關于七年級學生直觀想象能力水平的調查研究

李格星

摘要：直觀想象能力是數學六大核心素養之一，本文通過范希爾理論框架，利用編制的問卷，對七年級學生直觀想象能力的現狀進行研究，并利用得出的數據對教學給出建議。

關鍵詞：直觀想象；七年級；范希爾理論

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2019）01-0100-02

一、引言

《普通高中數學課程標準（實驗）》修訂稿提出了數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析這六大數學核心素養，引起教育界的廣泛關注。同時基于核心素養為導向的數學課堂也應該進行改變，作為可以不斷豐富、發展的概念或理論，課標給出了基本框架和發展方向，作為一線教師要在具體教學中融入自己的一些思考。如何在數學教學中提高學生的核心素養水平，實現新課程的要求？如何評價學生的核心素養水平？還需要我們的不斷思考和探索。直觀想象是學生理解分析問題，進行推理一種重要方法。故本文選取“直觀想象”這一數學核心素養，通過范希爾理論框架，利用自制的直觀想象能力調查問卷，對七年級學生的直觀想象能力現狀進行研究，以為學生直觀想象能力的培養提供建議。

“圖形的全等”是之前學習過的“圖形的變化”的基礎，本節內容學習主要是讓學生對全等圖形有一個直觀的認識。在此之前學生只是簡單的學習了線段、角等零碎的幾何知識，本節是學生開始接觸完整的幾何圖形，并為后續學習三角形相關知識打下基礎，是培養學生直觀想象能力的關鍵時期。所以本文選擇圖形的全等為載體。

范希爾幾何思維水平理論是用于分析研究對象的幾何思維水平的一個理論，主要包括5個水平，簡單概括如下。

0水平：視覺（visually）。可以知道并描述幾何圖形，對圖形進行簡單的分類。

1水平：分析（analysis）。根據幾何圖形的概念，對幾何圖形進行簡單的劃分，能夠根據圖形的特點進行簡單的猜想，具備簡單的邏輯推理能力。

2水平：非形式化的演繹（informal deduction）。對圖形概念有深刻的理解，能夠根據圖形的性質推出一些結論，具備一定的推理能力。

3水平：形式化的演繹（formal deduction）。具有較強的推理能力，理解定理、公理的意義，對一個結論能用不同的方法證明。

4水平：嚴密性（rigor）。處于這個層次的學生能夠進行嚴格的幾何推理，能夠理解不同幾何系統的差異 [1]。

二、研究方法

為了了解當前初一學生數學直觀想象能力現狀以及數學直觀想象運用能力方面的主要問題，找到培養學生直觀想象能力的策略，筆者編制了一份關于初一學生數學直觀想象能力的數學調查測試卷（見附錄一）。從山東省青島市某初中初一年級進行分層抽樣，選擇十位學生，進行訪談調查。

三、研究結果及分析

問題1呈現出三組幾何圖形，這三組圖形分別對應三種情況：全等圖形、大小不同的圖形和形狀不同的圖形。然后讓學生找其中完全一樣的圖形，也就是疊在一起能夠完全重合的圖形。

結果顯示，8位同學可以準確找出其中的全等圖形，有兩位學生，認為形狀相同或者大小相同也算是圖形全等。說明學生在0水平的基礎上得到全等圖形的定義后，即能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，并不能據此分析出全等圖形的性質，即“全等圖形形狀和大小都相同”，仍然達不到1水平。

問題2呈現經過平移或旋轉后的三角形，找出其中的對應元素。

結果顯示，只有5位同學可以準確無誤地找出三組三角形中的對應頂點、對應角和對應邊。有兩位同學可以找到經平移變化后的三角形的對應元素，對于旋轉、翻折過的三角形的對應元素只能靠猜的方式得到一部分。說明學生無法在頭腦中想象圖像變換的軌跡，不能進行非形式化的演繹，達不到2水平。有1位同學提出可以剪下圖形直接操作找到對應元素，能通過具體操作但還是達不到想象的水平。剩下的兩位同學對于找對應元素完全沒有思路，甚至不會考慮圖形的旋轉、平移。這部分學生對直觀想象幾乎沒有概念。

