巧用反例妙處多

黃雪峰

【內容摘要】數學是一門應用性和綜合性較強的學科，也是學生教育階段的重要學科。由于這門學科本身對學生邏輯思維能力和抽象思維能力的要求較高，為學生的學習增加了一定的難度，再加上傳統教育體制下，教師在教學中較為注重教學目標的進程，從而嚴重忽視了學生對知識的感悟和深層次理解，最終導致學生學習效率不高。反例法教學的出現為數學教學提供了新的思路，對教學質量的提升有一定的效果，本文從初中數學教學中反例法的具體運用進行了探討。

【關鍵詞】初中數學? 反例教學? 反向思維

數學反例法教學是一種新的教學思維，運用一種反向思維模式，使原本困難問題迎刃而解，在一定程度上簡化了解題步驟，幫助學生理清思維脈絡，提升了教學效果的同時，對創新學生思維能力也有一定的提升。

一、在數學公式定理上的運用

初中數學中的公式是學生用來依據解題的方法，而定理則是一些文字性、理論性的語言。學生在具體的記憶中有時會因為一個字的記憶錯誤從而導致整個定理、公式的錯誤。尤其是公式具有一定的抽象性，只是一些特定的符號，在無形中增加了學生記憶的難度。教師可以引導學生運用反證法來幫助學生記憶。例如，在學習全等三角形判定時，書本中判定定理是：有兩條邊相等且兩條邊的夾角也相等即為全等三角形。用反例法教學，如果兩條邊相同定理中的兩條邊的夾角改為任意的內角，教師在課堂中讓學生通過畫圖進行驗證，如果不是夾角整個三角形具有可變性，不具備一定是全等三角的條件，如此反例法的教學使學生在對比的過程中，增加了對定理的信服度，同時幫助學生更加形象的認識定理的內涵，加深了對知識的理解。

二、在鞏固數學知識方面的運用

學生在中考前學習的最后階段，一般都是對知識進行梳理，構建知識框架。但我們會發現因為有些知識學過時間較長，很多學生因為沒有及時復習已經忘記了，從而知識的鞏固效果不高。在復習階段教師適當的運用反例教學法，有時會起到意想不到的效果。例如，在一元一次方程的學習中，教師首先要用反例引導學生思考，判斷方程是否滿足一元一次方程的條件。如方程的兩邊是否是等式、方程中是否只有一個未知數、未知數的系數、教師通過反例法教學可以讓學生更好的掌握一元一次方程的構成要素，同時喚起一元一次方程的其他知識，提升了知識鞏固的效率①。

三、在數學命題的判斷方面的運用

用反例法證明命題是否正確是我們初中教學中一種常見的方法，要判斷一個命題是否正確我們可以采用正面證明也可以采用反向證明，反面證明的優勢是學生只要從其中找出一個反例就可證明命題的正確性，而正面證明所要考慮的要素較多，如此反例法為教學提供了便利、節省了時間。

四、在歸納總結數學知識點中的運用

初中數學涉及到定理、定律較多，對于一些固定模式的數學理論，學生易于理解，也易于掌握，學生只需要勤加練習、加強記憶，便可以運用自如。比如一元一次方程根的定理，Δ=b2-4ac，當Δ>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根，當Δ=0時，一元二次方程有2個相同的實數根，當Δ<0時，一元二次方程沒有實數根，再比如三角形內角和一定等于180度等，這些定理都是經過無數次驗證而得到確鑿理論，學生在學習這些數學理論時，也不會產生任何歧義。而且在驗證時，只需要運用直接推理的方法，便可以得出正確結論。

但是，有些數學理論，學生在學習時容易產生歧義，如果采取直接推理的方法或者采取比較的方法，很容易產生兩種不同的結果。比如判斷一個四邊形是否屬于平行四邊形時，按照教材上的定理可以得出結論：兩組對角分別相等的平面四邊形屬于平行四邊形。而如果應用舉反例的方法，就會得出不同的結論，比如一組對角相等，一組對邊相等的四邊形屬于平行四邊形嗎？通過這一反例，可以得出最終的結論：一組對角相等，一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，還有可能是不規則四邊形。因此，在歸納總結同一類型的數學知識點時，必須借助于反例的運用，才能驗證結果正確與否。

五、構建良好的課堂氛圍

反例教學不單是一種教學方式，同時也是一種思維方式，在數學教學中運用反例教學可以激發學生判斷精神。我們教學的主要目的是通過教學的過程培養學生的能力，起到學生素質教育的作用。教師利用反例進行教學無疑是為學生思維碰撞提供平臺，學生通過反例的思考激發思維活躍度，能夠更加積極的參與到教學活動之中。例如，在學習無理數有理數時，教師提出兩個無理數相加的和是無理數，讓學生通過舉出反例來進行思考，有的學生提出了π+3正面實例，而有的學生提出了-1+1=0、0是無理數的反例，對以上說法做出了反駁，證明了命題的錯誤。學生在分析的過程中活躍了課堂氛圍，增添了學習氣氛。同時反例的列舉增加了學生積極性，由原來被動學習轉化為主動學習，增強了學生的探索意識②。

初中數學教育階段是學生思維較為靈活的時期，但傳統教育模式在一定程度上限制了學生思維的發展。將反例法教學運用于數學教學中使教學過程變得更加直觀，降低了學生數學學習難度，促進學生思維發展，同時對學生素質能力的提升起到一定的影響。

【注釋】

① 仲崇猛. 在反例中求正解——談初中數學教學中對反例的應用[J]. 黑龍江教育（理論與實踐），2015（02）：53-54.

② 黃海清. 巧用反例妙處多——淺析初中數學教學中反例的運用[J]. 才智，2012（23）：83.

（作者單位：山東省青島市城陽第四中學）