構造函數法在不等式中的應用

盧岱

【摘要】不等式問題的求解或證明是高中數學中的一個重要內容，能夠培養學生的聯想思維和多種技巧.本文立足于高中數學的學習與探究，針對許多復雜的不等式問題，構造新的函數，通過對新函數的單調性研究獲得問題的解決方法，從而展示了構造函數法在不等式中的應用.

【關鍵詞】不等式;構造函數;單調性

一、引 言

不等式是高中數學學習的重點和難點.對于一些簡單的不等式問題，傳統的解題方法有比較法、綜合法、數學歸納法、分析法、重要不等式法等.對于比較難或者抽象的不等式問題，傳統方法具有局限性.但是，不等式靈活多變的求解及證明過程，也是有規律可循的.事實上，任何不等式都可以表示為

也就是說，不等式問題實際上就是一個求極值（最值）問題.我們知道，極值問題的求解可以依照以下幾個步驟實現：

1.求導數f′（x）.

2.研究導數的符號，求得函數的單調性.

3.研究導數的零點，判斷函數的極值點.

4.求出最值點.

因此，通過把不等式適當變形，再構造適當的函數，通過對其導數的研究，獲得函數的單調性、凹凸性、極值、最值，常能使不等式問題獲得簡捷明了的解決方法.

利用構造法解決不等式問題的步驟一般為：（1）對不等式進行合理變形，進而構造一個或多個函數;（2）利用導數研究函數的單調性;（3）得出不等式結論.其中，如何構造函數是關鍵，也是難點.本文總結了幾類構造函數的方法，并通過實例得出了規律性的認識，具有較強的針對性和實效性.

二、不等式問題中構造函數的幾種方法

三、結 論

不等式問題是中學數學一個重要的知識點，證明的方法多種多樣.針對不同的類型合理地構造函數，將其導數作為一種研究工具，利用相關的理論，會將靈活多變的不等式問題變得更加簡單.

通過以上例題，我們體會到，不論采用哪種方法構造函數，都需要在解題時細心觀察與分析，類比聯想與變形轉化，自主探究與自我反思，盡量使所構造的函數容易求導、容易判斷函數的符號.

【參考文獻】

[1]竺寶林.例談導數視角下“構造函數證明不等式問題”的解決策略[J].中國數學教學，2018（3）：45-48.

[2]賀建勛.例談構造函數證明不等式[J].中國數學教學參考，2017（4）：36-38.

[3]常顯貞.構造法在不等式證明中的應用[J].教學與管理，1992（5）：34-35.

[4]藍云波.也談構造函數、利用導數解答不等式恒成立問題[J].中學數學研究，2016（5）：31-33.

[5]武增明.構造函數證明不等式的數學思維途徑[J].中學數學研究，2018（12）：21-22.