小格子大智慧

王紅芳 邵森弟

摘 要：文章根據方格圖在教學中的使用現狀，分析方格圖在教材體系中的編排與分布，剖析方格圖的外在特征和內在本質。論述了方格圖在教學中的具體運用，數格子，自然建構方法與思想;擺格子，無痕鏈接操作與概念;畫格子，無形融合算理與圖形;算格子，無縫對接經典與創新。最后，文章列舉了格子圖在教學中的三個注意點，以期完美使用格子圖，提升教法學法，發展學生思維。

關鍵詞：方格圖;操作實驗;幾何直觀

在日常教學實踐中，學生們認為數方格是笨方法，對這種方法不屑一顧，甚至老師們也認為這是一種低層次的思維活動。筆者在以往的教學中，也忽略了方格圖的編寫意圖，忽視了方格圖的運用。但在現行教材中許多內容的編寫都采用了方格圖，如認識公因數和最大公因數，分數乘除法的計算，平移和旋轉，平面圖形的面積等。專家們對方格圖的編寫不離不棄，是否意味著方格圖與課程內容有著特殊的寓意和獨特的作用。然而，直到聽了特級教師袁曉萍老師的“平行四邊形的面積”一課 ，一系列精心設計的數方格活動，讓學生自然而然想到了剪、移、拼成長方形的方法。讓筆者對“數方格”有了全新的認識，也引發了筆者對方格圖在現行教學中運用的分析與探究。

一、教材中方格圖的地位及作用

（一）教材中方格圖的分布與地位

縱觀我們的小學數學教材（人教版），方格圖在“數與代數”、“圖形與幾何”領域中經常被采用，特別在“圖形與幾何”領域，格子圖的應用幾乎涵蓋了所有平面圖形的內容，在每個年級的教材中都有編排，并通過不同形式來呈現。這種呈現在遵循學生的認知特點，符合內容的結構特點的前提下，體現出循序漸進、螺旋上升的編寫理念。

審視方格圖在不同年級以不同的形式呈現，對于學生理解概念、掌握方法、發展空間觀念有著不可替代的作用。從一年級的“位置”中的引用學生熟悉的座位排序等實物圖、初步感知方格圖的最初事物模型，到二年級的“圖形與變換”和“觀察物體”中學習軸對稱、平移時方格圖的運用，為學生描述平移的運動，定量刻畫物體的平移，提供了重要的輔助工具;從三年級中依托方格圖感受四邊形中“平行”“相等”這些概念，體會方格圖的標準與直觀，到四年級點子圖（方格圖的變式）的出現，由于點子圖這種只有點而缺少線的特點，為學生提供了更大的想象空間;在五年級則成了測量的重要依據，讓學生在數方格中自主探究出平面圖形面積的計算方法，最后到六年級的“數對”，感受數對與位置的一一對應關系，有效地發展學生的空間觀。

（二）教材中方格圖的剖析與作用

方格圖是由很多邊長相等的小正方形組成的， 正方形是由點、線構成的面。如果說點、線是一維的，那么面就是二維的，因此方格圖兼具了一維和二維的特性。從一維角度看，方格圖上的點、線，蘊含許多特性，易與其它內容相結合。從二維角度看，小方格就是一個單位面積，是整個方格圖的基礎，對于平面圖形的認識和測量都有著非常重要的作用。

1、凸顯點線關系

方格圖上的點與點、線與線之間都有其特性。點點之間的距離都是邊長的倍數，線線之間關系更是特殊，一種是互相平行，另一種是互相垂直。學生最喜歡這種橫平豎直的參照，將圖形置于方格圖中，凸顯了點和線的位置與特點，從而發現規律，理解圖形的特征。可以說，方格圖是圖形與幾何教學的重要載體。

2、提供測量標準

從一維角度看，單位面積的小方格，由于邊長一定，學生借助它觀察線段的長度，很容易比較出物體或線段的長短。從二維角度看，方格圖作為測量標準，有利于學生發現和歸納計算方法，更為學生理解面積單位，面積單位的個數和平面圖形面積計算方法之間的聯系起到了重要的作用。

