偏微分方程數值解法在生物持久生存中的應用

周紅玲

(黃淮學院 數學與統計學院, 河南 駐馬店 463000)

引言

偏微分方程可以用來解釋和預見各種自然現象，在眾多領域中有著廣泛的應用. 但由于偏微分方程本身的復雜性，使得絕大多數偏微分方程都得不到其解析形式的解，因此，求偏微分方程的數值解同樣具有重大意義. 對于偏微分方程數值解，國內大多數學者研究的是具有物理背景的偏微分方程的數值解法，如文獻[1-3]，而偏微分方程數值解法在生物周期持久生存中的應用還較少涉及.

本文主要研究下面的偏微分方程：

(1)

1 差分格式

系統(1)在一個周期τ內的向前差分格式為

2 數值模擬

為了便于數值模擬, 取種群生存區間長度l=1,生長周期τ=1,環境容納量r=1,初始值φ1(x)=sinπx, 其余參數取值見表1.

表1 參數取值

當參數q=0.2時, 利用向前差分法求解偏微分方程(1)數值解的Matlab程序如下：

clear;clc;

d=0.021; q=0.2; alpha=-0.0345;gama=1; m=8.7;a=0.2;

xa=0;xb=1;T=1;TT=10;nn=TT/T;

DeltaT=0.01;h=0.01;

N=1/DeltaT;J=(xb-xa)/h;

r=d*DeltaT/h.^2;

qq=DeltaT*q/h;

u=zeros(N+1,J+1);v=zeros(nn+1,J+1);

A1=diag((qq-r)*ones(J-2,1),1)+diag(-(r+qq)*ones(J-2,1),-1)+diag((1+2*r)*ones(J-1,1),0);

x=xa:h:xb; t=0:DeltaT:T;

u(:,1)=0;u(:,J+1)=0;

v(1,:)=7*sin(pi*x);

k=find(abs(x)>5);

v(1,k)=0;

for n=1:nn

u(1,:)=m*v(n,:) .* v(n,:)/(a+ v(n,:) .* v(n,:));

for i=1:N

bb1=u(i,2:J)+alpha*DeltaT*u(i,2:J)-gama*DeltaT*u(i,2:J).^2;

bb1([1 end])=bb1([1 end])+[-r*u(i+1,1) -r*u(i+1,J+1)];

u(i+1,2:J)=A1b1';

u(u<0)=0;

end

v(n+1,:)=u(end,:);

end

figure

tt=0:1:TT;

[X,Y]=meshgrid(x,tt);

surf(X,Y,v);

xlabel('x');

ylabel('t');

zlabel('Population density');

hold on

figure

plot(x,v)

xlabel('Control zone');

ylabel('Population density');

運行上述程序后, 可得圖1； 當參數q=0.35時, 可得圖2；當參數q=0.45時, 可得圖3.

圖1 q=0.2 時,Nn(x) 的數值模擬

圖2 q=0.35時, Nn(x) 的數值模擬

圖3 q=0.45時, Nn(x) 的數值模擬

3 結論

通過圖1和圖2可以發現, 當g(N)為Holling-III型函數時, 種群數量在經過一個周期后就基本穩定, 這也意味著一個周期后種群可以持久生存. 比較圖1和圖2 中的右邊兩個圖可發現, 當介質流速由0.2升高到0.35時, 生物種群明顯向下游集中, 說明介質流速對種群的持久生存有顯著影響, 上述結論與文獻[5]中g(N)為Holling-II型和 Ricker型情況下相同. 隨著介質流速的升高, 當q=0.45時, 從圖3 可發現，隨著時間的推移, 種群向右偏移的程度越強, 經過10個周期后, 種群數量基本趨近于零, 這也說明在該介質區域內該種群不能持久生存, 該區域內的生態平衡被破壞. 此外, 與文獻[5]中g(N)為Holling-II型的結論比較, 當g(N)為Holling-III型函數時, 種群能更快地適應環境, 在區域內可以持久生存(文獻[5]需要10個周期后, 種群數量才趨于穩定)，但種群主要集中在后半區域, 這說明當g(N)為Holling-III型函數時, 種群更容易受介質流速的影響, 種群的持久存活更容易遭到介質流動速度的破壞.