問題3請學生歸納總結找出對應元素的方法，進行方法提煉。

訪談結果顯示，只有兩位同學可以根據問題2以及書上的題目歸納出找到全等圖形的對應元素的五種方法。有3位同學可以找出有公共邊、有公共角、有對頂角的圖形中的對應元素，剩下的兩種可以用語言說出最大的邊是對應邊、最大的角是對應角等初步的思路。有1位同學可以就題論題的找出對應元素，零碎地找到方法，無法進行全面的歸納。剩下的4位同學，無法進行歸納。說明只有少部分的學生可以達到3水平，大部分的學生不能進行嚴密的推理及形式化的演繹。

這整個問卷的設計在幾何思維水平上以0水平為起點，并逐步的向上延伸最后達到3水平。在幾何思維水平的設計上符合學生幾何思維發展的次序性。

四、結論與教學建議

根據對訪談結果的分析，有如下教學建議。

（一）充分了解學生所處的思維水平

根據范希爾理論，幾何部分的學習要注意不同水平之間的連貫性，不斷積累反思，達到質變。建構主義學習觀認為，有效的教學必須以學生現有的知識經驗為基準，生長出新的知識。因此在實際的教學之前，應該了解學生現有的思維水平，以此為基礎進行適當的回顧復習，做好兩個思維水平之間的過渡。同時盡可能地采用因人而異的方法，使每個學生都能獲得思維水平的發展。例如，圖形的全等是后續學習三角形全等判定的基礎，教師可以在學習三角形全等判定之前了解學生的思維水平，教學中所呈現的問題及教學方法不超過所處的思維水平，又能有一些提高，實現有意義的教學。

（二）引導學生以多種形式進行探究

學生在課堂上通過動手操作、直觀感知形成的直接經驗是培養空間想象能力的必要基礎，同時也是感受、理解幾何直觀的有力支撐。在圖形與幾何部分的教學中，教師應關注學生數學活動經驗的積累，使學生的感性操作上升到理性的認識。例如，問題2中有一位同學提出可以通過剪出圖形再找對應元素的方法，教師可以抓住時機，與學生一起動手操作后，引導學生將這種操作在頭腦中形成過程，進行形式化的演繹，從而逐漸喚醒、培養學生的想象能力。同時，這種動手操作參與課堂的方式也符合初一學生活潑好動的性格特點，使課堂富有生機。

（三）重視現代信息技術在培養學生直觀想象能力中的應用

美國學者Clements和Battista聲稱對于四年級學生，使用LOGO軟件的幾何教學，可以顯著提高學生的幾何思維水平；同時，學者Tutak在研究中指出，使用教學材料和動態幾何軟件教學對學生的幾何思維都有影響，但動態幾何軟件相對更好一些[2]；幾何教學的目的是發展學生的邏輯思維能力和空間直覺能力，并且強調，幾何學習應通過教學活動來實現用實物模型、繪畫和軟件為工具設計相應的活動，發展學生的數學創造思維[3]。

例如，在問題2中翻折、平移都可以通過幾何畫板進行展示，引導學生分析圖形變化的軌跡，鍛煉空間思維能力，把握圖形的性質和特征。因此，應充分挖掘動態軟件對直觀想象能力培養的有利因素，讓學生通過對生動、直觀的視覺化數學素材的觀察和理解，發展直觀想象能力。

以核心素養為導向的教學是目前教育界普遍關注的話題，在中學教學中，如何培養學生的直觀想象能力，仍需要數學教育工作者和一線教師的共同努力。

參考文獻：

[1]祁明衡.范希爾理論下的初中生幾何思維現狀研究[D].首都師范大學，2013.

[2]Clements D，Battista M.The effects of logo on children' sconceptualizations of angle and polygons[J].Journal for Research in Mathematics Education，1990，（5）：356-371.

[3]曾友良，贠朝棟.范希爾理論的幾何思維水平研究綜述及啟示[J].當代教育理論與實踐，2017，9（5）：14.