3、積累測量方法

由于方格圖是由很多邊長相等的小正方形組成的，運用于平面圖形周長和面積的學習，不但可以幫助學生推導出計算方法，還可以讓學生掌握最基本的“測量”方法，使用“單位”累加來完成自己的研究，實現自己的發現。學習“周長”，使用“長度單位”進行累加，學習“面積”，運用“面積單位”進行累加，面積單位的累加組成圖形的總面積，對于圖形面積本質的理解，圖形面積計算公式的推導，“測量”方法的習得都是至關重要的。

4、滲透對應思想

在六年級“用數對確定位置”這一課，教材編寫了帶橫向、縱向數據的網格圖。其實，這是對初中知識的一種滲透，為今后學習平面直角坐標系做孕伏。從整體上看，縱橫交錯的網格上的點是縱向和橫向唯一的交點。在圖中，用一對有序數來表示一個點的位置，幫助學生感受數對與位置的一一對應關系，滲透函數思想，提升空間觀念。

二、方格圖在教學中的運用

（一）數格子，方法與思想的自然建構

“平行四邊形的面積”這一內容，在面積計算公式推導之前有一個“數方格”的活動，許多老師在處理這一活動往往只是輕描淡寫地帶過，對后續的自主探究沒有起到實質性的引領作用。筆者在小學數學課堂教學展示課上觀摩了袁曉萍老師所執教的課，教者讓一張小小的方格紙（亦稱為單位面積卡）發揮了奇妙的作用，讓“數方格”這一活動平淡中見神奇，樸實中見豐盈，“數”出了別樣的精彩。

【“平行四邊形的面積”教學片斷】

1.引入新課

（課伊始，老師用課件在格子圖中呈現一個平行四邊形）

師：認識這個圖形碼？關于平行四邊形你已有哪些認識？

師：關于平行四邊形，你還想學習什么？今天這節課，我們就一起來研究平行四邊形的面積計算。

2.用格子圖探究面積

（1）初次數方格

師：同學們手中都有這樣一張平行四邊形紙片，你有辦法知道它的面積嗎？

師：如果一個小方格表示1平方厘米，請用數格子的方法數出平行四邊形的面積。并用筆畫一畫、標一標，讓人一眼看出你數的方法。（生嘗試，師巡視指導）

（2）匯報展示

師：你是怎么數的？

生1：我是先數整格的，有20格，再把上下不到一格的兩個兩個拼起來數的，也是4格。

生2：（用箭頭符號表示拼的過程）左右兩邊的正好拼起來是一個格子，這樣兩個兩個地可以拼成8個方格，再加上占整個的有20個方格，我這樣一共數出24個方格。

生3：把左邊的三角形移到右邊（并用同一個數字表示左右相對應的方格），拼成長方形后再數一數是24個平方厘米。

（解讀：教師設計數出方格紙上的平行四邊形的環節，數的過程中，學生遇到問題：不滿一格怎么辦？并促使學生思考：如何把不滿一格轉化成滿格？這時，老師適時鼓勵學生用筆畫一畫，將平行四邊形的轉化成長方形這種剪拼方法呼之欲出，大部分同學已自己得出方法）

（3）再次數方格

師：誰能用拼的方法來數出它的面積。但是要注意，拼的次數越少就越能顯示出你的水平高。

（解讀：學生思維層次不同、空間想象水平有差異，拼的次數肯定有多有少，第二次拼，教師指向明確，就是要拼的次數越少水平越高，這里的活動具有挑戰性，成功激發了學生的戰斗力，盡顯方格魔力）

袁老師在《平行四邊形的面積》一課中，巧妙的運用一系列的數格子活動，讓學生自然而然的想到了剪、移、拼成長方形的方法，既使學生水到渠成地得出了平行四邊形的面積等于底乘高這一方法，又潛移默化地滲透了“轉化”這一重要的數學思想，教學設計真是妙不可言！

（二）擺格子，概念與操作的無痕鏈接

一直以來，“公因數”教學，往往以抽象、單調、乏味困擾師生。賦予“公因數”圖形的意義，既豐富了概念，豐盈了教學，又讓學生通過數形結合加深理解。在“公因數”教學中運用格子圖，讓動手操作與概念理解無痕鏈接。

