數學史融入函數概念教學的探索

閆麗麗

函數的概念是高中階段數學的核心概念，函數的思想和方法貫穿高中數學的始終.然而，函數概念因其高度概括性、符號的抽象性、表達形式的多樣性、應用對象的多變性和思維水平的高要求成為高中數學的重點和難點，也是高一新生在數學學習中需要跨越的第一個障礙.這就對教師提出了更高的要求.只有深入地理解教學內容，全面體會教材的編寫意圖，針對學生的認知水平和思維發展規律，設計合理的教學情境，才能實現有效教學.在此，筆者將曾經的迷惑和探索的感悟與大家分享.

一、函數概念的發展歷程之“迷”

每個數學概念的產生都有它現實或理論發展的需要，函數概念也是這樣.致力于運動研究的科學家們，在天體位置、航海測量、炮彈射程等問題中，探究兩個變量之間的關系，這正是函數產生和發展的背景.1692年德國數學家萊布尼茲首次使用“function”一詞，用函數表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標、切線等;1718年瑞士數學家約翰·貝努利在萊布尼茲函數概念的基礎上，強調函數要用公式表示;1755年瑞士數學家歐拉將函數定義為“如果某些變量，一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式”，這是解析式函數，有很大的局限.突破這一局限的是杰出的德國數學家狄利克雷.1837年狄利克雷提出：“如果對x的每一個確定值，y總有一個確定的值與之對應，那么y是x的函數.”這個定義較清楚地說明了函數的內涵，只要有一個法則，使得取值范圍內的每一個x值，有一個確定的y和它對應就行，不管這個法則是公式、圖像、表格還是其他形式.這與初中所學的函數定義已經接近.十九世紀末，隨著集合概念的出現，函數概念進而用更加嚴謹的集合和對應語言表達，形成了高中學習的函數概念.綜上所述，函數概念的發展與生產、生活以及科學技術的實際需要緊密相關，而且隨著研究的深入，函數概念不斷得到嚴謹化、精確化的表達，科技在進步，函數概念還在繼續發展.

二、函數概念的理解之“迷”

學生初學時會有疑惑：為什么初中和高中所學的函數概念不一樣呢？教師一般會回答：只是看問題的角度不同，初中階段的概念是運動變化觀點下的變量間的依賴關系，而高中階段的概念是集合觀點下的對應關系，它們的實質是一樣的.

筆者對函數概念有了更深層地理解，是在學習了A.Sfard提出的數學概念的二重性理論之后.對許多數學概念，若將其看作是一個靜態的整體性的實體，那么它就具備對象的特點，若是將其看作是一種數學運算或變換，則體現了過程的特點.A.Sfard認為數學概念具有兩個側面，從過程角度看是一種操作性概念，從對象角度看是一種結構性概念，二者在概念形成過程中是先操作后結構的，這是符合人類認知規律的，而最終在認知結構中是共存的，在不同的時機發揮不同的作用.函數概念正是這樣具備過程與操作性和對象與結構性雙重特征的概念，從過程側面理解函數是從一個變量得到另一個變量的方法，從一個集合到另一個集合的對應，從對象側面理解函數可以是有序數對的集合，兩個數集間的關系.

三、教學情境設計之“迷”

新課改后的幾版教材對函數概念的處理方式存在很大的差異，但是教師應該“用教材教，而不是教教材”.因此，面對眾多的教學素材和多樣的教學思路，教師應針對學生的認知水平和思維能力的差異，提出不同的教學方案.現將筆者實踐方案中的幾個片段與大家分享.

片段1 映射概念

原大綱版教材采用的方式是奧蘇伯爾的概念同化策略：先映射后函數，但因映射本身是一個相當抽象的概念，用它來構建函數概念，實現從一般到特殊的演繹，對學生思維能力要求較高.新課改后，只有湘教版采用這種方式，其他各版教材都采用了先函數后映射的方式.這種方式體現了概念的形成，與初中所學函數知識銜接自然，更符合一般學生的學習心理，也更接近學生從具體到抽象、從特殊到一般的思維習慣.函數是特殊的映射，可以把映射看作函數概念的推廣，也可以用映射概念來幫助理解函數.映射可安排在第二課時完成，這樣的安排凸顯了函數的核心地位，淡化了映射，也符合課程目標.

片段2 情境引入

為了讓學生能更好地理解抽象的函數概念，各版教材都采用利用豐富的背景實例創設問題情境的方式引入.在問題的引導下，歸納出函數的概念，引導學生感受函數概念的原發現過程，體會數學的應用價值，培養學生“用數學的眼光看問題”和“數學思維”.人教版和蘇教版的三個實例都是選自運動（隨時間變化炮彈高度）、自然界（臭氧層空洞面積的變化）和經濟生活（恩格爾系數變化），以解析法、圖像法、列表法三種不同方式表示，既可以讓學生感受函數的廣泛應用，又可以使學生意識到對應關系不僅可以是明確的解析式，也可以是形象直觀的曲線或表格，還可以是抽象的描述.

片段3 認識符號

函數定義中采用的符號對學生來說是陌生的，掌握好它有利于函數概念的理解.函數從對象整體的角度看是集合間的對應關系，表示為f：A→B;從過程的角度看是變量間的依賴關系，記為y=f（x），表示“y是x的函數”.符號f（a）與f（x）既有區別，又有聯系.要掌握這些符號，可以先通過解析法表示的具體函數體會，再在例題中鞏固，這樣的學習任務與學生的思維最近發展區相適應，可以激發學生的學習熱情和信心.

片段4 融入數學史

仔細對比研究會發現：學生學習函數的過程和函數概念的發展歷程有著相似之處，都經過了四個階段：從實際問題中發現變量間的依賴關系→用數學表達式描述變量間關系→發現更多樣的對應關系→集合表示的對應關系.教師可以在課堂小結環節簡要講解“函數概念的發展歷程”，引導學生體會過程的相似性和初中函數概念的局限性，使學生更深刻地理解概念的實質;將有關函數發展史的“閱讀與思考”結合“實習作業”布置為周末小論文，開拓學生的數學視野，認識數學的科學價值、應用價值和文化價值.通過這些活動，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態，可以提高學生學習數學的興趣和信心.

總之，教學設計應遵循激發動機和興趣的情意原則：創設問題情境引導學習，激活思維，激發求知欲;鋪設恰當的認知階梯，呈現與學生思維最近發展區相適應的學習任務，激發學習熱情.形成式概念的教學設計應遵循學生的學習過程與知識的發生發展過程有機整合的過程原則：還原概念的原發現過程;還原思維的發展過程，構建一條“從具體到抽象、從特殊到一般、由此及彼、由表及里、從片面到全面”的思維通道.