展示過(guò)程 啟發(fā)探究 遞進(jìn)生長(zhǎng)
——基于數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

☉安徽省臨泉第一中學(xué) 李宗芝

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的教學(xué)，課堂教學(xué)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)思維能力、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)最重要的途徑.如何使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)生成最大的效益？為此，筆者從以下幾個(gè)方面談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí).

一、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是“過(guò)程式”教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生之間、生生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過(guò)程.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生自主尋求知識(shí)產(chǎn)生的起因，讓學(xué)生看到思維的過(guò)程，主動(dòng)參與知識(shí)的發(fā)現(xiàn)，探索知識(shí)與其他事物的聯(lián)系，在探索過(guò)程中形成概念、尋求規(guī)律、獲得結(jié)論，這也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和發(fā)展其數(shù)學(xué)能力的有效措施.課堂是數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)無(wú)怪乎數(shù)學(xué)知識(shí)（概念）的教學(xué)和數(shù)學(xué)解題的教學(xué)，因此我們應(yīng)做好這兩方面的工作.

1.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)是過(guò)程的教學(xué)

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式，它是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想方法的載體.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開概念教學(xué).而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不應(yīng)是“結(jié)論”的教學(xué)，而應(yīng)是“過(guò)程”的教學(xué).在教學(xué)過(guò)程中，要把概念的形成、發(fā)展過(guò)程展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生弄清概念的來(lái)龍去脈，從而理解概念的本質(zhì)屬性.

例1教學(xué)雙曲線定義時(shí)，依據(jù)定義中的關(guān)鍵詞“絕對(duì)值”、“常數(shù)”、“小于|F1F2|”，為了使學(xué)生有比較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)此進(jìn)行了下面的“過(guò)程式”教學(xué)：將定義中的“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余不變，則點(diǎn)的軌跡是什么？將定義中的“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余不變，則點(diǎn)的軌跡是什么？將定義中的“絕對(duì)值”去掉，其余不變，則點(diǎn)的軌跡是什么？若令“常數(shù)”等于零，其余不變，則點(diǎn)的軌跡是什么？將“小于|F1F2|”去掉，其余不變，則點(diǎn)的軌跡是什么？

通過(guò)這樣的“過(guò)程式”教學(xué)，澄清學(xué)生的模糊認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解，從而在審題中不被“形”所迷惑，讓學(xué)生能透過(guò)“形”的本質(zhì)來(lái)發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).

2.在解題教學(xué)中應(yīng)展示數(shù)學(xué)思維的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也離不開解題教學(xué).數(shù)學(xué)“解題教學(xué)”不應(yīng)是“結(jié)果”的教學(xué)，而應(yīng)是“過(guò)程”的教學(xué).在“解題教學(xué)”的過(guò)程中，教師不能只告訴學(xué)生每一步如何做，而是要把為什么這么做的所思、所想的“思路歷程”展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷一次探索與解決問題的過(guò)程，教會(huì)學(xué)生如何通過(guò)自己的分析來(lái)獲得解題思路.

二、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是“探究式”教學(xué)

古希臘生物學(xué)家羅塔戈說(shuō)過(guò)：“頭腦不是一個(gè)要被填滿的容器，而是一把需被點(diǎn)燃的火把.”德國(guó)教育家第斯多惠也有一句名言：“一個(gè)壞的教師奉送真理，一個(gè)好的教師則教人發(fā)現(xiàn)真理.”由此，數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)是“灌輸式”的教學(xué)，而應(yīng)是“探究式”的教學(xué)；數(shù)學(xué)教師不應(yīng)是“灌輸者”，而應(yīng)是“點(diǎn)火者”.教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)多為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，啟發(fā)學(xué)生思考和探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，將教學(xué)過(guò)程變?yōu)閹熒餐剿髦R(shí)的過(guò)程，以幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，從而獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

例2已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？

多數(shù)與之配套使用的教輔書籍給出的解答是：

解法1：由an=2an-1+3an-2（n≥3），故可得an+an-1=3（an-1+an-2），an-3an-1=-（an-1-3an-2）.

