見微知著：學(xué)習(xí)進(jìn)階還原智慧學(xué)習(xí)的本真意蘊(yùn)*

☉江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) 周 軍

☉江蘇省無錫市輔仁高級(jí)中學(xué) 錢軍先

高三二輪復(fù)習(xí)應(yīng)圍繞“立足考綱、強(qiáng)化四基、精心預(yù)設(shè)、重點(diǎn)突破、發(fā)展能力、形成素養(yǎng)”這些核心詞展開.當(dāng)前的二輪復(fù)習(xí)通常以專題的形式組織教學(xué)，往往存在“目標(biāo)定位過高、片面追求綜合、預(yù)設(shè)與生成脫節(jié)、教學(xué)對(duì)象主體缺位”等現(xiàn)象，教學(xué)效果往往差強(qiáng)人意.如何才能讓二輪復(fù)習(xí)更精準(zhǔn)、更有效？如何引領(lǐng)學(xué)生通過深度學(xué)習(xí)來發(fā)展適應(yīng)社會(huì)和生活的高階智慧？筆者認(rèn)為，應(yīng)該在“微切入、微探究、微創(chuàng)造”上做文章.一般以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)思想方法作為研究的主題，回溯到該知識(shí)“最原始”的概念處學(xué)習(xí)，建構(gòu)一條清晰的邏輯主線，從而串連起這些問題，循序漸進(jìn)，層層深入，力求讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展.這樣的立意契合了學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的本質(zhì)內(nèi)涵，以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為認(rèn)知起點(diǎn)，以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中習(xí)得生存的本領(lǐng)和生活的智慧并一以貫之為認(rèn)知目標(biāo)，通過示錯(cuò)矯正、縱串橫聯(lián)、思想凝練、文化浸染等策略為學(xué)生的思維躍遷搭階，促進(jìn)學(xué)生逐步形成見微知著、內(nèi)化遷移的學(xué)習(xí)技能，還原數(shù)學(xué)育人的本真意蘊(yùn).

最近，筆者在校內(nèi)上了一堂第二輪微專題復(fù)習(xí)課“三角形背景下的多元變量求最值問題”，與另一位老師同課異構(gòu)，聽課師生一致好評(píng).切身經(jīng)歷，萌發(fā)思考，借此與各位同行交流.

以三角形為背景的問題是近年來江蘇省高考的熱點(diǎn)問題，試題呈現(xiàn)出兩大特點(diǎn)：（1）彰顯自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的命題形式多樣；（2）以三角形為載體，著力研究與函數(shù)、平面解析幾何、不等式、平面向量相結(jié)合的命題，凸顯“知識(shí)交匯，能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)向”的核心價(jià)值.對(duì)此，學(xué)生普遍感到棘手，如何依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知差異來設(shè)計(jì)突破思維瓶頸、遷移思想方法的微專題呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)該站在學(xué)生的立場，貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，深度剖析數(shù)學(xué)內(nèi)容演化為邏輯的知識(shí)序、學(xué)生心理活動(dòng)的思維序及教學(xué)流程推進(jìn)的時(shí)空序，在課堂的互動(dòng)中及時(shí)對(duì)微探究進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)，從而促進(jìn)學(xué)生化知為識(shí)，化識(shí)為能，化能為慧.

一、二輪微專題“三角形背景下的多元變量求最值問題”課堂實(shí)錄

1.情境引入，文化浸潤

師：同學(xué)們，著名數(shù)學(xué)家波利亞就如何解題提出了一張“解題表”，其中包含了解題思維的各個(gè)階段，大家如果感興趣，可以上網(wǎng)查閱相關(guān)資料，拓展視野.解題表中談及的第一步是“審題”，這是解題成敗的關(guān)鍵.這節(jié)課的主題為“三角形背景下的多元變量求最值問題”，要研究什么呢？首先請(qǐng)大家來審題，可以從“三角形”、“多元變量”、“最值”三個(gè)關(guān)鍵詞說起，回憶一下以往所學(xué)的知識(shí)中哪些涉及了這些內(nèi)容.

生1：三角形的問題一般研究角、邊、三角函數(shù)、周長、面積等問題.

生2：以前學(xué)過的線性規(guī)劃、基本不等式、解析幾何都涉及了多元變量.

生3：在研究函數(shù)圖像的變化時(shí)會(huì)涉及最值問題.

師：非常好！大家的回答都是基于自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)直覺.那么，三個(gè)關(guān)鍵詞整合在一起，正是我們這節(jié)課所要探討的問題，下面開啟思維之旅.

教學(xué)價(jià)值評(píng)析：引入著名數(shù)學(xué)家波利亞的解題表，營造了一種數(shù)學(xué)文化氛圍，激發(fā)了學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化的興趣，也很自然地揭示了“審題”這個(gè)關(guān)鍵詞.引導(dǎo)學(xué)生通過審題，自覺地進(jìn)行相關(guān)性聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)了新知對(duì)已學(xué)知識(shí)的同化和順應(yīng)，進(jìn)一步理清了知識(shí)系統(tǒng)的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，謹(jǐn)防“碎片化”，力求“整體化”.

