數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用解析

臧玉權(quán)

摘要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)和解題的過(guò)程中逐步樹(shù)立數(shù)學(xué)思維并提高數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，其中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法有相當(dāng)密切的關(guān)系，同時(shí)數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的養(yǎng)成也有重大影響。數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常用方法，其能夠簡(jiǎn)化復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)公式，在解決高中數(shù)學(xué)的各類(lèi)題型中均能夠發(fā)揮相當(dāng)?shù)淖饔谩?shù)學(xué)歸納法在解答或證明數(shù)列、不等式和函數(shù)等方面的問(wèn)題中得到了最廣泛的運(yùn)用，學(xué)生能夠在完成題目的過(guò)程中培養(yǎng)自身的觀察題目、分析題意、歸納有效信息及合情推理的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法;高中數(shù)學(xué);應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2019）02-0237-01

1.前言

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多題目都與自然數(shù)有關(guān)，因此在解題過(guò)程中數(shù)學(xué)歸納法得到了較多的運(yùn)用。數(shù)學(xué)歸納法不僅是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，難度也相對(duì)比較大，因此也是常考的考點(diǎn)。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的概念及運(yùn)用時(shí)，應(yīng)當(dāng)對(duì)其應(yīng)用方式進(jìn)行仔細(xì)深入的探究和討論，熟練地掌握數(shù)學(xué)歸納法能夠大幅度提升其數(shù)學(xué)成績(jī)，也能在一定程度上降低數(shù)學(xué)習(xí)題處理的難度，從而給予學(xué)生充分的信心和熱情。在如今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師大多將數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列相關(guān)問(wèn)題相聯(lián)系來(lái)進(jìn)行講授，但其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此，其在解答或證明恒等式、不等式、函數(shù)和幾何等方面的問(wèn)題中也能夠發(fā)揮很大的作用。

2.數(shù)學(xué)歸納法的概念

數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題是否在某個(gè)自然數(shù)范圍內(nèi)成立等類(lèi)似命題，除此之外，數(shù)學(xué)歸納法還可以被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)定理證明中。數(shù)學(xué)的解題思路往往不止一條，因此在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，如果采用不同的證明方式，所得出的結(jié)論也可能會(huì)存在一定的差異。而數(shù)學(xué)歸納推理方法比較嚴(yán)謹(jǐn)，通過(guò)歸納已知信息得出普遍規(guī)律的方式能夠大幅度提高結(jié)論的準(zhǔn)確性和科學(xué)性，因此其一般被應(yīng)用于與自然數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)題目中，比如證明等式、不等式和函數(shù)的成立等。

3.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用步驟

3.1將其應(yīng)用于常數(shù)命題證明中

在數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，如果能夠證明命題在某個(gè)常數(shù)條件下成立，則說(shuō)明該命題在其他特殊情況下也應(yīng)當(dāng)成立，從而得出相關(guān)結(jié)論。這是證明題中比較常見(jiàn)的方法之一，既能夠得出準(zhǔn)確結(jié)論，又能夠大幅度節(jié)省推算和演算的時(shí)間，提高解題效率。在具體的解題過(guò)程中，往往將1作為起點(diǎn)。

3.2將其應(yīng)用于任意常數(shù)證明中

對(duì)任意常數(shù)條件運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明這一步驟的成功與否會(huì)對(duì)命題的結(jié)論得出起到至關(guān)重要的作用。一般情況下，可以采用未知數(shù)k來(lái)表示任意常數(shù)。首先證明命題在n=k的基礎(chǔ)上成立，然后逐步推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1、n=k+2等情況下命題依然成立，即可證明整個(gè)命題是成立的，反之亦然。這一步驟是命題證明中的關(guān)鍵步驟，影響了證明結(jié)果的科學(xué)性。在使用數(shù)學(xué)歸納分析的方法時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先從特殊情況開(kāi)始討論，再討論一般情況，最終證明命題正確與否。

值得注意的是，以上步驟的第一步較為簡(jiǎn)單，第二步難度較大，但第二步的完成與否將對(duì)整個(gè)證明過(guò)程產(chǎn)生更加重大的影響。

4.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的作用

4.1幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)思路，樹(shù)立數(shù)學(xué)思維

教師在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)該明確歸納法的使用方法，從而能夠幫助學(xué)生梳理解題思路。眾所周知，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí)，歸納步驟無(wú)疑是非常重要的，其中合理歸納是歸納步驟中最基本、最重要的原則，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)遵循該原則，逐漸掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的正確步驟。對(duì)于目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況來(lái)說(shuō)，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題有兩個(gè)基本類(lèi)型：一是能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的。在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常是通過(guò)適當(dāng)變換等式或不等式來(lái)完成證明證明的;二是不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來(lái)證明的。這類(lèi)命題在解題時(shí)，現(xiàn)有的條件無(wú)法直接支持歸納假設(shè)的步驟，一般需要重新為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件。其具體方法是：先將n=k+1帶人需要證明的命題，然后再將新得的表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，這種論證題目需要學(xué)生全面分析題目，對(duì)已知條件做全面的解讀和歸納，有利于學(xué)生找到適合的解題思路，并促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

4.2有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，很多知識(shí)都需要先進(jìn)行論證才能更好地加以運(yùn)用。例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列相關(guān)的知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)先帶領(lǐng)學(xué)生尋找數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行歸納和總結(jié)，在歸納過(guò)程中，學(xué)生的思維能夠得到充分的調(diào)動(dòng)，從而能夠在一定程度上提升了了學(xué)生的自主探索意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)歸納法證明數(shù)學(xué)題目，能夠讓學(xué)生在對(duì)不同的證明題尋找不同規(guī)律的過(guò)程中提起興趣，進(jìn)而更加熟練地掌握歸納總結(jié)規(guī)律的方法，從而提高學(xué)生的實(shí)踐能力和靈活運(yùn)用解題方法的能力。

4.3活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會(huì)存在一定的精神壓力，認(rèn)為學(xué)習(xí)內(nèi)容比較困難且學(xué)習(xí)進(jìn)度比較緊張，若課堂氛圍沉悶，則會(huì)進(jìn)一步抑制學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法能夠與情景教學(xué)法、多媒體教學(xué)法等新式教學(xué)法相結(jié)合，脫離傳統(tǒng)的板書(shū)式教學(xué)法的限制，從而能夠讓學(xué)生的心態(tài)更加放松，也更容易集中其注意力，提高學(xué)習(xí)效率的同時(shí)激發(fā)其對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，對(duì)其未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益。

5.結(jié)語(yǔ)

綜上所述，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)觀察、合理猜想、歸納整理、抽象概括、證明是有效解決問(wèn)題的重要途徑，也是正確解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的必經(jīng)之路。因此，高中生應(yīng)當(dāng)熟練掌握數(shù)學(xué)歸納的方法，這對(duì)于其在解決高中階段的大多數(shù)證明題都能夠起到事半功倍的效果。從解題過(guò)程看，數(shù)學(xué)歸納法能夠節(jié)省時(shí)間、提高效率，也能夠提升解題的準(zhǔn)確性;從數(shù)學(xué)思維看，數(shù)學(xué)歸納法更能夠激活學(xué)生的自主思考能力，從而有助于其培養(yǎng)清晰的邏輯思維。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師有必要對(duì)數(shù)學(xué)歸納法做詳細(xì)的講解，并引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握其運(yùn)用方法。