高等數學內容的統一性分析

劉啟明 王寰

【摘要】數學的兩個基本特征是統一性和簡潔性.本文從高等數學基本內容出發，分析了高等數學內容中距離、極限、積分計算與表達式等方面的統一性，對高等數學的學習給予啟示.

【關鍵詞】高等數學;統一性;數學方法

數學是研究客觀世界空間形式和量的關系的學科，它的兩個基本特征是統一性和簡潔性.數學的抽象性決定了數學是客觀世界的統一性的體現.數學的統一性是通過建立統一的描述或溝通分支學科的內在聯系，深入揭示問題的本質.

數學統一性的特征滲透在數學的實際應用與數學本身的理論之中.從數學應用來看，數學模型與公式是對客觀世界的高度概括，反映著世界的客觀規律.同時，從數學理論本身來看，數學統一美還體現在數學內容本身在結構上的統一，表現在各分支間、分支內部、分支與整體之間的互相貫通與和諧.

高等數學是工科院校開設的主要基礎課程之一.主要包括極限引論、一元函數微積分、多元函數微積分、無窮級數等內容.本文主要分析高等數學理論內部典型內容的統一性，目的是對我們學習高等數學有啟示作用.

一、距離概念的統一性

距離是高等數學最基礎的概念之一.高等數學中兩點間距離公式都統一到n維空間中兩點間距離公式

對該距離公式，當n=1，2，3時分別對應數軸、平面與空間的兩點間距離公式.相應地，通過該公式統一了高等數學在不同維數空間中的領域概念，進一步為極限概念及其后續概念的建立奠定基礎.

二、微積分學中概念的統一性

微積分學的概念幾乎都是用極限進行定義的.

類似地，多元函數的連續性、偏導數與各類積分定義都是用極限形式給出的.這就使極限思想貫穿微積分學始終，體現了微積分概念的統一性.

相應地，從極限形式的統一性學習微分學與積分學性質就比較容易記憶，如由函數極限滿足線性性質就知道上述概念都滿足線性性質，積分都滿足對積分區域（定積分積分區間、曲線積分的積分路徑、重積分的積分區域、曲面積分的積分曲面）的可加性，這也是積分的本質性質，也容易知道，當被積函數為1時，定積分、重積分、第一形曲線、曲面積分都是積分區域的度量等.

三、微分中值定理的統一性

微分中值定理主要指羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.其中羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例，三個中值定理統一到柯西中值定理上.當然在具體使用上我們還是分別稱呼各自名稱.但是定理內容的統一性非常有助于我們對三個定理的理解.

四、函數值近似計算的統一性

五、多元函數無條件極值判定的統一性

六、微分學與積分學的計算理論統一性

我們在學習高等數學的過程中，會發現微積分能夠作為一個整體，其巨大成功正是在于發現了計算積分的一種十分有效的方法——牛頓-萊布尼茨公式：

這里F′（x）=f（x）.該公式表明，定積分等于被積函數的一個原函數在積分區間上的增量，其價值是非常巨大的.可以說沒有該公式，高等數學內容就少了積分學這一半內容.牛頓-萊布尼茨公式不僅溝通了定積分與不定積分的聯系，而且溝通了微分學與積分學的聯系，使函數導數、微分、不定積分與定積分得到了完美的內在的高度統一，因此，牛頓-萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式.該方面是高等數學的關鍵而重要的內容.

牛頓-萊布尼茨公式不僅將微分學與積分學聯系為一個整體，而且使得重積分、空間曲線積分與空間曲面積分都可以轉化為定積分得以計算，這是積分計算的完美統一.

七、函數積分轉化公式的統一性

微積分基本公式表示函數在某個區間上的積分等于被積函數的原函數在區間上增量;格林公式表達的是二元函數在平面區域上的二重積分與其區域邊界上的第二型曲線積分間的關系;而高斯公式則表達的是函數在三維區域上的三重積分與其區域邊界上的第二型曲面積分的關系.

這三個公式分別是一維、二維與三維空間上的公式，似乎相互之間沒有關系，但從統一性的角度來看，共同揭示了一個深刻的數學規律：使內部問題化歸為邊界問題.正是基于這種理解，促使外微分概念的建立及外微分形式的一般斯托克斯公式的形成，上面公式都是其特例.

八、梯度、散度與旋度的形式統一性

高等數學中類似例子還有很多.筆者這里僅舉出一些典型的反映統一性的例子.希爾伯特曾指出：“數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯系，數學的有機統一是這門學科固有的特點，因為它是一切精確自然科學知識的基礎”.高等數學亦如此，當我們用心結合統一性來學習高等數學時，對內容融會貫通，綱舉目張，就抓住了高等數學內容的內在聯系與系統性.這樣，我們不僅對其內容理解得更為深刻，而且在學習效率上達到了事半功倍的效果.

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