例談數學發散思維與聚合思維的培養

陸建

摘要：本文針對當前教育界普遍重視發散性思維，忽視聚合性思維的現狀，提出了課堂教學應該對兩種思維方式給予同等關注的觀點，并列舉兩則案例對此觀點進行了解讀。

關鍵詞：發散思維;聚合思維;直線和圓的位置關系;直線與橢圓的位置關系

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2019）05-018-2

發散性思維，是指從一點向四面八方想開去，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法。聚合性思維則是指從已知信息中產生邏輯結論，從現成資料中尋求正確答案的一種有方向、有條理的思維方式。它是一種有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式，與發散思維相對應。

縱觀當前課堂教學，教師往往對發散思維懷有極大的熱情，對聚合思維卻多有冷落，以致有時把“創新”與發散思維劃等號。而實際上，發散思維和聚合思維是相輔相成的，兩者不可偏廢。國際上對于聚合思維的研究（代表人物是吉爾伯特）已經成果累累，在教學中加以借鑒是應該的。

一、一個簡單的案例

案例1如何判斷直線和圓的位置關系

教學中，我們通常會引導學生采用下面的兩種方法。

方法一（基于觀察）設圓心M到直線l的距離為d，⊙M的半徑為r，則

l與⊙M相交d

l與⊙M相切d=r（如圖2）

l與⊙M相離d>r（如圖3）

方法二（基于推理）把直線l的方程和⊙M的方程聯立，消去y（或x）得到一元二次方程，記判別式為，則

l與⊙M相交>0

l與⊙M相切=0

l與⊙M相離<0

這就是數學思維的常見形式：歸納和演繹。這里的兩種方法都可以把相關問題“全部”解決掉，在學生看來都顯得非常成功。但是我們知道，面對一組觀察的對象（比如圖1，2，3），人能夠看到的東西其實很多（比如圓心、半徑、周長、面積，直線的方向等等）。學生是如何忽略掉其他因素而只看到“位置關系”以及“點到直線距離”的？按常理，觀察中最容易看到的是單個的事物，兩個事物之間的“聯系”則是不容易看到的。這只是得益于一個先決條件：學生的頭腦里有一個觀察目標。因為有了目標的指引，本來可以無限發散的實際觀察就變得明確與集中，從而體現為思維的聚合性。方法二中面對兩個方程，學生更不是去求出解來，而是把判別式的值用到位置關系的判斷上……每一步中也都有明確的目的性。

不論歸納還是演繹，每一步思維的方向都可以很多，其中的比較、甄別、調控、接續、流轉等無不需要主動的調控。思維的開闊性、靈活性之外還有深刻性與批判性，發散思維與聚合思維并重才能培養出良好的思維品質。

二、新方法的獲得：發散與聚合的交互作用

案例1的兩種方法，學生在情感上傾向于第一種（觀察法），因為此法運算量也較小而且直觀易懂。但是，老師們一般不會止步于此，他們要把兩種方法全介紹給學生。遺憾的是，在老師講“方法二”的時候，學生的態度往往是“哦，我知道了?！保诤罄^的解題活動中同學們仍然只愿意使用“方法一”。

任何時候，要讓一個人在情感態度價值觀上有所轉變（哪怕是微小的轉變），靠“告知”是沒有作用的，這種轉變只能來自他的主觀意愿，而這只有讓他們通過體驗去感悟、領會才能實現。下面通過案例2來說明這一點。

案例2如何判斷直線與橢圓的位置關系

把圓換成橢圓時，幾何直觀就已經失效了。教學中我們通常設直線方程y=kx+m，橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>0，b>0，a≠b），然后聯立方程：y=kx+mx2a2+y2b2=1，消去y，得到一個一元二次方程，再利用位置關系與根的關系，實質上也就是案例1中的方案二。雖然此法比較麻煩，但是因為原來的“方法一”不能再用，學生也就只能予以接受（每個人的內心都是渴望成功的，此時使問題得以解決就是一種成功），但是其心中不免留有遺憾。

心中的遺憾就是一種情感沖突，如能轉變為認知沖突，就可以成為新思維的觸發點。教師的主導作用這時就應該發揮了：難道方法一真的行不通嗎？橢圓和圓從形狀上看是如此相似，應該有可能把我們所喜歡的方法一應用到橢圓上！這個扎根于學生數學活動經驗的問題，對學生有著非常大的誘惑力！因為這是讓他們做自己“喜歡”的事情。