2.經(jīng)典重現(xiàn)，縱串橫聯(lián)

例題（2019無錫期末14題）在銳角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C，則的最小值為______.

師：課前請(qǐng)大家預(yù)習(xí)了這道題，大家覺得熟悉嗎？

生4：上學(xué)期期末考試的填空題第14題.

師：記性不錯(cuò)！這道題是三角形中多元變量求最值的經(jīng)典問題，它不僅有豐富的知識(shí)內(nèi)涵，更蘊(yùn)含著可以遷移推廣的應(yīng)用價(jià)值，值得我們?cè)俅位匚?請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勛约旱慕忸}思路和方法.

生5：我是從三角恒等變換的角度入手.先看已知條件，其為關(guān)于三個(gè)角的正弦的平方式，顯然化邊容易，即2a2+b2=2c2，然后感覺變量較多，需要消元.因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosA，代入2a2+b2=2c2，可得3b=4ccosA，再由正弦定理邊化角得3sinB=4sinCcosA，可消去角B，得3sin（A+C）=4sinCcosA，進(jìn)一步展開得3sinAcosC+3cosAsinC=4sinCcosA，即3sinAcosC=sinCcosA，這是齊次式，聯(lián)系目標(biāo)式，化弦為切，可得tanC=3tanA，這樣

師：思路清晰，推理嚴(yán)謹(jǐn)！從問題的條件入手，通過邊角互化，消元減元，統(tǒng)一名稱，從而達(dá)成目標(biāo)，這是通性通法，是可以遷移應(yīng)用的.還有其他思路嗎？

生6：我關(guān)注的目標(biāo)是關(guān)于正切的式子，想著在三角形中看出tanA，tanC.

師（追問）：精彩！“看出”這個(gè)詞我喜歡，體現(xiàn)了思維的可視性.如何看出？

生6：如圖1所示，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，這樣就產(chǎn)生了兩個(gè)直角三角形，此時(shí)，tanA=

圖1

師：此處應(yīng)該有掌聲！（學(xué)生熱烈鼓掌）輕輕的一條線，打動(dòng)了你我的心！不僅如此，這條線化斜為直，實(shí)現(xiàn)了數(shù)到形的完美跨越，這是一個(gè)視角的創(chuàng)新.這種化斜為直的方式有類似的研究經(jīng)歷嗎？

生6：推導(dǎo)正弦定理的時(shí)候用過.

師：非常好！用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，會(huì)更加全面且深刻地認(rèn)識(shí)問題.那么，接下去該怎么處理呢？

生6：可以設(shè)BD=h，AD=x，CD=y，代入2a2+b2=2c2，可得2（h2+y2）+（x+y）2=2（h2+x2），即x=3y，這樣就可以用來表示，最后用基本不等式也可求得最值.

師：通過轉(zhuǎn)化變量，達(dá)成多元?dú)w一.如果從形的視角思考，結(jié)合以往的研究經(jīng)歷，那么還有其他的解題途徑嗎？

生7：剛才的解法中，出現(xiàn)了互相垂直的兩條直線，由此聯(lián)想到建立坐標(biāo)系，嘗試用軌跡的思想來解決問題.

師：思維敏銳，觀察入微！必須給你點(diǎn)贊.那么怎樣建立坐標(biāo)系呢？

生7：我覺得以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)比較好，這樣A，C的坐標(biāo)就相對(duì)確定了.

師：很好！你的依據(jù)是什么？

生7：基于點(diǎn)的對(duì)稱性.

師：在以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中，還有哪些內(nèi)容涉及了對(duì)稱性？

生7：函數(shù)的奇偶性及圓錐曲線的對(duì)稱性.

師：不錯(cuò)！由此及彼，注重知識(shí)內(nèi)部要素之間的相互關(guān)聯(lián).下面請(qǐng)大家順著生7的思路，嘗試解決問題.

（學(xué)生若有所思，動(dòng)筆嘗試）

圖2

師：一氣呵成！建系設(shè)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，從形的直觀到數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)思維的應(yīng)用價(jià)值.

教學(xué)價(jià)值評(píng)析：基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和心理發(fā)展機(jī)制，選擇學(xué)生熟悉的期末考試題作為思維載體，采用先行組織者策略，讓學(xué)生自主探究，歸納總結(jié).通過三角變換、化斜為直、建系求軌跡三個(gè)不同的視角來呈現(xiàn)學(xué)生的思維差異和能力層級(jí)，有助于教師動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)和矯正學(xué)生思維進(jìn)階的行為.教師精心設(shè)計(jì)元認(rèn)知問題串，幫助學(xué)生縱向?qū)栴}溯源探流，橫向?qū)ο嚓P(guān)知識(shí)進(jìn)行整合聯(lián)系，有效地完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成自然思維、自主辨析、自覺遷移的生長智慧.

3.變式引申，模塊積淀

師：昨天我們做了一道類似的題目，出錯(cuò)率極高！通過剛才同學(xué)們自主探究所得的解題策略，請(qǐng)大家自己設(shè)計(jì)思路，并重新解決這個(gè)問題.

