培養(yǎng)學生數(shù)學合情推理意識的實踐思考

☉江蘇省常熟市王淦昌中學 尹瑰雯

合情推理是人們憑借已有的知識經驗所作出的合乎情理的認知過程，這是運用觀察、實驗、歸納、類比、聯(lián)想、直覺等思維形式在某種情境與過程中所進行的合理推斷.《新課程標準》明確提出了促進學生了解合情推理的含義，以及幫助學生學會簡單推理的具體要求，因此，教師在實際教學中應能借助已有的數(shù)學實例和生活實例來幫助學生認識并體會合情推理的作用，使學生能夠學會簡單的推理.

一、教學過程中的合情推理

教師在教學中應能及時地發(fā)現(xiàn)數(shù)學的發(fā)展過程并引導學生進行猜想與合情推理，簡單來說，就是猜想與合情推理在數(shù)學發(fā)展與學習過程中應該占據一席之地.因此，教師在實際教學中應首先幫助學生樹立積極的合情推理的意識，引導學生在概念、定理、結論、公式的生成學習中逐步展開有意識的猜想與推理，使學生擁有足夠的推測和猜想的空間并經歷合情推理、演繹推理，使學生將形象思維、直覺思維、邏輯思維積極地調動起來并由此促進學習的進一步生成.

案例1多項式函數(shù)的奇偶性——歸納探究

問題1：請對以下函數(shù)的奇偶性進行判斷：

問題2：已知f（x）=kx+b是一次函數(shù)，則其在什么情況下為奇函數(shù)呢？

二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在什么情況下為偶函數(shù)呢？

猜想：一元n次函數(shù)f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn在什么情況下為奇函數(shù)呢？在什么情況下為偶函數(shù)呢？是否可以分別進行證明？引導學生在一元三次、一元四次函數(shù)的試驗與探究中獲得以下結論：

當a1=a3=a5=…=0時，f（x）為偶函數(shù)；當a0=a2=a4=…=0時，f（x）為奇函數(shù).

案例2球的表面積公式——類比推導

問題1：已知某旋轉體模型的高與底面半徑相等，請觀察并嘗試猜想：

問題2：大家還記得我們之前是怎樣進行推導得出圓的面積公式的呢？

學生很快發(fā)現(xiàn)精確度因為所分份數(shù)的不斷增加而提高，圓的面積公式在份數(shù)無窮大時便能順利得出，學生在經歷分割、求近似和、化準確和的學習過程中順利地獲得了圓的面積公式.教師可以在學生的這一學習經驗上引導其對球的表面積公式進行探究.

教師在上述案例中都沒有直接給出結論，而是引導學生對知識的發(fā)生、發(fā)展進行了探究，師生之間的互動、交流、討論和推理或許不夠完善和嚴密，但學生在發(fā)現(xiàn)問題、選擇推理方法、歸納總結結論的合情推理中卻獲得了理性思維的鍛煉與發(fā)展.

二、培養(yǎng)學生的合情推理意識

1.激發(fā)合情推理意識

數(shù)學合情推理的進行需要數(shù)學直覺的支撐.因此，教師應保障學生直覺推理的時空并對學生進行積極的引導，使學生能夠在數(shù)學問題的結構、數(shù)據、圖形等方面的特征與信息上進行觀察與分析，從而刺激學生的直覺思維并提出合理的猜想.

案例3已知數(shù)列{an}中，則通項公式an=______.

該習題是“數(shù)列的概念與表示方法”第一課時中的一個題目，很多學生在怎樣從遞推公式入手及變形獲得通項公式時遇到了障礙，但實際上，如果設n=1，2，3，4，則有最終引導學生在直覺思維的支撐下，歸納出{an}的通項公式為

2.形成合情推理意識

對于教師的解題技巧與速度，很多學生都會表現(xiàn)出驚訝與佩服，但同時他們也會心存疑問：老師是怎么想到的呢？解決學生的這一疑問無疑是相當重要的，因此，教師應將解題方法進行具體的介紹，引導學生學會思考，并因此促進學生合情推理意識的逐漸形成.

案例4設，求（3-v）］2的最小值.