又a1=5，a2=2，

由以上兩式可得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是

在上述解答過(guò)程中，“an+an-1=3（an-1+an-2），an-3an-1=-（an-1-3an-2）”這兩個(gè)關(guān)系式，讓人感到“突?！?，我們只能權(quán)當(dāng)是“觀察”出來(lái)的.為了易于大家接受，對(duì)此題進(jìn)一步探究得出了求解這類數(shù)列問題的一種通用方法：

解法2：將an=2an-1+3an-2兩邊同時(shí)加上λan-1，得an+

又a1=5，a2=2，

由以上兩式可得4an=3n-1×7+（-1）n-1×13.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是

由這一方法我們可以拓展到形如an=pan-1+qan-2（n≥3）的“雙項(xiàng)遞推”數(shù)列{an}求通項(xiàng)公式的一類問題：

在遞推式的兩邊同時(shí)加上λan-1，整理可得an+λan-1=

三、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是“生長(zhǎng)式”教學(xué)

波利亞有句名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”新知識(shí)的學(xué)習(xí)和鞏固都需要通過(guò)解題來(lái)實(shí)現(xiàn)，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.提高解題效益的前提是教師做好例題和習(xí)題的設(shè)計(jì).在設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師首先要認(rèn)真分析教材和學(xué)情，理清教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，然后精心篩選和設(shè)計(jì)，并用恰當(dāng)?shù)姆绞秸归_，從而變“羅列式”為“生長(zhǎng)式”，由淺入深，逐步生長(zhǎng)，組成一個(gè)有機(jī)的整體，凸顯其典型性、層次性、變化性和有效性.

數(shù)學(xué)教學(xué)中要深刻挖掘例題、習(xí)題的教育功能，通過(guò)對(duì)原題進(jìn)行適當(dāng)變式，遞進(jìn)生長(zhǎng)，延伸出具有相關(guān)性、相似性、相反性的新問題.這樣，不僅能激活學(xué)生的思維，為學(xué)生展現(xiàn)出“活生生”的思維過(guò)程，也能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣闊性、獨(dú)創(chuàng)性和靈活性，還能有效地提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.

例3點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，試求點(diǎn)M的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程來(lái)判斷軌跡的形狀.

解析完該題后進(jìn)行了下面的變式.

變式1：將上題中的改為，結(jié)果如何呢？

變式2：將A，B的坐標(biāo)分別改為（-a，0），（a，0），將改為，結(jié)果如何呢？

變式3：將A，B的坐標(biāo)分別改為（-a，0），（a，0），將改為，結(jié)果如何呢？

變式4：將A，B的坐標(biāo)分別改為（-a，0），（a，0），將改為m（m≠0），結(jié)果如何呢？

通過(guò)對(duì)課本題目的解答及變式，歸納出了以下規(guī)律：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）的斜率乘積等于常數(shù)m（m≠0，m≠-1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓或雙曲線.當(dāng)常數(shù)m＜0且m≠-1時(shí)，軌跡是除去兩個(gè)定點(diǎn)A，B的橢圓；當(dāng)常數(shù)m＞0時(shí)，軌跡是除去兩個(gè)定點(diǎn)A，B的雙曲線.其中兩個(gè)定點(diǎn)分別是橢圓或雙曲線的頂點(diǎn).從而使學(xué)生的思維得到了升華.

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不應(yīng)只給學(xué)生提供“黃金”，更要教會(huì)學(xué)生“點(diǎn)金術(shù)”，若要真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成和發(fā)展，就要把課堂還給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生積極思考，讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的世界里自由地翱翔，向數(shù)學(xué)課堂要效益，通過(guò)解決問題，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓每位學(xué)生主動(dòng)且積極地參與教與學(xué).正如華師大葉瀾教授所說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)生意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程.”當(dāng)然，教師要做到這一點(diǎn)，首先，要對(duì)問題的本身有深入的研究；其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo).把課堂還給學(xué)生，注意傾聽他們的心聲，點(diǎn)燃他們的思維之火.