巧借邊界“相切” 突破高考難點
——例析帶電粒子在磁場中的軌跡圓或磁區極值問題

鄒韓仕

(廣東省汕頭市澄海蘇北中學 515829)

“帶電粒子在磁場中的運動”是歷年高考中的一個高頻考點，而“帶電粒子在有界磁場中運動”的極值問題則是此考點中的一個難點.粒子在磁場中的運動軌跡可能是一個完整的圓或一段圓弧，而有界磁場可以有一個、二個或三個邊界，磁區也可以是矩形、正方形、圓形、三角形、環形等.粒子在有界磁場中運動時，也往往會涉及到求軌跡圓最大值(最小值)或磁區最小面積等多類極值問題.盡管此類問題思維容量大，對學生的數學能力、空間想象能力要求也比較高，但通過挖掘問題本質，尋求問題的思維共性，就能得以有效解決.本文擬例析如何利用軌跡圓與磁場邊界“相切”這一基本特點，突破帶電粒子在有界磁場中運動時出現的軌跡圓或磁區極值問題這一難點，進而提出解決問題的有效策略.

一、凸現一個“模型”

帶電粒子在磁場中的運動的軌跡“模型”就是一個“圓”，這個“圓”靈活多變，可平移，可縮放，可旋轉，處理問題時可視實際需要進行靈活變通.

二、抓住一條“主線”

定圓心、畫軌跡、找半徑；找臨界(如粒子運動時軌跡恰好與某一磁場邊界相切或恰好離開邊界上某點)；再利用幾何關系(通常要在直角三角形中構建半徑和給定的幾何量之間的幾何關系)求半徑，是解決此類問題的一條主線.

三、明確一個“關鍵”

圓心的確定，是解決問題的“關鍵”.定圓心通常有以下三種方法：

(1)半徑相交法：已知入射方向和出射方向時，可通過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖1中P為入射點，M為出射點).

(2)中垂線法：已知入射方向和出射點的位置，可以通過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作其中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖2中P為入射點，M為出射點).

(3)角平分線法：若已知粒子入射方向和出射方向，及軌跡半徑R，但不知粒子的運動軌跡，則可作出此兩速度方向夾角的平分線，在角平分線上與兩速度方向直線的距離為R的點即為圓心(此法多用在粒子在有界磁場中運動時軌跡與邊界相切，但“切點”不確定的情況).帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動具有對稱性，應用對稱性可以快速地確定運動的軌跡.

①帶電粒子如果從一直線邊界進入又從該邊界射出，則其軌跡關于入射點和出射點線段的中垂線對稱，入射速度方向、出射速度方向與邊界的夾角相等；

② 在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出.

四、把握一個“聯結點”

五、帶電粒子在磁場中運動出現軌跡圓或磁區極值問題分析

1.磁場區域已知，求軌跡圓的相關極值問題

情境1 磁區為帶狀

例1如圖3所示，勻強磁場的磁感應強度為B，寬度為d，邊界為CD和EF.一電子從CD邊界外側以速率v0垂直勻強磁場射入，入射方向與CD邊界間夾角為θ.已知電子的質量為m，電荷量為e，為使電子能從磁場的另一側EF射出，求電子的速率v0至少多大？

解析當入射速率v0很小時，電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從CD一側射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道的邊界與EF相切時，電子恰好不能從EF射出，如圖4所示．電子恰好射出時，由幾何知識可得：

r+rcosθ=d①

由①②得：

情境2 磁區為矩形

例2一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad長為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v0的帶正電粒子，如圖5所示．已知粒子電荷量為q，質量為m(重力不計)：若要求粒子能從ab邊射出磁場，v0應滿足什么條件？

解析當粒子軌跡恰好與cd邊相切時，是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最大的情況，設此半徑為R1，如圖6所示.則有

可得：R1=L

當粒子軌跡恰好與ab相切時是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最小的情況，設此半徑為R2，如圖7所示

故粒子從ab邊射出的條件為R2

情境3 磁區為三角形

例3如圖8所示，在一底邊長2L,θ=45°的等腰三角形區域內(O為底邊中點)有垂直紙面向外的勻強磁場.現有一質量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開始經過電勢差為U的電場加速后，從O點垂直于AB進入磁場，不計重力與空氣阻力的影響.則：