從代數(shù)角度來解決此題往往會令學生一籌莫展，但若是能夠對f（u，v）的形式進行仔細地觀察，從其與距離公式的平方的相似上入手，即可將問題轉化為求動點P（u，與Q（v，3-v）之間距離的最小值又是半圓x2+y2=2（y≥0）上的動點，Q（v，3-v）為直線x+y=3上的動點，過圓心作直線l的垂線并得出f（u，v）min=

每個解題者在解題時都會努力地尋找一種相似，這一過程需要“結構聯(lián)想”的支撐才能實現(xiàn)解題上的突破，因此，教師在實際教學中應幫助學生學會進行“結構聯(lián)想”，并實現(xiàn)知識向能力的順利轉化.

3.培養(yǎng)合情推理意識

變式訓練主要是在已有材料的變更上作出的以點帶面的練習，有效的變式訓練能夠幫助學生完善知識體系并實現(xiàn)信息和方法的遷移，變式訓練也是培養(yǎng)學生合情推理意識的極為重要的載體與途徑.

案例5設點A和點B的坐標分別是（-5，0）和（5，0），直線AM和BM相交于點M，兩直線的斜率之積為

變式2：設點A和點B的坐標分別是和，直線AM和BM相交于點M，兩直線的斜率之則點M的軌跡方程如何？

變式1：設點A和點B的坐標分別是（-5，0）和（5，0），直線AM和BM相交于點M，兩直線的斜率之積為k，則點M的軌跡方程如何？積為k，則點M的軌跡方程如何？

變式3：設點A和點B的坐標分別是（-a，0）和（a，0）（a＞0），直線AM和BM相交于點M，兩直線的斜率之積為k，則點M的軌跡方程如何？

引導學生在反思過程中進行命題的變式是尤為必要的，這能使學生在探索中體驗到數(shù)學合情推理的優(yōu)勢，并因此獲得合情推理意識的進一步發(fā)展.

4.強化合情推理意識

波利亞在如何解題上有其獨到的見解，他特別關注在解題或證明問題時發(fā)現(xiàn)簡單的類比題，類比題的發(fā)現(xiàn)可以引導解題者順利解決原問題是他一直持有的觀點.根據不同對象的特性、屬性、關系等方面的相同或相似之處進行其他方面的推理，這種推導其他可能相同或相似的思維形式的過程即為類比推理.直線和平面、平面和空間、圓和圓錐曲線的性質、數(shù)和形等方面的類比是高考題中經常出現(xiàn)的問題.

案例6平面幾何中的勾股定理如下：設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.將其拓展到空間，研究三棱錐的側面面積和底面面積之間的關系時也可將其進行類比，運用平面幾何的勾股定理進行類比可得以下正確結論：設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則______.

相比而言，平面幾何問題的思考屬于低級思維的范疇，空間幾何問題的思考則屬于高級思維的領域.事實上，確實有很多有關三角形的結論在三棱錐問題中可以進行類比，比如直角三角形中的勾股定理在三棱錐三側面兩兩垂直問題中的類比，則有.不僅如此，勾股定理的證明方法也同樣可以在此處進行類比，那么結論的得出也就不是難事了.

教師在學生進行練習時應該引導學生養(yǎng)成預估解題思路能解性的習慣，不管是否能夠見到答案都應該保留這樣的意識與行為，這是培養(yǎng)學生良好的“猜想”習慣所必須具備的.這種預估解題能解性的習慣性思考不僅能夠幫助學生優(yōu)化思維并因此提升解題的準確度，而且在其他問題的思考上也因此獲得了更加充裕的時間.不僅如此，教師在具體教學中對學生觀察能力、分析類比技巧、大膽猜想意識的培養(yǎng)和鍛煉正是發(fā)展學生合情推理能力的必須途徑，是激發(fā)學生學習熱情、提升學生解題能力的必經手段.當然，學生的數(shù)學能力與自身發(fā)展的不同水平也會令其在實際學習中有不同的表現(xiàn)，運用合情推理發(fā)現(xiàn)問題、解決問題也并不是都能令教師滿意，或者能夠完全正確地運用，合情推理運用遭遇障礙也會時有發(fā)生.因此，教師在日常教學中應對學生的認知規(guī)律進行了解和掌握，根據學生的實際情況對學生的數(shù)學推理能力的提升進行訓練，關注學生的合情推理能力在各階段的發(fā)展水平，不斷鼓勵學生在學習中積極嘗試，引導學生不斷反思并在嘗試、反思、修正、提升中獲得數(shù)學合情推理能力的不斷發(fā)展.