“問題鏈”導向教學
——以線性規(guī)劃為例

☉浙江省玉環(huán)市玉城中學 張夏飛

數學是研究自然社會中存在的邏輯和數量關系的學科，數學產生于人們對自然現象的疑問，又被好奇心和思考推動著發(fā)展.從本質上來說，數學就是一門圍繞“問題”展開的學科，綜合了解決和提出問題的思想方法，以及對部分問題的回答.問題能夠激發(fā)研究者探索的欲望，并且提供了一種精力和思考方向的聚焦，能極大地推動研究的進程，同樣的，問題也能引起學生的興趣，巧妙設計的問題還能讓學生在探索與思考中抓住知識結構中的重點.所以，教師可以嘗試以“問題”為線索展開課堂教學，將教學內容按照類別及難度等進行劃分，并結合教學大綱和自己的教學思路，總結出具有導向性的問題，并利用問題傳導概念，利用問題激發(fā)思考，利用問題引導學生探索數學的本質，同時，教師還可以設計一連串的問題，組成問題鏈，這樣更能系統地提升學生的學習效果.下文中筆者就將結合自身的教學實踐，以線性規(guī)劃中用二元一次不等式表示平面區(qū)域這一節(jié)的教學為例，和讀者分享自己在這方面的經驗.

線性規(guī)劃是一個非常重要的知識點，它綜合了不等式、解析幾何及方程組的知識，對提高學生的思維能力也有著很大的作用，在生產生活中，線性規(guī)劃的思想方法也被廣泛應用于資源分配等場景中.在高中階段，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域是學生最先接觸到的線性規(guī)劃知識，其中涉及了許多基本的概念，也涉及了數形結合、分類討論及轉化與化歸等思想方法，是線性規(guī)劃的入門知識.用二元一次不等式組表示平面區(qū)域這一模塊建立在學生掌握不等式及基本解析幾何知識的基礎上，從概念性的知識來說并沒有太多需要補充的地方，真正需要學生深入思考和學習的是知識之間的聯系，以及如何用這樣的方法實現規(guī)劃目標，因此，筆者設計了如下的問題鏈來幫助學生建立知識體系.

一、“問題鏈”導向教學的具體過程

問題一：若已知某工廠有A種原料10噸，B種原料60噸，現市場對甲、乙兩種商品有所需求，如果每生產一噸甲類產品需耗費A種原料4噸，B種原料12噸，能帶來2萬元的收益，每生產一噸乙類產品需消耗A種原料1噸，B種原料9噸，帶來的收益為1萬元，（上述信息見下表1）試問：在不超過原料限制的情況下，如何分配資源生產可以使得工廠的收益最高？

表1

問題轉化：根據學生的知識水平，教師可以引導他們列出如下的不等式組.

設生產甲類產品x噸，生產乙類產品y噸，設總利潤為P萬元，則根據題設可得出不等式組：故將問題轉化為在上述不等式組的約束下，求P=2x+y取最大值時，對應的x，y分別為多少.

設計意圖：這是一道非常典型的線性規(guī)劃類題目，需要用到數形結合等經典方法，通過設計這道題，筆者希望能讓學生在不等式與直線區(qū)域之間建立起認知聯系.在本題中，不等式4x+y≤10可以理解為兩個條件，即4x+y=10和4x+y＜10，等式的幾何意義比較容易理解，即為直線y=10-4x上的點，學生需要理解的是4x+y＜10的幾何意義，于是為了幫助學生理解，筆者從直線方程的本質入手，設計了如下的題目.

問題二：假設在平面直角坐標系中有這樣一條直線，試問和這五個點與直線l之間存在怎樣的位置關系？點與直線的位置關系在代數層面上是如何體現的？能否根據上述結論，通過代數的方法，判斷點F（3，-2.1）與直線l的位置關系？

設計意圖：學生之前接觸的大多數是直線上的點，很少關注直線外的點與直線的具體位置關系，通過設置一系列橫坐標相同，縱坐標不同的點，學生會不由自主地關注到橫坐標相等時，縱坐標的差別帶來的位置變化，比如在本題中，D點和E點的橫坐標都是2，由于縱坐標不同，它們分別位于直線的上下兩側.這個問題通過特殊的例子，讓學生開始思考坐標與位置之間的關系，為后續(xù)進一步深入的思考打下了基礎和鋪墊.

