統理解知識的內在聯系，導致出錯。例如：延長AB，在AB上截取BF=DC，連接EF，默認點D、點E、點F三點共線，直接證△CDE≌△BFE；默認CE=BE；錯誤利用等腰三角形的三線合一等。

方法二：利用截長補短、全等三角形的性質與判定、角平分線的性質、平角為180°等知識。

證明：在AD上截取點F，使DF=DC（見圖3）（注：在AD上截取點F，使AF=AB亦可）

∵DE平分∠ADC，∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE

∴△FED≌△CDE（SAS）

∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°，∠DEF=∠DEC

∵AD=AB+DC=AF+DF，且DF=DC

∴AF=AB

∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）

∴∠AEB=∠AEF

∴∠AED= ∠AEF+ ∠DEF=∠CEF+∠BEF

∴AE⊥DE

這里截長補短有兩種方式，選擇在AD上截取DF=DC的方法可以直接得到△FED與△CDE全等的條件，不容易走入誤區；選擇在AD上截取AF=AB，不能直接證△AFE與Rt△ABE全等，要先由AD=AB+DC這個條件，得到DF=DC，證明△FED與△CDE全等，得到EC=EF，再證△AFE與Rt△ABE全等，這樣證明比較復雜，也容易出錯。

方法三：利用直角三角形的性質與判定、角平分線的性質與判定、平行線的性質與判定等知識。

證明：作EF⊥AD交AD于點F（見圖4）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵在△FED和△CDE中，DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF

∴△FED≌△CDE（AAS）

∴DC=DF

∵AD=AB+DC=AF+DF

∴AF=AB

∵在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，AF=AB

∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）

∴∠FAE=∠BAE

∵∠B=∠C=90°

∴∠B+∠C=180°

∴AB//CD

∴∠CDA+∠DAB=180°

∴∠ADE+∠EAD= ∠CDA+ ∠DAB=90°

∴∠AED=180-（∠ADE+∠EAD）=90°

∴AE⊥DE

運用方法三解題時，部分學生誤用了角平分線的性質定理，沒有抓住“一分兩垂得線等”的關鍵是確定誰是角平分線上的點，錯誤地認為可以直接得到DC=DF；有些學生把EF=EB=EC當做已知條件用，但卻并沒有證明。

以上三種解法中發現，輔助線做法不同，過程難易程度也不盡相同，但本題的核心考點仍然是全等三角形的性質與判定，關鍵的思路是構造全等三角形。

下面來看一下課本上通過改變已知條件、圖形、設問方式等延伸出來的與上題相似的題目。

二、重視課本，一題多變與多題歸一

題目一（人教版8年級上冊P52第7題）：已知∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AE是∠DAB的平分線。

證明：作EF⊥AD交AD于點F（見圖5）

∵DE平分∠ADC

∴∠CDF=∠ADF

∵在△FED和△CDE中，

DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF

∴△FED≌△CDE（AAS）

∴EC=EF

∵點E是BC的中點

∴EC=EB

∴EF=EB

∵∠B=∠AFE=90°，在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，EF=EB

∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）

∴∠FAE=∠BAE

∴AE是∠DAB的平分線

本題的圖形跟上題一樣，都是直角梯形模型，本題將上題中的已知條件AD=AB+CD變成了E是BC的中點，這樣線段之間的相等關系更容易找到，實際上降低了題目的難度，解決本題的關鍵也是構造全等三角形。另外本題還可以改編成求證：AD=AB+CD，方法和思路同上。

題目二 （人教版9年級上冊102第11題）：如圖6，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的長。

證明：連接OE，OF，OG（見圖6）

∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F，G

∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD

∵OE=OF，OE⊥AB，OF⊥BC

∴BO是∠ABC的平分線

∴∠OBE=∠OBF

同理可證∠OCG=∠OCF

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠OBF+∠OCF=90°

∴OB⊥OC

∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm

∴ cm

本題將直角梯形和圓結合在一起，圖形看上去相對復雜，但只是將上題中的直角條件以圓的切線的形式呈現，實質上，解題思路跟上題類似，關鍵還是證明OB⊥OC。

三、研究課本習題對教學的啟示

第一，關注教材，充分發揮教材中題目的示范作用。課本是體現數學學科核心素養的直接載體，在教學實踐中，教師要創造性地運用課本，重視課本中具有代表性的習題或例題——它們是中考命題的參考，既有知識的堅守又有考點的創新，所提供的解題策略是求解同類問題的重要模型。在教學中，教師應深入研究課本，充分發揮教材中題目的示范作用。

第二，關注學生，注重培養學生分析問題和解決問題的能力。對課本中典型例題和習題的研究是中考復習的一個重要環節，教師可以通過引導學生改變題目中的條件、結論、圖形等進行變式教學，讓學生的思維活躍起來，不斷強化學生對知識和方法的理解，引領學生進行多角度、多層次的思考，提高學生分析問題和解決問題的能力。與此同時，教師也要不斷地學習，提高自身的綜合業務能力，為學生的數學學習保駕護航。

第三，關注方法，培養學生一題多解和多題歸一的數學思維。一道好題的解題方法和出題方式往往千變萬化，但歸根結底是萬變不離其宗。求“變”可培養學生思維的靈活性和敏捷性，追“宗”可培養學生思維的深刻性和嚴謹性。通過對核心知識的歸納和整理，學生將所學的知識與技能“由厚到薄”，使知識結構更系統化。因此，教師要引導學生在學習中不斷總結做題的方法和技巧，學生只有認清題目本質、理解題目內涵，才能真正地學會數學、學好數學。

參考文獻：

[1]池旭.一題多解尋求多種解題方法[J].中學數學，2016（3）：70-72.

[2]張寧.一道課本習題在中考中的堅守與創新[J].數理化學習（初中版），2017（7）：15-18.