一次函數(shù)建模的教學

楊建永

摘 ? 要：核心素養(yǎng)是關(guān)于學生知識、技能、情感、態(tài)度、價值觀等多方面要求的結(jié)合體，它指向過程，關(guān)注學生在其培養(yǎng)過程中的體悟、而非結(jié)果導向。其中，數(shù)學建模素養(yǎng)對學生后續(xù)的學習至關(guān)重要，對提升學生的核心素養(yǎng)也有非常積極的作用，值得在數(shù)學活動中著力發(fā)展。

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型;數(shù)學素養(yǎng);核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 ? ?文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）17-0040-03

數(shù)學教學的最終目標，是要讓學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，而數(shù)學的眼光就是抽象，數(shù)學的思維就是推理，數(shù)學的語言，就是模型。

——摘自《數(shù)學基本思想18講》史寧中

函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要模型，用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題和解決問題，將有助于人們更好地認識世界。在北師大版初中教科書中，函數(shù)作為代數(shù)部分的學習主線貫穿始終;在七年級，學生對函數(shù)的學習處于感受階段，在八年級從變量出發(fā)，獲得函數(shù)的定義，開始學習初等函數(shù)。

在函數(shù)學習過程當中，學生數(shù)學思維方式和學習方法也發(fā)生了重要的變化，思維從靜態(tài)走向運動，從離散走向連續(xù)，從運算轉(zhuǎn)向了關(guān)系，表示方法也從單一轉(zhuǎn)向了多樣化。也就是說，與常量學習相比，函數(shù)更具有抽象性，形式化的程度也很高。而一次函數(shù)是初中生第一個學習的函數(shù)模型，也是中學數(shù)學的一項重要教學內(nèi)容，為今后函數(shù)教學奠定基礎(chǔ)。如果能適當把握好一次函數(shù)教學的機會，就能培養(yǎng)學生學習函數(shù)的興趣，為以后函數(shù)的學習做好鋪墊。如果學生對于一次函數(shù)的概念不能理解，那后續(xù)的反比例和二次函數(shù)的學習就難上加難。如何在已有的認知基礎(chǔ)上幫助學生更好地解決一次函數(shù)應(yīng)用問題呢？筆者認為依托具體情境，在教學活動中滲透建模思想，會達到更好的效果。

一、創(chuàng)設(shè)豐富和貼近學生生活的函數(shù)模型

一元一次函數(shù)在日常生活中應(yīng)用十分廣泛，比如在計算速度路程問題時，其中涉及到變量的線性依存關(guān)系，可利用一元一次函數(shù)解決這類問題。在教學時可以錄制相向運動的視頻，學生結(jié)合自己的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)在這個過程中，隨著時間的變化，甲乙兩者之間的距離也發(fā)生變化，大致描述兩位同學之間的距離隨時間變化而變化的情況。

二、通過建立圖象感受兩個變量之間的關(guān)系

你能不能畫個簡圖大致描述兩位同學之間的距離隨時間變化而變化的情況。

問題：（1）在這個變化過程中是哪些量之間的變化過程？

（2）在這個圖象中，x，y分別表示的是什么？

x：運動時間，y：乙離A地的距離.

（3）繼續(xù)觀看視頻，甲乙相遇之后沒有停止運動，分別到達對方的起點后停止運動，完善細化你的圖象。

（4）描述兩位同學之間的距離隨時間變化而變化的情況，說明圖象里各個點的意義。

解答前面四個問題的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程：

（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型。

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型。

學生把路程與時間的數(shù)量抽象出來，在具體的一次函數(shù)的學習過程中，整體觀察、分析這些量之間的關(guān)系，把抽象的概念和具體的事例聯(lián)系起來，運用變化的觀點去理解和分析。

三、通過細化圖象進一步分析兩個變量之間的關(guān)系

在七年級的變量學習過程當中，學生們已經(jīng)能夠基本了解，函數(shù)不是數(shù)或運算，需要從變化的視角來分析兩個變量之間的相互依存關(guān)系，當自變量改變時因變量也發(fā)生變化，當自變量確定時因變量也唯一確定;所以前面的環(huán)節(jié)學生進行的難度不大。進入八年級，學生的抽象思維得到了發(fā)展，能夠把現(xiàn)實生活的數(shù)量抽象為數(shù)，計算、分析這些量之間的關(guān)系，也能夠在觀察分析問題時進行聯(lián)系，體會圖象是進一步刻畫這個函數(shù)模型的工具。

問題：（1）你能在具體點的位置標識上合適的數(shù)字嗎？

（2） 通過這個圖象你能得到哪些信息？

①每個人的行程均為60m.

