運用數形結合解答一次函數問題

劉煥

摘要：一次函數是初中數學中的重要函數.解答一次函數問題不僅要靈活運用所學的基礎知識，而且還需要相關的數學思想作指導.其中數形結合思想立足“數”與“形”間的內在邏輯關系，通過“數”與“形”的相互對照可及時找到解答問題的切入點，確保一次函數問題的高效解決.

關鍵詞：初中數學；數形結合；一次函數

運用數形結合解答一次函數問題的關鍵在于具備數形結合解題的意識，同時，能夠實現“數”與“形”之間的正確、針對性轉化，將抽象、不易解決的問題變得直觀、容易解決.當然還應做好不同一次函數問題解題過程的審視，彌補解題的短板，尤其注重成功經驗的積累與靈活遷移.

1 巧解參數范圍

求解參數范圍一般運用不等式知識.對于一次函數問題，通過數形結合，運用觀察法也能迅速得出結果.

例1當x>-3時，對于x的每一個值，函數y=-12x+3的值都大于等于函數y=kx（k≠0）的值，則k的取值范圍是.

解析：解題的關鍵在于對題干的等價轉換.題干可轉化為當x>-3時，函數y=-12x+3的圖象在函數y=kx（k≠0）圖象的上方.

對于函數y=-12x+3，將x=-3代入得到y=92.將點-3，92代入到y=kx，解得k=-32，此時滿足題意.在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，如圖1所示.

將函數y=kx的圖象繞著原點順時針旋轉，當函數y=kx的圖象和函數y=-12x+3的圖象平行時，無交點，此時k=-12，滿足題意；當函數y=kx的圖象由直線y=-12x旋轉到直線y=-32x時，也滿足題意；繼續旋轉則不滿足題意.

綜上分析，滿足題意的k的取值范圍為-32≤k≤-12.

點評：運用數形結合解答一次函數問題的關鍵在于“數”與“形”的正確轉化.該題中依托圖形，通過圖形的旋轉找到參數的取值范圍，非常直觀.

2 巧解參數最值

求解參數最值常用不等式、二次函數知識，而對于一次函數的最值問題，通過數形結合解決卻不失為一種新的解題思路.

例2已知p=2x+1，q=-2x+2，若規定函數y=1+p-q（p≥q），1-p+q（p

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：解題的關鍵在于正確理解題意.根據題干條件，由p≥q，得2x+1≥-2x+2，則有x≥14.同理由p

聯系一次函數圖象及性質，畫出y的圖象，如圖2所示，由圖可清晰地看到函數y的最小值為1.

故選擇：C.

點評：該題情境新穎.解題時需要深入理解題意，化陌生為熟悉.而后運用一次函數知識正確畫出圖象，通過觀察圖象的最低點得出參數最值.

3 巧解點的坐標

求解一次函數問題中點的坐標離不開平面直角坐標系.常通過數形結合，合理運用幾何知識進行計算.需要注意的是，勾股定理在其中也較為常用，應注重應用.

例3如圖3所示，A（-8，0），B（-2，8）是△ABC的頂點，點C在y軸正半軸上，AB=AC，將△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′經過點C，則點C′的坐標為.

解析：過點B作BG垂直x軸于點G，如圖4所示.由A（-8，0），B（-2，8），得AO=8，GO=2，AG=8-2=6，

BG=8.在直角三角形AGB中，由勾股定理可得AB=AG2+BG2=62+82=10（這里亦可直接使用兩點間的距離公式直接求得AB=2+（8-0）2=62+82=10）.由AB=AC，得AC=10.在直角三角形AOC中，由勾股定理可得OC=AC2-AO2=102-82=6，所以點C的坐標為（0，6）.

設直線AB的方程為y=kx+b，將點A，B的坐標分別代入得-8k+b=0，-2k+b=8，解得k=43，b=323，則y=43x+323.設直線AB向右平移n個單位長度到達直線A′B′處，則直線A′B′的解析式為y=43（x-n）+323，因其過點C（0，6），代入解得n=72.易得點C′的坐標為72，6.

點評：結合題干創設的情境，作出輔助線，靈活運用勾股定理求出相關線段長度.運用一次函數知識求出直線的解析式，從平移的視角出發不難求出目標點的坐標.

4 巧解線段長度

求解線段長度是初中階段的常見幾何問題.常通過幾何圖形性質作答.部分問題看似考查的是幾何知識，實則考查一次函數知識.意識到這一點，通過數形結合，便能迅速找到解題突破口.

例4如圖5，已知邊長為2的正方形ABCD，邊BC的中點為E，點F在AE上，且滿足EF=CE，連接CF并延長交AB于點G，則BG的長為.

解析：以點B為坐標原點，BC所在的直線為x軸，BA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖6所示.根據題意，易得A（0，2），C（2，0），E（1，0），則根據待定系數法容易求得AE所在的直線解析式為y=-2x+2.

由點F在AE上，可設點F（m，-2m+2），其中0

設CF所在直線的解析式為y=kx+b，將點F，點C的坐標代入得255=1-55k+b，0=2k+b，解得k=1-52，b=5-1，則CF所在直線的解析式為y=1-52x+5-1.

令x=0，得y=5-1.

故GB的長為5-1.

點評：該題以正方形為背景設計問題，運用幾何知識求解難度較大.運用正方形的性質構建直角坐標系，將幾何問題轉化為一次函數問題，實現數形結合，解題思路變得清晰.

綜上所述，一次函數在初中數學中占有重要地位，不僅是學生學習的重點，而且是中考的必考點.在中考中，一次函數問題情境常考常新，解題思路靈活多變，其中通過數形結合，更容易理順解題思路，使復雜問題變得簡單化，因此，在日常的學習活動中，應夯實一次函數基礎，理解一次函數各參數的含義，積極運用數形結合解答一次函數問題，提高知識運用熟練程度，不斷積累應用經驗，實現解題能力的有效提升.

參考文獻：

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