磁感應強度B為多少時，粒子能以最大的圓周半徑偏轉后打到OA板？

解析粒子經電場加速射入磁場時的速度為v，則

如圖9,要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應與直角邊AC邊恰好相切，設圓周半徑為R

由洛侖茲力提供向心力：

情境4 磁區為環形

例4如圖10所示，在以O為圓心，內外半徑分別為R1和R2的圓環區域內，存在輻射狀電場和垂直紙面的勻強磁場，內外圓間的電勢差U為常量，R1=R0，R2=3R0.一電荷量為+q，質量為m的粒子從內圓上的A點進入該區域，不計重力.則：圖11中，若粒子從A點進入磁場，速度大小為υ3，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應強度應小于多少？

思維共性：在磁場區域已知時，不管有界磁區為何種形狀，解決問題的突破口在于：把握粒子可縮放而出現最大或最小軌跡圓與磁場邊界 “相切”這一關鍵臨界信息.例1、例2雖為求帶電粒子v0的極值，例3、例4雖為求磁感應強度B的極值，但本質上、方法上是相同的，最終都應轉化為求軌跡圓半徑的極值.

2.磁場區域未知，而軌跡圓(圓弧)已知，求“約束”磁區的最小面積

情境1 磁區為圓形

例5一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O為中心的一個圓形區域內.一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向.后來，粒子經過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖13所示.不計重力的影響.求磁場的磁感強度B的大小和xy平面上磁場區域的最小半徑R.

解析粒子在磁場中受洛侖茲力作用，作勻速圓周運動，設其半徑為r，

據此并由題意知，粒子在磁場中的軌跡的圓心C必在y軸上，且P點在磁場區之外.過P沿速度方向作延長線，它與x軸相交于Q點.作圓弧過O點與x軸相切，并且與PQ相切，切點A即為粒子離開磁場區的地點.這樣也求得軌跡圓的圓心C，如圖14所示.

由圖中幾何關系得L=3r②

情境2 磁區為三角形

例6如圖15所示，在傾角為30°的斜面OA的左側有一豎直檔板，其上有一小孔P，現有一質量m=4×10-20kg，帶電量q=+2×10-14C的粒子，從小孔以速度v=3×104m/s水平射向磁感應強度B=0.2T、方向垂直紙面向里的一正三角形區域.該粒子在運動過程中始終不碰及豎直檔板，且在飛出磁場區域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計.求：正三角形磁場區域的最小邊長.

解析如圖16當粒子的運動軌跡與正三角形磁場區域的ac邊和ab邊都相切時，正三角形磁場區域的面積最小.由幾何關系可得最小邊長為L，即

Lcos30°=r+2rcos30° ①

由牛頓第二定律可得

則粒子在磁場中做圓周運動的半徑

聯立①②③得L=0.946 m

情境3 磁區為矩形

例7如圖17，為可測定比荷的某裝置的簡化示意圖，在第一象限區域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=2.0×10-3T,在X軸上距坐標原點L=0.50 m的P處為離子的入射口，在Y上安放接收器，現將一帶正電荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率從P處射入磁場，若粒子在y軸上距坐標原點L=0.50 m的M處被觀測到，且運動軌跡半徑恰好最小，設帶電粒子的質量為m,電量為q，不計其重力．則：

為了在M處觀測到按題設條件運動的上述粒子，在第一象限內的磁場可以局限在一個矩形區域內，求此矩形磁場區域的最小面積，并在圖中畫出該矩形.

解析如圖18，當軌跡圓與矩形磁區的邊界剛好“相切”是矩形磁場區域出現“最小面積”的臨界條件，所求的最小矩形是MM1P1P，該區域面積

S=2r2①

聯立①②并代入數據得S=0.25m2

矩形如圖18中MM1P1P(虛線)

思維共性：求磁區圓的最小面積，關鍵是先定好軌跡圓半徑的圓心(需用角平分線法).不管有界磁區為何種形狀，此三類磁場區域出現“最小面積”的情況均有異曲同工之妙：軌跡圓與磁區的邊界剛好“相切”是磁場區域出現“最小面積”的臨界條件，具有“最小面積”的磁區(圓、三角形或矩形等)將軌跡圓“約束”起來.

帶電粒子在磁場中運動時出現軌跡圓最大值(最小值)或磁區最小面積等多類極值問題，教學中需要教師及時幫助學生進行比較分類、分析歸納，通過抓住“圓”這一基本物理模型，提煉問題共性，即不管是磁區已知求軌跡圓大小極值，或軌跡圓可求進而求磁區面積極值，都有軌跡圓與磁區邊界“相切”這一明顯臨界特征.畫好圓，找出邊界“切點”，再結合幾何關系求解軌跡圓半徑這一重要聯結點，進而視問題情況進行適當的參數轉換，則問題能迎刃而解.