那么，思維的方向是什么？肯定不能漫無目標，否則只能是茫然無措。抓住“從圓到橢圓”的背景變更，從其本源處入手就是很自然的選擇。

探究1圓上的點到圓心的距離等于定長（半徑），橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于定長（長軸長）。當橢圓漸漸“圓化”，兩個焦點也就漸漸靠近。因此，我們不妨這樣來認識橢圓與圓：當橢圓的兩個焦點重合時，該橢圓就成為圓。

設圓方程為x2+y2=r2（r>0），橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）。設l是圓的切線，則圓心O到l的距離為r是定值;設l是橢圓的切線，焦點F1，F2到l的距離分別為d1，d2，那么d1+d2有何特征呢？是定值嗎？

當切線l的方程為x=a時，d1+d2=（a+c）+（a-c）=2a，

當切線l的方程為y=b時，d1+d2=2b，

顯然d1+d2不是定值，此路不通！換個方向再試試！

當切線l的方程為x=a時，d1d2=（a+c）（a-c）=a2-c2=b2，

當切線l的方程為y=b時，d1d2=b2，是定值！有點激動人心了！于是我們不妨大膽地進行下面的：

探究2上面已經對特殊的直線進行了驗證，為了把所有的直線包含在內，我們將研究下面的

猜想：設F1，F2是橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，點F1，F2到直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時為0）的距離分別為d1，d2，且直線l與橢圓M相切，則d1·d2=b2。

證明：聯立方程組mx+ny+p=0x2a2+y2b2=1，消去y可得

（a2m2+b2n2）x2+2a2mpx+a2（p2-b2n2）=0（）

=（2a2mp）2-4（a2m2+b2n2）a2（p2-b2n2）

=4a2b2n2（a2m2+b2n2-p2）=0，

即a2m2+b2n2=p2。

因為橢圓焦點F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2-b2，所以

d1d2=|-mc+p|m2+n2·|mc+p|m2+n2=|p2-m2c2|m2+n2

=|a2m2+b2n2-m2（a2-b2）|m2+n2=b2。

猜想得到了證明！探究成功。我們明確地看到了“思維方向”的重要性，如果沒有方向的引領，則探究行動能否開始都是很可懷疑的。當然，反向是選擇來的，在其背后有思維的發散性做依托。在整個過程中，發散和聚合是交織在一起的，有時很難分清彼此。

三、進一步的拓廣

問題進一步發散為：定理1可逆嗎？即

橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點F1，F2到直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時為0）的距離分別為d1，d2，如果d1·d2=b2，那么直線l一定是橢圓M的切線嗎？

根據慣例，先用特例試一試。由此想法很容易就得到了如下的反：如圖中，直線l過原點，當橢圓具有b

這個問題出在直線把橢圓的焦點分在兩側，此時直線與橢圓相交便是很自然的。老師們當然知道，這時因為點到直線距離的“無方向性”造成的，如果考慮到距離的方向性，上述距離一正一負，乘積只能是d1·d2=-b2。于是自然地把探究轉向“F1，F2在直線l的同側”的情形，而這在直觀很值得期待。仿照探究2，很容易得到下面的結果：

設F1，F2是橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，F1，F2到直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時為0）的距離分別為d1，d2，且F1，F2在直線l的同側。如果d1·d2=b2，那么直線l一定是橢圓M的切線。

至此我們就得到了用兩個焦點到直線距離之積判斷直線與橢圓相切的充要條件。很自然地（又是聚合思維），我們可以將之遷移到相交和相離的情形分別是d1·d2b2（具體過程略）

四、新的方向：遷移至雙曲線

又是思路的自然延伸，我們要探究雙曲線的情形。幾乎不需要再花非力氣，我們就想到了下面的

定理：設F1，F2是雙曲線M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點，F1，F2到不平行于雙曲線的漸近線的直線l：mx+ny+p=0（m，n不同時為0）的距離分別為d1，d2，且F1，F2在直線l的兩側。那么

直線l與雙曲線M相切d1·d2=b2;

直線l與雙曲線M相交d1·d2

直線l與雙曲線M相離d1·d2>b2。

以上是在老師引導下的學生探究活動，老師所引領的主要是聚合性的，而學生活動時則是聚合與發散相結合。正是這樣的思維活動促進了學生創新能力的提高，也讓他們體會到了發現的樂趣，體驗到了自由思考的威力。因此，在日常的教學中，教師必須將發散思維與聚合思維并重，以培養學生的優質思維品質。

[參考文獻]

[1]王偉松.類比思想在高中數學教學中的運用[J].數學學習與研究，2013（09）.

[2]孫四周.關于直覺與邏輯的三個微型實驗[J].數學教學，2006（05）.