高中數學教學中培養直觀想象素養的策略研究

☉江蘇省張家港市塘橋高級中學 湯 鴻

☉江蘇省張家港市塘橋高級中學 錢士明

在教育部公布的相關政策中指出，教育改革及推進的關鍵任務在于加強對學生數學核心素養的培養及對教學質量的保障.高中數學課程標準修訂組依據普通高中課程修訂工作的要求，提出教書育人的關鍵在于對學生核心素養的培養.直觀指的是對于事物的感性認識，是經過對實際實物的直接接觸而獲得的；想象指的是經過加工改造在人的腦海中塑造出新形象的過程.所以，“直觀想象”的定義就是利用空間想象及幾何直觀來對事物的變化進行感知，借助圖形進行數學題目的解答.那么怎樣在教學過程中對學生的直觀想象素養進行有效的培養呢？這是我們需要重視的一個問題.

一、加強概念教學

熟悉數學概念是進行數學思想學習的載體，并且“直觀想象”思想在很大程度上都來自于數學中的概念教學過程.在這個過程中，要有意識地賦予抽象的概念一個具體的“形”，讓學生能夠很好地理解概念，這樣學生才能夠在題目的解答過程中對概念運用自如.比如，在進行“函數”這一章知識的學習過程中，學生對于函數的概念及其性質難以把握，因此教師可以引導學生從“形”的角度進行理解，從而讓學生能夠更加容易地掌握其定義.

例1已知定義在R上的奇函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為______.

圖1

根據題意作出函數的圖像，如圖1所示，易得解集為（-1，0）∪（1，+∞）.

教師在進行數學教學時，要注重對于概念的講解，將一些性質的不同表達形式講授給學生，讓學生能夠全面地掌握數學性質.在今后的解題過程中，不管概念的表達形式如何變化，學生也能夠靈活的運用.

二、教學充分展現直觀想象的魅力，激發學生的學習興趣

在學習一元二次不等式的過程中，運用直觀想象的教學方法，能夠體現直觀教學法在解答數學問題時的便利性，讓學生能夠從變化、運動及聯系的角度對問題進行思考.

例2設m∈R，解關于x的不等式mx2-（m+1）x+1＞0.

不等式化簡為（mx-1）（x-1）＞0，若轉化成

（1）若m=0，易得解集為（-∞，1）.

（2）若m≠0，則（fx）與x軸交點的橫坐標分別為和1.

①當m＞0時，根據和1的大小關系可知（fx）的圖像有以下三種情形：

圖2

圖3

圖4

圖5

可知當0＜m＜1時，如圖2所示，其解集為（-∞，1）∪

當m=1時，如圖3所示，其解集為（-∞，1）∪（1，+∞）；

當m＞1時，如圖4所示，其解集為

②當m＜0時，f（x）的圖像只有一種情形，如圖5所示，其解集為

通過對一元二次函數圖像的觀察，了解不等式的具體性質，再通過不等式和圖像之間的關系，進行相關問題的解決.讓學生能夠根據“形”的運用，體會其對數學難題解答的便利性.這個時候再向學生講解“最高次系數化正后，大于零取兩邊，小于零取中間”，這樣學生就能夠更加容易理解這句話的具體含義了.

三、培養觀察、聯想、猜想能力

聯想是根據當前的具體事物，聯想到與這件事物相關的其他事物，在這一過程中對學生聯想能力的培養具有很大的幫助.在很多數學問題中，可以采取想象的方式，將數學問題轉化成“形”.通過對學生的數學聯想能力的培養，使其發現數學的“數”與“形”之間的關聯，并進行數形之間的相互轉化.

例3當n∈N*時，比較2n與n2+2n的大小.

圖6

思路很清晰，從1開始代入比較大小，然后進行歸納猜想，再用數學歸納法進行證明.可以發現，從1到5都是2n＜n2+2n，但如果由此猜想2n＜n2+2n就錯了，實際上從6開始都是2n＞n2+2n.如果作出x＞0時f（x）=2x與g（x）=x2+2x的圖像，在圖像的走勢上，我們可以先預判，最后一定是2x要比x2+2x大，這樣就不難發

現在交點B的右側f（x）=2x的圖像處于g（x）=x2+2x的圖像的上方.

因此結論應該是：當n≤5時，2n＜n2+2n；當n≥6時，2n＞n2+2n.

猜想是根據一些事實進行合理推斷的過程，是一種綜合性較強、復雜程度較大的認知過程，猜想的前提是對事物進行合理的推斷.在學習數學歸納法及數列的基本知識的過程中，采用猜想論證的形式，不僅能夠簡化知識點的難度，還能夠激發學生學習數學的興趣，從而加強數學學科對學生的吸引力.

四、利用多媒體教學，展示直觀想象

在對“數”與“形”之間的關系進行講解時，可以采用多媒體教學的方式，讓學生更加直觀的了解.例如，可以采用《幾何畫板》，讓“死圖”變“活圖”.在學習圓錐曲線的過程中，利用多媒體教學，向學生展示數的變動帶來形的變化，這樣能夠更好地加強學生對于知識的理解，使學生對知識的記憶變得更加的牢固.

例4（2014年江蘇卷的應用題）如圖7所示，為保護河上古橋OA，現規劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區.規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸）

（1）求新橋BC的長；

（2）當OM多長時，圓形保護區的面積最大？

圖7

圖9

在解決第（2）問時，利用幾何畫板可以發現，當M從A向O移動時，半徑和OF是越來越大，AE越來越小.而AE和OF需都滿足不小于80m，故AE為80m即可，此時利用ME等于M到BC的距離即可求得OM=10m.

五、逐步培養學生的直觀想象能力

在對直觀想象能力培養的過程中，要根據學生學習的具體情況進行，不能急功近利.在高一時，學生所碰到的題目類型較少，因此在這個時候學生處在嘗試探索的階段.如果這時候將直觀想象思想灌輸給他們，會讓學生失去學習的興趣.而當學生已經積累了一些主要的知識，逐漸感受到這種思想方法的優點時，教師再進行具體的介紹，通過專題講座的形式將該方法傳授給學生，這時候學生會更加容易理解并掌握.

例5已知函數若函數g（x）=f［f（x）］-m有三個零點，則實數m的取值范圍是______.

圖10

設f（x）=t，則由g（x）=0得f（t）=m.作出函數f（x）的圖像，如圖10所示，則當-1≤t≤1時，滿足f（x）=t的x有一個解；當t＞1時，滿足f（x）=t的x有兩個解.

因此要使g（x）有三個零點，則滿足f（t）=m的t應有兩個解，即t1∈［-1，1］，t2∈（1，+∞），則m∈（1，2］.

綜上所述，對于數學核心素養的學習是數學教學中的重要內容，既需要在理論層面上進行學習改進，還需要在實際教學過程中進行完善.在進行數學核心素養的培養過程中，應當探索其有效的培養途徑，加強對直觀想象能力的合理教學，最終使學生深入地學習數學核心素養的理論知識.