問題三：承接問題二，有哪些點是在直線l的下方？有哪些點是在直線l的上方？對于同一側的點，它們的橫坐標與縱坐標之間有什么樣的數量關系？

設計意圖：通過聚焦同一位置的點的橫坐標與縱坐標的數量關系，引導學生去思考不等式與平面區(qū)域之間的關系，并對一般規(guī)律做出一定的假設.

問題四：通過上述問題，你能否證明，點的橫坐標與縱坐標滿足不等式y＜10-4x是該點在直線y=10-4x下方區(qū)域的充分必要條件？（如圖1所示）

圖1

問題解答：能證明.充分性：假設任意一點P（x0，y0）滿足不等式y＜10-4x，則y0＜10-4x0，取直線y=10-4x上一點Q（x0，y1），則y1=10-4x0，且易知y1＞y0，在坐標圖上表現為點P在點Q的下方，因此，滿足不等式的點一定位于直線l的下方.必要性：取直線l下方的一點P（x0，y0），再取直線上與P橫坐標相同的一點Q（x0，y1），由圖1可知，在橫坐標相等的情況下必有y0＜y1=10-4x0，滿足不等式.

設計意圖：問題二和問題三利用特殊情況激起了學生的思考，讓學生對不等式的幾何意義形成初步印象，問題四的設計是對零散示例的總結，讓學生從理論的角度證明了一般規(guī)律，充分性證明幫助學生由代數關系過渡到幾何關系，必要性證明幫助學生從幾何關系的角度理解代數關系，將滿足不等式的解與直線下方的點一一對應起來.

問題五：從問題四的結論中，推斷y＜kx+b及y＞kx+b分別表示怎樣的區(qū)域？

設計意圖：由例子抽象到更一般的規(guī)律，為后續(xù)教學做鋪墊.

問題六：試畫出直線3x+y+1=0的圖像，并用陰影表示出不等式3x+y+1＞0的區(qū)域，嘗試總結出二元一次不等式Ax+By+C＞0（B≠0）代表的平面區(qū)域與A，B，C之間的關系.

設計意圖：加深學生對所學概念的理解，讓學生學會利用轉化與化歸思想，將更一般的情形轉化為熟悉的情形，以便解決更普遍的問題.

問題七：試將下列不等式表示的平面區(qū)域在同一個直角坐標系中表示出來：（1）4x+3y＜20；（2）y≥0；（3）x≥0.同時思考，第一問中約束不等式的解和公共區(qū)域有什么關聯？

設計意圖：問題七的設置主要有兩個目的，第一，結合了三種不同的情況，讓學生得以鞏固所學知識并加深理解；第二，呼應教學開始時的例題，達到首尾呼應的效果，同時讓學生將不等式表示的區(qū)域畫在同一個直角坐標系中，這樣能激發(fā)他們思考公共區(qū)域與不等式組解集的關系，為接下來的教學埋下伏筆.當然，教師不用在這里就急于強調解集與公共區(qū)域的具體關系，因為這有可能會讓學生覺得信息量大，難以接受.

問題八：嘗試用不等式組表示圖2和圖3中的陰影部分.

圖2

圖3

設計意圖：之前的例題都是讓學生從不等式過渡到幾何區(qū)域，補充這個問題可以讓學生換一種視角來思考問題，能讓學生更全面、更透徹地理解知識，同時，筆者還補充了一些檢驗區(qū)域是否畫對的方法，比如特殊點檢驗法、平移法等，讓學生能更靈活精確地解決此類問題.

二、教學總結

在問題鏈的設計方面，筆者認為有以下幾點需要注意：首先，問題鏈應該服務于教學內容，比如在線性規(guī)劃的教學實踐中，筆者設計的問題都是為了讓學生理解相關概念；其次，問題鏈的設計要有梯度，要結合學生的知識水平與認知特點，由具體到抽象，由特殊到一般；接著，問題鏈中的問題應具有明確的主題，要讓學生明白問題的意義所在；最后，問題鏈的根本目的是引導學生思考與探索，因此要留給學生足夠的思考空間.