“APOS理論”指導下導數概念教學

陳偉

【摘要】 高中學生在學習導數知識時，一定要認真大量地做題以及動腦思考.因此，作為高中教師，一定要培養學生對導數知識的學習興趣，然而導數是數學教學中相對而言較難、較抽象的一部分內容，因此，為了更好地便于學生學習和理解，本文以“APOS理論”為指導在教學方法上創新，主要將“APOS理論”中的第一階段與第四階段進行重點分析，通過這種方法能夠有效地促進高中數學教師概念教學的質量和效率，輔助學生數學能力的提升.

【關鍵詞】 導數;高中數學;解題方法;運用分析

一、“APOS理論”的四個階段

（一）活動階段

對此階段來說主要是將概念的引入，是在學生已經對所學的知識的內容和結構有了初期的認識，然后結合學生的實際情況，同時針對性地分析內容后建立的一種概念體系.其主要的核心是最大限度上發揮學生的主觀能動性，讓學生親身經歷，主動建構，從而對所授概念形成較直觀的理解.在實際教學中，筆者采用了游戲導入的方式：筆者指導學生通過幾張邊長為48 cm的正方形紙，去掉四個角的小正方形來制作一個長方形的紙盒，然后將截取的小正方形的邊長為變量，要學生感受隨著小正方形邊長的變化，紙盒所能承載的容積的變化.

（二）程序階段（以直觀形象增加學生對概念的理解）

該階段是概念的定義階段，是對第一階段“活動”后進行全面思考，通過一定的抽象得出概念的特有性質，從而初步形成概念的一般定義的“過程”.在學生進行第一階段的動手操作之后，筆者會讓他們思考紙盒的容積會產生什么樣的變化，最大的容積是多少？通過這些問題的設立將導數的概念加深.

高中導數數學知識具有較強的邏輯性，學生要具備一定的能力才能有效地掌握，有些時候數學題目具有較強的相似性，這就要求學生具備較強的洞察力，能夠細致認真地分析題目，避免因觀察不足而導致的錯誤，基于“APOS”理論，教師在實際教學過程中應當加強對學生觀察能力的培養，使學生帶著目的性對數學理論知識和題目進行分析，對觀察過程中存在的問題教師在分析過后要讓學生進行自我總結，發現自身不足，及時優化整改.

（三）對象階段

該階段為概念的分析階段，是對“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有概念體系的階段.

在高中范圍內，我們所常見的導函數幾乎全部是由二次函數與一個在定義域內恒為整數或負數的其他函數相乘或相除得到的，因此，討論函數的單調性即是在討論二次函數的正負性和根的分布并對根加以判斷.在這類基礎問題上，解題步驟如下：

1.求出函數定義域并進行求導，將導函數化為可見的二次函數和在定義域內非負（或非正）的函數.

2.求出二次函數判別式為0的情況并做出其根軸圖以確定區間正負.

3.從判別式小于0開始討論至等于零再至大于0.

4.在判別式大于0的區間里利用求根公式求出二次函數兩根x1，x2的值并通過韋達定理判斷二次函數圖像走向.

5.綜上所述，得出結論.

為了便于大家理解這個問題，下面這道例題即是這種方法的應用.

例題 ?已知函數f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0），討論函數f（x）的單調性.

解 ?由已知，f（x）的定義域為 R ，

f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，則Δ=36（1-a）.

① 若a≥1，則Δ≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在 R 上是遞增函數;

② 因為a≠0，∴當a<1時，Δ>0，f′（x）=0，方程有兩個根，x1= -1+ 1-a? a ，x2= -1- 1-a? a ，當00，故函數在（-∞，x2）或（x1，+∞）是增函數;在（x2，x1）是減函數;

當a<0時，則當x∈（-∞，x1）或（x2，+∞）時，f′（x）<0，故函數在（-∞，x1）或（x2，+∞）上是減函數;在（x1，x2）是增函數.

（四）過程階段，體驗概念的形成過程（極值點偏移問題與構造法）

這是一類模式相對固定卻鍛煉學生觀察能力和思維能力的題目，因其所用的方法大都為構造法，因而，將這兩種方法歸為第四類.極值點偏移問題由三種具體的方法：

1.構造二次函數法.

由極值點偏移的實質筆者進行了分析，并查閱了相關資料，發現必定有一個頂點與原函數駐點相同，且同一個y值的兩個函數值均小于原函數函數值的二次函數，因此，我們可以考慮構造費馬二次工具：g（x）= 1 2 f″（x0）（x-x0）2+f（x0），x0即是導函數的極值點，將x0代入后，再構造h（x）=f（x）-g（x），看單調性的情況.

2.對稱構造法.

這種構造方法是同學們在練習中常用的方法，因此，在這里不多做贅述，這種方法在解決雙邊界問題的不等式證明問題上有著很顯著的優勢.

3.構造對數均值函數法.

這類題的最優解法也正是這種方法.具體的步驟如下：

（1）將直線與曲線方程聯立，得到兩個關于x1，x2的等式.

（2）將兩式分別相加和相減，并將所得的兩個式子進行消元，最終將兩個變量相乘變為兩個變量相加或相減的形式，從而證得不等式成立.

二、結束語

以上解題方法經過了很多思考和修正，始終堅持在學習中發現規律和方法，這不僅有益于高中學生的學習，更有益于增加學生看待事物的方法和角度，希望高中教師能從中獲得一些啟發，為在高中導數在數學解題中能夠更好地應用.

【參考文獻】

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