借助幾何直觀以促進(jìn)算理算法有效融合的實(shí)踐與思考

鄧瓊

摘要：幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，它在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用，在計(jì)算教學(xué)中也不例外。筆者以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法（不進(jìn)位）”為研究案例，借助幾何直觀，幫助學(xué)生理解抽象的算理，讓學(xué)生清楚感受到“法中見理，理中得法，理法相融”，從而提高學(xué)生的計(jì)算能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;算理;算法

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要內(nèi)容之一，而在目前的計(jì)算教學(xué)中，常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：注重算法，忽視算理的理解。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了計(jì)算的過(guò)程后，總結(jié)出算法，然后圍繞計(jì)算方法反復(fù)操練，以提高學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率和計(jì)算速度。那么，在計(jì)算教學(xué)中怎樣處理算法和算理的關(guān)系呢？在本文中，筆者結(jié)合幾何直觀就如何使學(xué)生對(duì)算理與算法進(jìn)行有效融合做了相關(guān)探究。

一、幾何直觀的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于學(xué)生探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。”當(dāng)計(jì)算教學(xué)遇上幾何直觀時(shí)，抽象的算理有直觀形象作支撐，幫助學(xué)生理解算法，理法并舉，將計(jì)算教學(xué)落到實(shí)處，從而提高學(xué)生的計(jì)算能力。

二、算理算法相結(jié)合的重要性

算理，從字面上理解，即計(jì)算的道理或原理，主要解決“為什么這樣算”的問(wèn)題。它是計(jì)算的理論依據(jù)，是計(jì)算的靈魂。算法是說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中的規(guī)則和邏輯順序，它通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定，主要解決“怎么算”的問(wèn)題。算理和算法是相輔相成、缺一不可的。如果學(xué)生只理解算理，沒有提煉出算法，就無(wú)法正確計(jì)算，無(wú)法確保實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力的最低要求。如果學(xué)生只知道怎樣算，不知道為什么這樣算，那充其量只是搬弄數(shù)字的操作技能。

三、借助幾何直觀，“法”中見“理”

算理是隱性的，教師可以借助幾何直觀凸顯出來(lái)。例如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位筆算乘法”的教學(xué)，在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師不使用點(diǎn)子圖，先講解算理、算法，教會(huì)學(xué)生算法，然后用更多的練習(xí)來(lái)鞏固算法。而新教材中增加了用點(diǎn)子圖的編排，其依據(jù)是基于學(xué)生這一階段的認(rèn)知規(guī)律。小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生仍以形象思維為主，需要有較多的動(dòng)手操作和直觀表象作為支撐，通過(guò)數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)他們理解算理、掌握算法。而在“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)中，如何使隱性的算理凸顯出來(lái)呢？顯然點(diǎn)子圖這個(gè)直觀模型為算法算理搭建起了橋梁，能將它們聯(lián)結(jié)起來(lái)。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能直接計(jì)算14×12時(shí)，教師適時(shí)引出點(diǎn)子圖，學(xué)生利用點(diǎn)子圖進(jìn)行“拆數(shù)”。在此活動(dòng)中，具有不同經(jīng)驗(yàn)層次的學(xué)生有不同的分法：

方法1：把點(diǎn)子圖豎著平均分成2份，也就是把12分成6和6，先算14×6=84，這就算到了上面的個(gè)數(shù);然后用84×2=168就算到總的個(gè)數(shù)了。（如圖1）方法2：把點(diǎn)子圖豎著平均分成3份，也就是把12分成4、4和4，先算14×4=56，這就算到了上面的個(gè)數(shù);然后用56×3=168就算到總的個(gè)數(shù)了。（如圖2）

方法3：我把12分成10和2，先算14×10=140，就是上面這10行的個(gè)數(shù);再算14×2=28，就是下面這兩行的個(gè)數(shù);最后算140+28=168，就是總共的個(gè)數(shù)了。（如圖3）

方法4：一行有14個(gè)，把14分成10和4，先算12×10=120，就是左邊這10列的個(gè)數(shù);再算12×4=48，就是右邊這兩列的個(gè)數(shù);最后算120+48=168，就是總共的個(gè)數(shù)了。（如圖4）

學(xué)生在點(diǎn)子圖的圈一圈、分一分、算一算等數(shù)學(xué)活動(dòng)中體現(xiàn)了思考的過(guò)程，都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)或一位數(shù)乘一位數(shù)得到計(jì)算結(jié)果。學(xué)生能通過(guò)點(diǎn)子圖解釋自己的算法，明白算理，充分感受算理的直觀化和算法的多樣化。盡管學(xué)生計(jì)算的方法不完全相同，但無(wú)非是采取了“先分后合”的思路，這一點(diǎn)恰恰就是乘法豎式計(jì)算的基本思路。因此，學(xué)生能在直觀的模型中“法”中見“理”，從而有力促進(jìn)了學(xué)生對(duì)算理的理解和建構(gòu)。

四、借助幾何直觀，“理”中得“法”，“理”“法”相融

借助幾何直觀，學(xué)生既可以“法”中見“理”，又可以“理”中得“法”，“理”“法”相融。在計(jì)算14×12時(shí)，學(xué)生利用點(diǎn)子圖都能計(jì)算出正確結(jié)果。當(dāng)學(xué)生在全班交流后發(fā)現(xiàn)，把12拆成10和2的和這種算法，是和14×12的筆算乘法豎式格式相一致的。結(jié)合點(diǎn)子圖，學(xué)生能直觀地看出，可以先算2個(gè)14，即2×14=28，和豎式中第一次的積相一致;再算10個(gè)14，即10×14=140，和豎式中第二次的積相一致;最后算140+28=168，和豎式中最后一步算出兩次積的和相一致。點(diǎn)子圖與筆算的豎式相結(jié)合，溝通圖形表征、算式表征與計(jì)算方法之間的聯(lián)系。學(xué)生不但可以直觀地感知豎式中的每一步計(jì)算結(jié)果表示的含義，歸納出計(jì)算方法，而且讓學(xué)生清楚地感受到“法中見理，理中得法，”實(shí)現(xiàn)了算理與算法的有效融合。

算理、算法是運(yùn)算能力的一體兩翼，尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢。在教學(xué)中，教師可以借助幾何直觀具體的、直觀的“形”，在算理和算法之間架起一座互通的橋梁，促進(jìn)學(xué)生明算理，“法”中見“理”，又可以“理”中得“法”，“理”“法”相融，從而真正提高學(xué)生的運(yùn)算能力。