②甲乙二人10s時相遇.

③甲乙的速度和為■=6m/s.

④乙用30s到達終點.

⑤V乙=■=2m/s

⑥V甲=6-2=4m/s

⑦A（0，60）

⑧B（10，0）

⑨C（15，30）

⑩D（30，60）

（3）通過這個圖象你還能得到哪些信息？

①yAB=-6x+60（0≤x≤10）

②yBC=-6x-60（10≤x≤15）

③yCD=2x（15≤x≤30）

各段圖象都可以用待定系數(shù)法解決.

（4） 對于BC段直線有沒有其他解法？

yBC=-kx+b（10≤x≤15）

在BC段與AB段都是甲乙二人的速度和，所以k=6，而利用函數(shù)圖象直線的特征，將其延長就可以得到B=-60.

（5）在時間與路程的圖象中是否能夠清晰的感受到速度的變化，進而能夠用更簡單的方法求解CD段的函數(shù)解析式。

進一步遷移剛剛BC段的方法，CD段只有乙一個人在走，兩者之間的距離就是乙獨自產(chǎn)生的yCD=2x（15≤x≤30）.

此時完成一次函數(shù)建模問題，求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論。

四、利用函數(shù)模型解決實際問題

（1）①當兩人出發(fā)8秒時，兩人之間的距離是 12米 .

②當出發(fā)16s時，兩者之間的距離是 32.4米.

③當兩個人之間的距離為12m時，時間為 8秒或12秒.

（2）哪段時間，甲乙二人有機會可以連上手機藍牙隔空投送（說明，兩人使用同一型號手機，距離不超過五米）。

解決實際應(yīng)用問題應(yīng)強調(diào)以下兩點：

（1）還原：將數(shù)學問題還原為現(xiàn)實意義。

（2）反思回顧：對于數(shù)學建模得到的數(shù)學解，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性。

在能夠把現(xiàn)實生活中的數(shù)量抽象出來，計算這些量之間的關(guān)系，整體觀察、分析這些量之間的關(guān)系后，把抽象的概念和具體的事例聯(lián)系起來具體分析，運用變化的觀點去進一步理解和分析這些量之間的關(guān)系。

同時在建模一次函數(shù)的過程中將函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系在一起。在具體的教學過程中，一直關(guān)注自變量的取值范圍，在現(xiàn)實生活中，自變量的取值往往是有界的，在上面的活動中，借助具體實例，筆者引導學生思考自變量的取值不是任意的，幫助學生認識在研究一次函數(shù)中要注意自變量的取值范圍，從具體到抽象，使學生對函數(shù)的概念有完整的認識。

五、學而不思則罔，思而不學則殆

在建模一次函數(shù)的過程中通過初步語言描述、圖象表示、符號表示這個隨時間變化而兩者之間距離變化的過程，讓學生通過思考、討論、操作以及完成真實情景中的任務(wù)等活動學會自我學習、協(xié)作學習和探究學習。

教師要貼近學生認知水平設(shè)計科學、合理、有價值的具體問題。在一次函數(shù)應(yīng)用教學過程當中，筆者用一組活動串問題，幫學生指明了研究的方向，引導學生研究問題、分析問題、解決問題，通過體驗、建構(gòu)及內(nèi)化等過程逐步形成相對穩(wěn)定的思維方法和價值觀。

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式、數(shù)量關(guān)系、模式和秩序的科學，建立教學模型的程序大概如下：

（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型。

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型。

（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論

（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義。

（5）反思回顧：對于數(shù)學建模得到的數(shù)學解，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性。

六、結(jié)語

一次函數(shù)的學習對于初中學生既是重點，更是難點。建立一次函數(shù)模型對學生后續(xù)的學習至關(guān)重要，對提升學生的核心素養(yǎng)也有非常積極的作用。核心素養(yǎng)兼具穩(wěn)定性與開放性、發(fā)展性，是一個伴隨終身可持續(xù)發(fā)展、與時俱進動態(tài)優(yōu)化過程，是個體能夠適應(yīng)未來社會、促進終身學習、實現(xiàn)全面發(fā)展的基本保障。

參考文獻：

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