基于數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的試題研究

張海毅

摘 要 本文結(jié)合一道高考數(shù)學(xué)試題，從高中數(shù)學(xué)思想應(yīng)用方法的視角賞析該試題的各種解法，并說(shuō)明如何將題目“放得出去”多解“收得回來(lái)”，從而整體把握這些解法。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想方法 賞析 一題多解

中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程。每個(gè)人對(duì)題目條件有不同的表征方式，思維的出發(fā)點(diǎn)也會(huì)有所不同，方法選擇也就多種多樣。“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)課堂中一題多解的練習(xí)不僅能訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，還會(huì)促進(jìn)學(xué)生將固有的知識(shí)進(jìn)行類比、整合，從而使學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)教師創(chuàng)造性教學(xué)，在教學(xué)中通過(guò)一題多解將數(shù)學(xué)思想方法滲透于其中，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

下面，筆者以2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第15題為例，從題目條件表征的多角度賞析各種解法，并就如何將題目“放出去，收回來(lái)”，從整體上把握這些解法談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

題目：已知向量，滿足，則的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，最大值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

視角一：轉(zhuǎn)化與化歸思想。

可設(shè)，

，

又

故當(dāng)時(shí)，的最大值為20;當(dāng)時(shí)，的最小值為16，故。

評(píng)析：此法借助了圓的參數(shù)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，以其有界性為抓手求得了結(jié)論，，可作為此類問(wèn)題的通法重點(diǎn)介紹。

視角二：函數(shù)與方程思想。

設(shè)，則，，

所以，又，

故。

評(píng)析：此法重點(diǎn)關(guān)注了影響目標(biāo)的變化因素，恰當(dāng)?shù)亟柚鷥上蛄康膴A角為自變量，建立了目標(biāo)函數(shù)，從而得解。

視角三：整體思想與數(shù)形結(jié)合思想。

（1）易知。

不妨設(shè)，則，.

如圖1，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，令，則表示以為斜率的直線與有公共點(diǎn)時(shí)直線在軸上的截距，由圖可知：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，時(shí)，;

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，即直線與弧相切時(shí)，。

評(píng)析：此法重在轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析題目條件，將一個(gè)向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了平面上兩條曲線的公共點(diǎn)問(wèn)題，使得問(wèn)題瞬間清晰、明了，十分精彩。

（2）令，則，

不妨設(shè)，則，由方法三可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，令，則，，其中影響該函數(shù)的增長(zhǎng)率。

由圖可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)、時(shí)，該函數(shù)增長(zhǎng)率最小，故;當(dāng)過(guò)點(diǎn)，即曲線與弧相切時(shí)，該函數(shù)增長(zhǎng)率最大，故。

所以，故。

評(píng)析：此法通過(guò)向量模的常用計(jì)算方法，轉(zhuǎn)移了最值目標(biāo)，結(jié)合變量的軌跡方程，將新的目標(biāo)函數(shù)定位于影響雙曲線型函數(shù)的增長(zhǎng)率的角度，借助數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得以解決。

視角四：分類與整合思想。

令，

則，

，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)即。如圖，因?yàn)椋士稍O(shè)向量，，則在上，在上，取線段的中點(diǎn)，

則

，

又，，

所以，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線。

評(píng)析：此法在求最大值時(shí)恰當(dāng)?shù)亟柚司挡坏仁剑谇笞钚≈禃r(shí)借助了平面向量加減法的平行四邊形法則，兩角度同時(shí)進(jìn)行，使問(wèn)題得以解決。

視角五：特殊與一般思想。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （下轉(zhuǎn)第206頁(yè)）（上接第197頁(yè)）

因?yàn)椋试O(shè)，，令，則，該式描述了動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和，其中點(diǎn)位于圓上。

如圖2，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，設(shè)交圓于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)、重合于時(shí)，;由三角形性質(zhì)可知，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)位于，故。

評(píng)析：此法通過(guò)合理設(shè)值，巧妙地減少了變量，從而借助幾何意義求得了目標(biāo)函數(shù)的最值，計(jì)算量小，直觀形象，充分體現(xiàn)了特值特設(shè)思想的優(yōu)越性。

面對(duì)這些解法，教師應(yīng)“放得出去，收得回來(lái)”，進(jìn)而幫助學(xué)生整體把握并深刻理解其中所蘊(yùn)含的思想方法。

第一，以上6種解法大致可以分為兩類：第一類解法具有通法通性，如解法1、2;第二類解法充分關(guān)注了題目條件的特殊性，如何針對(duì)一道題目選擇合適的解法，需要對(duì)題目的條件表征做深入的思考。

第二，解法雖有差別，但他們都從不同的角度解析了題目條件，從而呈現(xiàn)了“條件的發(fā)散，結(jié)論的集中”，題目入手測(cè)度不同，解答的角度自然也就不同，所使用的思想方法也就有差異。

第三，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注解法1、2、6中所運(yùn)用的三角函數(shù)工具，它是聯(lián)系函數(shù)、平面幾何、向量等知識(shí)的重要媒介，要讓學(xué)生通過(guò)比較分析，從內(nèi)心深處認(rèn)同其工具性價(jià)值，從而將其應(yīng)用于日常學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)觀察能力是一種有目的、有選擇并伴有注意的對(duì)數(shù)學(xué)材料的知覺(jué)能力或初步的加工能力，知識(shí)是思想方法的載體，傳授書(shū)本知識(shí)是最基本的教學(xué)要求，沉溺于題海的作法是得不償失的，掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)表達(dá)，思維的邏輯、靈活、縝密和準(zhǔn)確等，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在于掌握書(shū)本知識(shí)，更在于養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。

高中數(shù)學(xué)思想方法的以一種高端的思維方法涵蓋了高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題過(guò)程，并在知識(shí)的不斷增長(zhǎng)的過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)新思維。高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)指出學(xué)生要獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會(huì)其中“所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法”。把高中數(shù)學(xué)思想納入高中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)，體現(xiàn)“雙基”向“三基”的轉(zhuǎn)變，必將對(duì)教學(xué)的有效性和創(chuàng)新教育產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。