變式：已知在△ABC中，a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若tanA=2tanB，則的最大值為______.

（學(xué)生滿懷信心，自主探究）

生9：由已知條件tanA=2tanB，可得sinAcosB=2sinBcosA，角化邊可得，即3b2+c2=3a2，聯(lián)系目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)，可以變形為1，這樣可以利用三角換元，設(shè)，容易求得最大值為2.

師：目標(biāo)意識(shí)很強(qiáng)！轉(zhuǎn)化能力也不錯(cuò)！同學(xué)們還有其他想法嗎？

生10：也可以通過作高的方法，得到底邊兩部分的長度比值，然后在兩個(gè)直角三角形中將高算兩次，很快可以得到3b2+c2=3a2，接下去，也可以用直線和橢圓的位置關(guān)系來解決問題.

師：為你的創(chuàng)意點(diǎn)贊！算兩次的思想太重要了，需要內(nèi)化為我們的思想模塊和經(jīng)驗(yàn)?zāi)K，以便在類似的問題情境中能夠自覺調(diào)用.大家回憶一下，算兩次一般會(huì)應(yīng)用在哪些場合中呢？

生11：等積轉(zhuǎn)化就很典型，還有二項(xiàng)式定理的證明問題也經(jīng)常用到.

師：說得很到位！其實(shí)算兩次的應(yīng)用很廣泛，大家在學(xué)習(xí)過程中一定要用心積累，深入理解，遷移應(yīng)用.

教學(xué)價(jià)值評(píng)析：通過錯(cuò)例重做、變式串講、思維點(diǎn)撥，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思維的批判性和創(chuàng)造性.通過例題與變式的對(duì)照，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)期末考試題的題根即tanA=2tanB，這是一個(gè)重要的知識(shí)生長點(diǎn)，進(jìn)而可以從數(shù)和形兩個(gè)方向入手，這是需要積淀的知識(shí)模塊，而問題的處理過程中蘊(yùn)含著算兩次的重要思想，這又是需要內(nèi)化的思想方法模塊.只有多種思維模塊融會(huì)貫通，才能舉一反三，觸類旁通，實(shí)現(xiàn)從“術(shù)”的提煉走向“道”的升華.

4.育人先行，文化自覺

師：同學(xué)們，笛卡爾曾說過：“我思故我在.”這是極具哲學(xué)內(nèi)涵的一句話，以此與大家共勉.希望大家課后上網(wǎng)去查閱相關(guān)內(nèi)容，結(jié)合本課的所學(xué)所悟，撰寫一篇數(shù)學(xué)小論文，期待下次的交流.

教學(xué)價(jià)值評(píng)析：借助數(shù)學(xué)巨匠笛卡爾的經(jīng)典名句“我思故我在”來結(jié)束本課，做到了前呼后應(yīng).文化育人在于潛移默化，在于持續(xù)影響，在于形成自覺.閱讀與寫作能促進(jìn)學(xué)生形成自我成長、自我超越的慧根，更能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維“看得見，聽得到”，這正是育人價(jià)值的真實(shí)體現(xiàn).

二、教學(xué)點(diǎn)滴啟示

“微專題”立足于小切口、新角度、明指向，力求因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深、因微而精，學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的微專題設(shè)計(jì)，有利于幫助學(xué)生選擇思維進(jìn)階的最優(yōu)路徑，鋪設(shè)層層遞進(jìn)的思維支架，建構(gòu)整體化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維網(wǎng)絡(luò)，這也是實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)復(fù)習(xí)和深度發(fā)展的關(guān)鍵.結(jié)合本課，筆者認(rèn)為要突出以下三個(gè)方面.

1.多線交織，靈性飛揚(yáng)

本課以例題和變式的思路演繹和解法呈現(xiàn)為明線，以數(shù)學(xué)思想方法的滲透和領(lǐng)悟?yàn)榘稻€，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，煥發(fā)學(xué)生思維的靈活性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值.

2.凸顯主體，互動(dòng)生成

微專題的設(shè)計(jì)基于學(xué)情、教情、考情，要?jiǎng)討B(tài)監(jiān)測預(yù)設(shè)與生成的契合度，要在師生互動(dòng)交流中調(diào)整和優(yōu)化.學(xué)生是教學(xué)空間中的主體，是智慧和激情綜合反應(yīng)的載體，是思維故事完美演繹的主角.因此，在課堂活動(dòng)中要給學(xué)生足夠的思維空間和表現(xiàn)時(shí)間，通過生生交流、師生交流、多元評(píng)價(jià)、示范辨析等形式，培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力.

3.能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)向

有別于一輪復(fù)習(xí)，二輪微專題復(fù)習(xí)注重串知成鏈、構(gòu)思成面，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的視角來看待問題，要站在高中數(shù)學(xué)整個(gè)知識(shí)體系的高度來俯瞰全局，形成高觀點(diǎn)、寬視野、大格局.在微專題實(shí)施的過程中，要深挖知識(shí)的生長點(diǎn)，注重思維的多向性，努力提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并使其能自覺地遷移到生活和工作中，這才能完美地詮釋教育的本真價(jià)值.