【“公因數”教學片斷】

1.分別用邊長9厘米和4厘米的正方形紙片鋪右邊的長方形，能正好鋪滿嗎？

（1）學生操作，交流驗證。（投影學生作品）

（2）想一想：為什么不能夠正好鋪滿呢？

生：9能整除18，9是18的因數。而9不是12的因數。

……

2.怎樣的正方形才能正好鋪滿這個長方形？

師板書：6既是18的因數，又是12的因數。6是18和12的公因數。

3.邊長3厘米、2厘米、1厘米的正方形呢？能否正好鋪滿這個長方形？請在腦中描繪，并用語言表達。同理講授。

多樣的素材，真正豐富了學生的感知;精心的設計，真正讓學生自主建構起“公因數”的概念，并幫助學生初步理解“正好鋪滿”的本質意義。設計操作格子圖活動，組織學生展示自己的思考過程，逐步完善對概念的理解，無痕地實現對“公因數”概念的建構。

（三）畫格子，算理與圖形的無形融合

算理對于學生來說是抽象的、無形的，如何讓學生真正理解算理，數形結合不失為一種有效的方法。具有直觀形象特征的方格圖的合理使用，能將抽象的數量關系形象化，把無形的解題思路具體化。“連除應用題”的教學一直是學生理解的難點，將算理與畫格子結合在一起，在直觀圖示的導引和教師的啟發下，學生能比較容易地理解數量之間的關系，理清解題的思路，提高分析問題和解決問題的能力。

【“連除應用題”教學片斷】

例題：有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？

30÷2÷3，學生畫了下圖：

先平均分成2份，再將其中1份平均分成3小份。

②30÷3÷2，學生畫了下圖：

先平均分成3份，再將其中1份平均分成2小份。

③30÷（3×2），學生畫了下圖：

先平均分成6份，再表示出其中的1份。

教師要求學生借助長方形表示思路的方法。因為長方形是二維的，通過二維圖中的表達，讓學生很容易表達出小猴的只數、吃的天數與桃子個數之間的關系。很顯然，學生通過畫一畫的操作，借助圖形語言，借助已學過的除法知識，解決了連除應用題的問題，從而理解了連除的意義。通過數形結合，讓抽象的數量關系、思考路徑形象地外顯了，非常直觀，宜于學生理解。

三、方格圖在教學中的注意點

格子圖作為單位面積的正方形格子，得到老師和同學們的青睞，在教學、練習過程中也大量的使用。盡管方格圖有直觀，清晰，單位面積一定，便于數數比較等優點，但需要注意恰當運用，切記不要事倍功半。

（一）注意適配內容

雖然有些課的內容使用格子圖能得到事半功倍的作用，這些內容往往都與方格有緊密的聯系。面積教學有單位面積量的需求;平移旋轉有對垂直線段、單位刻度的需要;公因數、連除、分數乘除法有長方形面積長乘寬兩個數相乘的呈現。但是更多的內容很難與格子圖適配，如概念教學、計算教學。因此，教者要分析教材、課題內容，選擇最適合的素材，不能為了使用而使用。

（二）注意適度操作

格子圖用于數形結合時所花的時間相對較少，但用于操作時，耗時較大，影響教學進度。如平行四邊形的面積，大多是教師引導學生轉化得出面積方法，而格子圖則需大量時間用來操作。由此，需要教者的精密設計，適度操作，才更能讓格子圖散發光彩。

（三）注意適時提升

小學生的思維正由具體形象思維過渡到抽象邏輯思維。俗話說，數學是思維的體操，數學學習的最終目標是鍛煉思維，發展思維，提升思維。不管是數格子，擺格子，算格子還是畫格子，都應以落實內容，思維提升為前提。使用格子圖這種直觀的圖形，也應注意是否優化教法，升華學法，提升思維。

總之，正確使用格子圖，能起到事半功倍的作用，通過直觀的手段幫助學生學習幾何初步知識，乃至數與代數知識。凸顯了空間與圖形的顯現特征，賦予了數與代數直觀意義，滲透了中學的函數思想。但直觀呈現也需要提升，具體到抽象、模糊到清晰是必然的過渡，這個過程使得空間想象力得到充分有序地訓練，空間觀念得到有效地提升。

參考文獻：

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[3]周海萍、朱希萍.數形結合在教學中的運用 [J].小學教學，2011，（6）.

1浙江省杭州市蕭山區臨浦鎮第一小學，浙江 杭州311200

2浙江省杭州市余杭區五常中心小學，浙江 杭州311100